期末巅峰冲刺核心考点深度解析与压轴题精讲------平面直角坐标系 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以"概念-规律-应用"为逻辑主线，通过口诀化方法提炼与分层典例设计，构建平面直角坐标系从基础到压轴的完整突破体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2类核心要素|坐标有序性"横前纵后"|从构成要素（原点/坐标轴/象限）到点的坐标表示，建立几何直观| |坐标特征|3类符号规律|象限符号"一正正二负正"|特殊位置点（轴上/角平分线）特征→坐标变换（对称/平移）规律| |变换应用|4道综合题|平移"左减右加纵不变"|坐标表示地理位置→图形运动→动点面积问题，渗透数形结合思想| |错误分析|4类典型错例|距离计算"绝对值法则"|针对坐标书写/变换符号/面积割补等易错点，强化批判性思维|

2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------平面直角坐标系 （解析版） 一、平面直角坐标系基础 1. 构成要素 原点：两条数轴的交点O，是度量的起点。 坐标轴：水平的数轴称为 x轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为 y轴（纵轴），取向上为正方向。 象限：两条坐标轴将平面分成四个部分，从右上角开始逆时针方向依次称为第一、第二、第三、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点的坐标 平面内任意一点P的位置可以用一对有序实数​ (a, b)来表示，这叫做点P的坐标。 记作：P(a, b)。其中，a是点P到y轴的有向距离，称为横坐标；b是点P到x轴的有向距离，称为纵坐标。顺序不可颠倒。 二、点的坐标特征（核心规律） 1. 各象限内点的坐标符号 第一象限 (+, +) 第二象限 (-, +) 第三象限 (-, -) 第四象限 (+, -) 2. 坐标轴上的点的坐标 x轴上的点：纵坐标为0，形式为 (x, 0)。 y轴上的点：横坐标为0，形式为 (0, y)。 原点：坐标为 (0, 0)。 三、坐标变换规律 1. 关于坐标轴对称的点的坐标 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数。点P(a, b) 关于x轴的对称点为 P'(a, -b)。 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数。点P(a, b) 关于y轴的对称点为 P'(-a, b)。 2. 关于原点对称的点的坐标 横、纵坐标均互为相反数。点P(a, b) 关于原点的对称点为 P'(-a, -b)。 3. 点的平移与坐标变化 点P(x, y) 向右平移a个单位 (a>0) → P'(x+a, y) 点P(x, y) 向左平移a个单位 (a>0) → P'(x-a, y) 点P(x, y) 向上平移b个单位 (b>0) → P'(x, y+b) 点P(x, y) 向下平移b个单位 (b>0) → P'(x, y-b) 规律：左右平移，横坐标“左减右加”；上下平移，纵坐标“下减上加”。图形平移时，其上所有点都按相同规则变化。 四、坐标方法的简单应用 1. 用坐标表示地理位置 选择适当的参照点为原点，建立平面直角坐标系。 根据具体问题确定单位长度和坐标轴正方向。 在坐标系内画出各点，并写出其坐标。 2. 用坐标表示平移（图形运动） 对于一个图形，其平移可以通过它上面任意一点的平移规律来刻画。 图形平移前后，其形状、大小完全相同，只是位置发生了变化。 1. 平面直角坐标系点的坐标特征 1．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点P移动的时间为或 (4)点P移动的时间为或 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为5个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度，且； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2， ∴或， ∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为， 当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为， ∴点P移动的时间为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路程或位置并求解． 2．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， (1)直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】（1）首先根据非负数的性质解得的值，可确定点的坐标，即可获得答案； （2）①当时，可有，易得，，进而可计算出，结合，得到，进而根据三角形面积公式计算即可； ②分G点在平行线之间和G点在平行线之外两种情况，分别根据平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①当时，， ，， ∴，， ， ， ∴， ∴ 由图可知点在第四象限， ∴， ∴， ∴； ②根据题意，将图2补全，如下图所示， ∵与互补 ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 如下图，当G点在平行线之间时，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 如下图，当G点在平行线之外时，过点作，过点作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 综上所述，，，之间的数量关系为或． 3．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①A，C；②或；③ (2) 【分析】（1）①分别期初四点到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的概念求解即可； ②，然后根据A、G两点为“和合点”列方程求解即可； ③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”列方程求解即可； （2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可． 【详解】（1）①∵，，， ∴点A到两坐标轴的距离之和为， 点B到两坐标轴的距离之和为， 点C到两坐标轴的距离之和为， 点D到两坐标轴的距离之和为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C． 故答案为：A，C； ②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上， ∴设 ∴点G到两坐标轴的距离之和为 ∵A、G两点为“和合点” ∴，解得 ∴点G的坐标为或； ③∵点在第二象限，点在第四象限， ∴，，，， ∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”， ∴，即 解得； （2）∵点是线段上的一动点，且满足， ∴ ∴点R到两坐标轴的距离之和为 ∵R，S两点为“和合点”， ∴． 【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，，其中A在B的左侧且，． (1)点A，B，C的坐标分别为A________，B________，C________； (2)求； (3)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】(1)；； (2)9 (3)则，． 【分析】（1）根据几个非负数和为0，则这几个非负数都为0，求出，，再由、在轴上且在左侧，，点B的坐标； （2）根据三角形面积公式，以为底，点到轴距离为高，计算面积 ． （3）根据求出的长度，进而确定的坐标 ． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴点， （2）解：， （3）解：如图， ∵， ∴， ∴， 当在点的右边时，则， 当在点的左边时，则． 2. 用坐标表示简单的几何体 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分． (1)A点的坐标为 ；的度数为 ． (2)如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． (3)如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，； (3)①；②． 【分析】（1）将已知式子化为，可得，再求解即可；（2）设与轴的交点为，与轴的交点为，证明，可得，，再求，可得；（3）①由（2）可知，，过点作轴交轴于，证明，即可求出；②延长交于点，证明，再证明，即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：设与轴的交点为，与轴的交点为， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①由（2）可知，，过点作轴交轴于， ，， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ； ②延长交于点， ， ， ，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，二次根式有意义的条件，数形结合是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在第二象限． (1)写出，两点的坐标； (2)若点，请在图中画出点，并画出当的长最小时点的位置，并写出的值； (3)若线段经过平移后得到线段，请画出此时点的位置，并写出平移的过程； (4)点在轴上，三角形的面积等于四边形面积的，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，． (2)． (3)见解析，将线段向左平移个单位长度得到线段． (4)点的坐标为或． 【分析】本题考查坐标与图形变化，三角形面积，垂线段的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，进行解答，即可． （1）根据平面直角坐标系中点的性质，即可； （2）根据题意，描点得到，过点作轴的平行线，过点作于点，根据垂线段最短，此时的横坐标与点的横坐标相等，即求出； （3）根据平移的性质，画出平移的线段，即可； （4）根据，求出点的坐标，根据，三角形的面积等于四边形面积的，即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上，点在轴上，，， ∴，． （2）解：如图所示，描点得到， 过点作轴的平行线，过点作于点， ∴点即为所求， ∵，， ∴． （3）解：如图，点即为所求． 平移的过程为：将线段向左平移个单位长度得到线段． （4）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设点的坐标为， ∵三角形的面积等于四边形面积的， ∴ ， 解得或， ∴点的坐标为或． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 4．在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，坐标与图形，熟练掌握利用坐标求图形的面积是解题的关键． （1）利用算术平方根的非负性、绝对值的非负性、非负数的性质求出a、b值，即可得出结果； （2）根据梯形的面积公式求出的长，即可得出结果； （3）设点D的坐标为，分四 种情况：①当点D在上时，即，②当点D在x轴负半轴上时，即，③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，分别求解即可； 【详解】（1）解：∵ ∵，， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵轴于点， ∴设点C的坐标为， ∵ ∴ ∴点C的坐标为． （3）解：设点D的坐标为， ∵，， ∴点关于点对称的对称点恰好在轴上，即直线与轴交于点， 分三种情况：①当点D在上时，即，如图， ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； ②当点D在x轴负半轴上时，即，如图， ∵ ∴ 解得：不符合题意，舍去； ③当点D在点A右边，且在直线下方，即时，如图， ∵ ∴ 解得：，不符合题意，舍去； ④当点D在点A右边，且在直线上方，即时，如图 ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； 综上，若，点D的坐标为或． 3. 用坐标表示平移 1．在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． (1)证明：； (2)过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过点P作，可证明，得到，再由角的和差关系可证明结论； （2）①设直线交x轴于点K，根据题意可得，，轴，则；根据，求出，据此可得答案；②分点Q在点D上方和点Q在点D下方这两种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，设直线交x轴于点K， ∵， ∴，； ∵，点P与原点重合， ∴，即轴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3-1所示，当点Q在点D上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点D下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 2．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出，，根据到向下平移的距离，求出点坐标即可； （2）求出点D坐标，分别讨论当点P在x轴或y轴的情况，以为未知量，以面积为等式构造方程，求出点P坐标即可； （3）连接，假设点坐标，根据点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于点坐标的二元一次方程组，求解点坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， ，， 平移到向下平移了单位，向右平移5个单位， 到向下平移了单位， ； （2）解：由（1）， 当点P在y轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标或； 当点P在x轴上时， ， ， 解得：， 点P的坐标为或； 故点P的坐标或或或． （3）解：， 不在内， 设， ，运动速度之比是， ， 设，， 当在轴上方时，如图： ， ， ， 又， ， 解得：，， ； 当在轴下方时，作轴于，轴于，如图： ， ， ， ， ， 解得：，， ， 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题解题的关键． 3．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，，； (2)；；，理由见解析． 【分析】（）由非负数的性质得出，，故，，所以，，由平移性质可知，，，然后通过面积公式即可求解； （）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（）得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移性质可知，，，，，， ∴四边形的面积为 ； （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴， 解得：； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， 由（）得，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； ，理由如下： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴． 4．如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)的值是定值，定值为3． 【分析】（1）利用平移的性质即可解决问题． （2）利用面积法求解，可得；设，则，进一步再求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：当点N在线段上时，连接．当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D， ∴，； （2）解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， 即， 解得 ∴； 设，则， ∵三角形面积为3， ∴ ， ∴ ， 解得：， ∴； （3）解：结论：的值是定值．理由：如图，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ，， ， ， ； 如图，当点N在的延长线上时，连接． 同理可得：， ， 综上所述，的值是定值，定值为3． （一）、 概念理解与坐标表示错误 1. 混淆坐标轴与象限 典型错误：将x轴（横轴）与y轴（纵轴）记反；记错象限的顺序（误以为右上角是第一象限，左上角是第二象限等）。 纠正关键：牢记“横轴为x，纵轴为y”。象限编号从右上角开始，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限。各象限内点的坐标符号口诀：“一正正，二负正，三负负，四正负”。 2. 坐标书写不规范 典型错误：写坐标时顺序颠倒，先写纵坐标后写横坐标，如将点P(3, -2)写成(-2, 3)；或漏写括号、逗号，写成“3 -2”。 纠正关键：坐标是有序实数对，格式必须为 (横坐标, 纵坐标)，即 (x, y)。括号和逗号缺一不可。 1．已知点，且，则点M的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据绝对值可得，再结合可得，然后确定点M的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位于纵轴上的点的横坐标为零，列一元一次方程求解； （2）根据平行于横轴的点的纵坐标相等，列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得． ． 点的坐标为； （2）解：点的坐标为，且轴， ， 解得． ． 点的坐标为． （二）、 点的坐标特征与变换错误 1. 特殊位置点的坐标特征记忆混淆 典型错误： 认为x轴上的点坐标为 (x, 0)，但误写成 (0, y)。认为原点的坐标是 (1, 1)或 (0, 1)。 认为第一、三象限角平分线上的点 x=y，但误以为第二、四象限角平分线上的点也是 x=y。 纠正关键： x轴上点：纵坐标为0，即 (x, 0)。 y轴上点：横坐标为0，即 (0, y)。 原点：(0, 0)。 象限角平分线：一、三象限 x=y；二、四象限 x=-y（即横纵坐标互为相反数）。 2. 点的平移规律应用错误 典型错误：将平移口诀“左加右减，上加下减”用错对象。例如，将点P(2, 3)向左平移4个单位，错误地写成 (2, 3-4)。 纠正关键：平移口诀针对的是点的坐标。 左右平移：改变横坐标(x)，左减右加。 上下平移：改变纵坐标(y)，下减上加。 上例正确应为：向左平移4个单位 → (2-4, 3) = (-2, 3)。 3. 点的对称坐标求法错误 典型错误：求一个点关于x轴、y轴或原点的对称点时，符号变错或不变。 纠正关键：记住规律——“关于谁对称谁不变，关于原点对称都变号”。 关于 x轴​ 对称：横坐标不变，纵坐标变号，(x, y) → (x, -y)。 关于 y轴​ 对称：纵坐标不变，横坐标变号，(x, y) → (-x, y)。 关于 原点​ 对称：横、纵坐标都变号，(x, y) → (-x, -y)。 3．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，则点的坐标为_________； (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为，求的值； (3)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为，求的值及点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或11；点的坐标为或 【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征：横坐标为0，列方程求出的值，再计算纵坐标，即可得到点A的坐标． （2）根据第四象限内点的坐标特征：横坐标为正、纵坐标为负，点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，据此列方程求出的值． （3）根据直线轴，可得、两点纵坐标相等，先求出的值，得到点的坐标；再根据线段的长度为5，结合两点间距离公式求出点的横坐标，进而求出的值． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得：． ， 点的坐标为． （2）解：点在第四象限， ，． 点到两坐标轴的距离之和为9， ， ， 解得：． （3）解：直线轴， 点与点的纵坐标相等， ， 解得：， 点的坐标为． 线段的长为5， ， 或， 解得：或． 当时，，点的坐标为； 当时，，点的坐标为． 4．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿平移，且使点平移到点，平移后的对应点分别为．仅用无刻度直尺完成作图，并回答问题：（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)写出两点的坐标； (2)画出平移后所得的三角形； (3)在轴上画点，使； (4)连接，求三角形的面积． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】（）利用点和点的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出点的坐标和点的坐标； （）根据坐标标出位置，画出三角形即可； （）取格点，连接交轴于点，则，即； （）根据正方形面积减去三个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵的对应点， ∴三角形向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为； （2）解：如图，三角形即为所求； （3）解：如图，取格点，连接交轴于点，则，即，故点即为所求； （4）解：如图， ∴三角形的面积为 ． （三）、 距离与面积计算错误 1. 点到坐标轴的距离理解错误 典型错误：求点P(-3, 4)到y轴的距离时，回答是4或-3。 纠正关键：点到坐标轴的距离是非负数，等于该点相应坐标的绝对值。 点P(x, y)到 x轴​ 的距离 = |y|。 点P(x, y)到 y轴​ 的距离 = |x|。 上例中，点P(-3, 4)到y轴的距离是 | -3 | = 3。 2. 坐标系中图形面积计算错误 典型错误：在求由坐标点围成的三角形或不规则多边形面积时，直接套用面积公式，而没有将图形转化为易于计算的基本图形（如矩形、直角梯形等）。 纠正关键：常用“割补法”。通过作x轴或y轴的平行线，将所求图形面积转化为几个规则图形面积的和或差。关键是找出图形在坐标轴上的“投影”或“高”。 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，绝对值和算术平方根的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是理解平面直角坐标系，分类讨论的思想求解． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，的值，即可求解； （2）根据题意，求得，利用三角形面积求解即可； （3）分两种情况，当在轴上和当在轴上，设点的坐标，表示出的面积，求解即可． 【详解】（1）解：由可得，， 解得，， ∴，； （2）解：由题意可得，，， ∴； （3）解：∵， ∴， 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 综上，，，，． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：___，__； (2)在第一象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴的负半轴上存在点N，使得三角形的面积与四边形的面积相等，求出点N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性求解即可； （2）利用四边形的面积等于两个三角形的面积和可得答案； （3）利用的面积与四边形的面积相等建立方程求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，. （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为. （3）解：∵， ∴四边形的面积为， ∵三角形的面积与四边形的面积相等， ∴三角形的面积为， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴． （四）、 综合与应用问题错误 1. 用坐标表示平移时，图形上所有点平移的一致性 典型错误：已知三角形ABC及其平移后的图形A‘B’C‘，求其中一点的坐标时，只考虑该点自身的平移，而忽略了图形上所有点的平移方向和距离是一致的。 纠正关键：图形平移，其上所有点的平移方式相同。可以先通过图形中任意一对对应点（如A和A‘）确定平移规律（向左/右移几格，向上/下移几格），再将此规律应用于其他点。 2. 根据坐标特征判断点所在位置时考虑不周 典型错误：判断点P(m, n)所在位置时，只考虑 m>0, n>0在第一象限，而忽略 m=0或 n=0时点在坐标轴上的情况。 纠正关键：进行判断时，要分类讨论坐标为正、负、零的所有情况。特别是遇到 ab=0， |a|=|b|这类条件时，要分析出多种可能性。 7．如图，在平面直角坐标系中，，坐标分别为、，且，满足：，现同时将点，分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求，两点的坐标及四边形的面积； (2)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时（不与，重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)，，四边形的面积； (2)不发生变化；理由见详解； (3)或． 【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，则，，由平移得，，即可求得四边形的面积为15； （2）由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化； （3）设点M的坐标为，分三种情况，一是点M在直线的上方，则；二是点M在x轴的下方，且点D在的外部，则；三是点M在x轴的下方，且点D在的内部，则，分别列方程求出符合题意的m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴四边形的面积； （2）解：不发生变化，理由：如图1， ∵点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化； （3）解：设点M的坐标为， ∴， 如图2，点M在直线的上方， ∵， ∴， 解得：， 此时点M的坐标为； 如图3，点M在x轴的下方，且点D在的外部， ∵， ∴， ∴解得：，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在的内部， ∵， ∴， 解得， 此时点M的坐标为 综上所述，点M的坐标为或． 8．已知点，点，且a，b满足关系式 (1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； (3)如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查三角形的面积、绝对值和算术平方根的非负性质、坐标与图形性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性质、三角形面积计算公式、中点坐标公式是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性质计算即可求得点A和点B的坐标； （2）根据三角形面积公式求出，再分别计算当点C在点B的左边、右边时对应的坐标即可； （3）根据三角形面积公式求出三角形的面积为24，三角形的面积正好是三角形的面积的一半，从而证明点D是的中点，再由中点坐标公式求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点A的坐标为，点B的坐标为 故答案为：，； （2）解：， ，即， ， 则，， 点C的坐标为或 （3）解：，， ， ， ， 点D是的中点， ，， 点D的坐标为 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------平面直角坐标系 一、平面直角坐标系基础 1. 构成要素 原点：两条数轴的交点O，是度量的起点。 坐标轴：水平的数轴称为 x轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴称为 y轴（纵轴），取向上为正方向。 象限：两条坐标轴将平面分成四个部分，从右上角开始逆时针方向依次称为第一、第二、第三、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点的坐标 平面内任意一点P的位置可以用一对有序实数​ (a, b)来表示，这叫做点P的坐标。 记作：P(a, b)。其中，a是点P到y轴的有向距离，称为横坐标；b是点P到x轴的有向距离，称为纵坐标。顺序不可颠倒。 二、点的坐标特征（核心规律） 1. 各象限内点的坐标符号 第一象限 (+, +) 第二象限 (-, +) 第三象限 (-, -) 第四象限 (+, -) 2. 坐标轴上的点的坐标 x轴上的点：纵坐标为0，形式为 (x, 0)。 y轴上的点：横坐标为0，形式为 (0, y)。 原点：坐标为 (0, 0)。 三、坐标变换规律 1. 关于坐标轴对称的点的坐标 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数。点P(a, b) 关于x轴的对称点为 P'(a, -b)。 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数。点P(a, b) 关于y轴的对称点为 P'(-a, b)。 2. 关于原点对称的点的坐标 横、纵坐标均互为相反数。点P(a, b) 关于原点的对称点为 P'(-a, -b)。 3. 点的平移与坐标变化 点P(x, y) 向右平移a个单位 (a>0) → P'(x+a, y) 点P(x, y) 向左平移a个单位 (a>0) → P'(x-a, y) 点P(x, y) 向上平移b个单位 (b>0) → P'(x, y+b) 点P(x, y) 向下平移b个单位 (b>0) → P'(x, y-b) 规律：左右平移，横坐标“左减右加”；上下平移，纵坐标“下减上加”。图形平移时，其上所有点都按相同规则变化。 四、坐标方法的简单应用 1. 用坐标表示地理位置 选择适当的参照点为原点，建立平面直角坐标系。 根据具体问题确定单位长度和坐标轴正方向。 在坐标系内画出各点，并写出其坐标。 2. 用坐标表示平移（图形运动） 对于一个图形，其平移可以通过它上面任意一点的平移规律来刻画。 图形平移前后，其形状、大小完全相同，只是位置发生了变化。 1. 平面直角坐标系点的坐标特征 1．如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 2．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， (1)直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； (2)点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 3．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 4．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，，其中A在B的左侧且，． (1)点A，B，C的坐标分别为A________，B________，C________； (2)求； (3)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 2. 用坐标表示简单的几何体 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、，平分． (1)A点的坐标为 ；的度数为 ． (2)如图1，若点C在第四象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由． (3)如图2，连接，平分，若点C的坐标为，连接交于点E，与交于点F． ①求D点的坐标； ②试判断与的数量关系，并说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，点在第二象限． (1)写出，两点的坐标； (2)若点，请在图中画出点，并画出当的长最小时点的位置，并写出的值； (3)若线段经过平移后得到线段，请画出此时点的位置，并写出平移的过程； (4)点在轴上，三角形的面积等于四边形面积的，当时，求点的坐标． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a，b满足，． (1)求A点，B点坐标； (2)求C点坐标； (3)点D为x轴上一点，若，求D点坐标； 3. 用坐标表示平移 1．在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． (1)证明：； (2)过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 2．如图①，在平面直角坐标系中，，，且满足，将线段AB平移得线段，点A对应点D，点B对应点C，点A的对应点D在x轴上，点B的对应点C在y轴上． (1)直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图②，点P是坐标轴上的一个动点，当三角形的面积是30时，求点P的坐标； (3)如图③，若动点E从点D出发向左运动，同时动点F从点C出发向上运动，两个点的运动速度之比是，运动过程中直线和交于点N，若三角形的面积等于9，求出点N的坐标． 3．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________，与关系为________，四边形的面积为________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当点在上运动时，若点的横坐标与纵坐标相等，则________秒； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 4．如图1，点、，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接、． (1)请直接写出点C的坐标是_______，点D的坐标_______； (2)连接交于点E，若点G在线段上，且三角形面积为3，求G点坐标； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． （一）、 概念理解与坐标表示错误 1. 混淆坐标轴与象限 典型错误：将x轴（横轴）与y轴（纵轴）记反；记错象限的顺序（误以为右上角是第一象限，左上角是第二象限等）。 纠正关键：牢记“横轴为x，纵轴为y”。象限编号从右上角开始，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限。各象限内点的坐标符号口诀：“一正正，二负正，三负负，四正负”。 2. 坐标书写不规范 典型错误：写坐标时顺序颠倒，先写纵坐标后写横坐标，如将点P(3, -2)写成(-2, 3)；或漏写括号、逗号，写成“3 -2”。 纠正关键：坐标是有序实数对，格式必须为 (横坐标, 纵坐标)，即 (x, y)。括号和逗号缺一不可。 1．已知点，且，则点M的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 2．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． （二）、 点的坐标特征与变换错误 1. 特殊位置点的坐标特征记忆混淆 典型错误： 认为x轴上的点坐标为 (x, 0)，但误写成 (0, y)。认为原点的坐标是 (1, 1)或 (0, 1)。 认为第一、三象限角平分线上的点 x=y，但误以为第二、四象限角平分线上的点也是 x=y。 纠正关键： x轴上点：纵坐标为0，即 (x, 0)。 y轴上点：横坐标为0，即 (0, y)。 原点：(0, 0)。 象限角平分线：一、三象限 x=y；二、四象限 x=-y（即横纵坐标互为相反数）。 2. 点的平移规律应用错误 典型错误：将平移口诀“左加右减，上加下减”用错对象。例如，将点P(2, 3)向左平移4个单位，错误地写成 (2, 3-4)。 纠正关键：平移口诀针对的是点的坐标。 左右平移：改变横坐标(x)，左减右加。 上下平移：改变纵坐标(y)，下减上加。 上例正确应为：向左平移4个单位 → (2-4, 3) = (-2, 3)。 3. 点的对称坐标求法错误 典型错误：求一个点关于x轴、y轴或原点的对称点时，符号变错或不变。 纠正关键：记住规律——“关于谁对称谁不变，关于原点对称都变号”。 关于 x轴​ 对称：横坐标不变，纵坐标变号，(x, y) → (x, -y)。 关于 y轴​ 对称：纵坐标不变，横坐标变号，(x, y) → (-x, y)。 关于 原点​ 对称：横、纵坐标都变号，(x, y) → (-x, -y)。 3．在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)若点在轴上，则点的坐标为_________； (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为，求的值； (3)点的坐标为，若直线轴，且线段的长为，求的值及点的坐标． 4．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿平移，且使点平移到点，平移后的对应点分别为．仅用无刻度直尺完成作图，并回答问题：（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)写出两点的坐标； (2)画出平移后所得的三角形； (3)在轴上画点，使； (4)连接，求三角形的面积． （三）、 距离与面积计算错误 1. 点到坐标轴的距离理解错误 典型错误：求点P(-3, 4)到y轴的距离时，回答是4或-3。 纠正关键：点到坐标轴的距离是非负数，等于该点相应坐标的绝对值。 点P(x, y)到 x轴​ 的距离 = |y|。 点P(x, y)到 y轴​ 的距离 = |x|。 上例中，点P(-3, 4)到y轴的距离是 | -3 | = 3。 2. 坐标系中图形面积计算错误 典型错误：在求由坐标点围成的三角形或不规则多边形面积时，直接套用面积公式，而没有将图形转化为易于计算的基本图形（如矩形、直角梯形等）。 纠正关键：常用“割补法”。通过作x轴或y轴的平行线，将所求图形面积转化为几个规则图形面积的和或差。关键是找出图形在坐标轴上的“投影”或“高”。 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：___，__； (2)在第一象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴的负半轴上存在点N，使得三角形的面积与四边形的面积相等，求出点N的坐标． （四）、 综合与应用问题错误 1. 用坐标表示平移时，图形上所有点平移的一致性 典型错误：已知三角形ABC及其平移后的图形A‘B’C‘，求其中一点的坐标时，只考虑该点自身的平移，而忽略了图形上所有点的平移方向和距离是一致的。 纠正关键：图形平移，其上所有点的平移方式相同。可以先通过图形中任意一对对应点（如A和A‘）确定平移规律（向左/右移几格，向上/下移几格），再将此规律应用于其他点。 2. 根据坐标特征判断点所在位置时考虑不周 典型错误：判断点P(m, n)所在位置时，只考虑 m>0, n>0在第一象限，而忽略 m=0或 n=0时点在坐标轴上的情况。 纠正关键：进行判断时，要分类讨论坐标为正、负、零的所有情况。特别是遇到 ab=0， |a|=|b|这类条件时，要分析出多种可能性。 7．如图，在平面直角坐标系中，，坐标分别为、，且，满足：，现同时将点，分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，． (1)求，两点的坐标及四边形的面积； (2)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时（不与，重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，求点的坐标． 8．已知点，点，且a，b满足关系式 (1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； (3)如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $