期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------相交线与平行线 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以“三线八角”为核心，构建“概念-判定-性质-应用”四层逻辑体系，融合转化/建模思想，通过动态几何题实现从知识理解到解题能力的迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线|5题含动态旋转|分类讨论角平分线计算|邻补角/对顶角→垂线性质→距离概念| |平行线|8题含拐点模型|辅助线构造“三线八角”|平行公理→判定（角定线）→性质（线定角）| |平移/命题|6题含规律探究|平移性质应用/命题拆分|平移性质→命题结构→证明逻辑| |易错点|4题典型辨析|“F/Z/U型”模型识别|概念混淆→判定性质互逆→平移应用误区|

2025-2026人教版七年级数学下期末复习巅峰冲刺篇 核心考点深度解析与压轴题精讲------相交线与平行线 （解析版） 第一部分：相交线——关系的基础 1. 邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线。数量关系：互补（和为180°）。如∠1与∠2 对顶角：两边均互为反向延长线。数量关系：相等。如∠1与∠3 核心：从相交产生的图形中，能迅速识别这两种特殊角并应用其性质计算。 2. 垂线 定义：相交角为90°时的特殊相交。 基本性质： 唯一性：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 最短性：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。这是重要的几何度量概念。 第二部分：平行线——关系的核心 1. 平行公理及推论（基石） 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（传递性） 平行线的判定（由“角”定“线”） 前提：两条直线被第三条直线所截（即构成“三线八角”）。 判定方法1：同位角相等，两直线平行。 判定方法2：内错角相等，两直线平行。 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行。 核心思维：在复杂图形中，找到合适的“截线”和相关的角，是应用判定的关键。 2. 平行线的性质（由“线”定“角”） 前提：已知两条直线平行。 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 核心思维：平行是“已知条件”，由此推出的角相等或互补是“结论”，用于后续计算或证明。 【重中之重：判定与性质的区分】 判定：目的是证明两条直线平行。格式：∵ 角的关系​ ∴ 线平行。 性质：目的是得到角的关系。格式：∵ 线平行​ ∴ 角的关系。 简单记法：“判定”是证平行，“性质”是用平行。 第三部分：命题与平移——思想的延伸 1. 命题与定理 命题：判断一件事情的语句。由“题设”和“结论”两部分组成。 定理：经过推理证实为真的命题。 核心：初步接触几何的逻辑结构，理解证明的必要性。 2. 平移 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。 性质： (1)平移前后，图形的形状和大小完全相同。 (2)对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。 (3)对应角相等。 核心：平移是一种全等变换，其性质本质上是“平行且相等”关系的集中体现。 总结：贯穿始终的思想方法 1. 转化思想：复杂图形中，通过添加辅助线（通常是平行线），将未知角转化为已知角。 2. 建模思想：掌握“铅笔头”、“猪蹄”等基本拐点模型，实质是过拐点作平行线，将条件与结论汇聚到一条直线上。 3. 规范表达：几何推理必须步步有据，使用“∵”、“∴”和规范的几何语言。 掌握本章核心，关键在于吃透“线”与“角”的互推关系，并能在复杂图形中准确识别或构造出“三线八角”这一基本模型 1. 相交线 1．如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)的度数为或． 【分析】本题主要考查了角的计算以及角平分线的定义的运用，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）由题目条件直接求得答案； （2）根据（1）中的值，求出和的度数，再根据角平分线求得结果； （3）根据射线的位置不同，分情况讨论，进而求出的度数． 【详解】（1）解：∵为直线上一点，且， ∴， 又∵，， ∴，解得：； （2）∵，； 又∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． （3）∵，且， 设，则． ①在内部，此时， ∴(矛盾，舍去)； ②在内部此时， ∴，解得：． ∴； ③在内部，此时， ∴，解得：， ∴． ④在内部，此时， ∴，解得：， ∴(矛盾，舍去)． 综上，的度数为或． 2．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平角的性质、角的和差运算以及动态几何中的分类讨论思想，熟练掌握角的和差关系、根据旋转位置进行分类讨论并建立方程是解题的关键． （）利用平角为的性质，结合已知、，通过角度和差关系直接计算的度数． （2）①先根据角平分线的定义，由平分且，得出；再结合旋转中角度的动态变化关系，建立关于时间的方程，进而求出的度数．②根据三角尺的旋转位置分三种情况讨论：当未与重合时，结合的关系表示出，再由列方程求解．当与重合后、未到下方时，分析角度关系列出方程，检验解是否符合区间范围．当在下方时，用含的式子表示和，再根据角度倍数关系列方程求解，最终综合所有情况得到的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①如图2， 平分，， ， 当旋转时间为秒时，， 则，解得， ， ②（）当顺时针旋转未与重合，即当时，如图 ， 由，得， 解得； （）当与重合后开始逆时针旋转，即当时，如图， ， 则， 由，得， 解得，此情况不符合题意，舍去， （）当在下方，即当时，如图， ， 由，得， 解得， 综上所述，或． 3．如图，已知点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作射线，使得，求的度数； (3)在的内部作一条射线，射线OM在射线OF的上方，使得，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、角的和与差、邻补角，根据题意画出图形是解题的关键． （1）根据平分得到，利用周角的性质求出的即可； （2）在（1）的条件下，分别讨论在下方和上方时的情况，分别求出的度数即可； （3）由，设，用x表示，设，则，由，用x表示，再分别用x表示，求出比值即可． 【详解】（1）解：由已知，平分，， ∴， ∴ ； （2）当在下方时，， ∴， 当在上方时，， ∴， 的度数是或． （3）由， ∴设， ∴ ， 若， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴． 4．张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒． (1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）． (2)在旋转过程中，当为何值时，． (3)在旋转过程中，若射线，，中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时的值． 【答案】(1)或度或 (2)当秒时， (3)当秒或秒或秒时，射线，，中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分 【分析】（1）根据题意，可得，据此列出代数式即可求解； （2）当时，，根据题意列出方程，解方程即可求解． （3）分3种情况：①如图3，当平分时，．②如图4，当平分时，．③如图5，当平分时，，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵，． ∴ ． ； （2）如图2，∵当时，， ∴， 解得：（秒）． ∴当秒时， ； （3）分3种情况： ①如图3，当平分时，． ∴， 解得：（秒）． ②如图4，当平分时，． ∴，即 解得：（秒）． ③如图5，当平分时，． ∴． 解得：（秒） ∴综上所述，当秒或秒或秒时，射线，，中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次不等式的应用，列代数式，分类讨论，数形结合是解题的关键． 5．如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数； (2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数； (3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数． 【答案】(1)70° (2)24°或120° (3)175°或170°或140° 【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果； （2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，利用角的和差进行计算即可； （3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可． 【详解】（1）解：∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC＝70°； （2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE， ∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC， ∴∠COE＋∠COE＝40°， ∴∠COE＝24°； ②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE， ∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC， ∴∠COE﹣∠COE＝40°， ∴∠COE＝120°； 综上所述：∠COE的度数为24°或120°； （3）解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时， 作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH， 设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°， ∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°， ∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°， ∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°， ∴x°＝5°， ∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°； ②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°， 解得x°＝80°， ∵∠COB＝40°， ∵80°＞40°， ∴x°＝80°不符合题意舍去； ③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时， ∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°， 解得x°＝10°， ∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°； ④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°， 解得x°＝40°， ∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°， 综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°． 【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． 2. 平行线的判定 1．已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 【答案】(1)；，见解析 (2)或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度运算，平行线的判定，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用四边形内角和为360度以及进行列式化简，再把数值代入，进行计算，即可作答． 运用角平分线的定义，得出，，再由得，则，故，即可作答． （2）结合当点在射线上运动，直线、相交于点，进行分类讨论，且逐个情况作图，运用角的和差关系进行列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：如图中， 在四边形中，， ∵， ， ，， ∴， 则 ． ，理由如下： 如图中，连接． 平分，平分． ，， 由得 ， 则， ， ． （2）解：依题意，设，． 如图中，则有， 则，， 则， ， 如图中， 依题意，， ， ， ， 如图中， 依题意，，， 两式相加可得， ， 综上所述，或或 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，且、满足，点C在x轴的负半轴上，连接AB、AC． （1）如图1，若的面积是面积的倍，求点C的坐标： （2）如图2，点D在AC上，点E在AB上，连接OD，过点E作轴于点F，若，求证：； （3）在（1）的条件下，点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OB方向移动，同时点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度在AO间往返移动，即先沿AO方向移动，到达点O反向移动．设移动的时间为t秒，四边形ACQB与的面积分别记为、，是否存在时间，使；若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，或 【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性可得，进而解方程组即可求得，，最后再根据列出方程求解即可求得答案； （2）根据轴可得，再结合，可得，最后根据同位角相等两直线平行即可得证； （3）先根据题意求得点P到达点B时，点Q到达点O、点A时的时间，由此可对时间t分类讨论，在每种情况中根据列出方程求解，进而即可求得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由题意得：当时，点Q第一次到达点O， 当时，点P到达点B， 当时，点Q到达点A， 当秒，点Q第二次到达点O， ∴当时，，， ∵， ∴， 解得：（符合题意）； 当时，，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，，， ∵， ∴， 解得（符合题意）； 当时，，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，的最大值为，的最小值为，不存在能使． 综上所述，存在或时，使． 【点睛】本题考查了几何图形在平面直角坐标系中的应用，绝对值与算术平方根的非负性，平行线的判定，动点问题的分类讨论，读懂题意，学会运用相关知识解决问题是解题的关键，也考查了一元一次方程的解法． 3．已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】（1）   （2） （3）   见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （2）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可； （3）根据角平分线定义得出，，，当时，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：． 与满足时，， 理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ． （3）解：与满足时，． 理由如下： 平分，平分， ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，解题的关键是掌握平行线的判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 3. 平行线的性质 1．如图，，分别平分和，若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，正确构造平行线是解题的关键． 延长交射线于点，过点分别作，则，那么，由角平分线得到，，则，再由得到内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，延长交射线于点，过点分别作， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由角平分线得出，，再根据邻补角的定义，根据等量代换即可求解； （2）先通过运算角得出和，再比较即可求解； （3）先根据已知条件，求出各个角度，再进行分类讨论，根据平行的性质求解即可． 【详解】（1）解：证明∵、分别为、的角平分线， ∴，． ∵， ∴， ， ， ， ， ∴． （2）∵直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，即， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转， ∴射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转到， ∴设，， ∵射线旋转一周时，全部停止运动， ∴， ∴， ∴． ∵由（1）得，且， ∴． ∴， ∴，， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ． ①如图，，即，， ，即， ∴ ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； ②如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ③如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， （舍）； ④如图，，即，， ，即， ∴， ∵直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ， ， ； 综上，射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间为或． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义、邻补角的定义、几何中角度的运算、平行的性质、解一元一次方程等，具有分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 3．【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 【答案】(1)①；②；③；④内错角相等，两直线平行 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定及角平分线的规律应用，解题的关键是通过作辅助线转化角的关系，利用平行线性质推导，再根据角平分线的递推规律求解． （1）利用平行公理补全推理，通过角的等量代换得到内错角相等，从而判定平行； （2）作辅助线分析角的数量关系； （3）先根据（2）的结论得到初始角的关系，再结合角平分线的定义，依次推导每次操作后角的表达式，归纳出第次操作后角与原角的数量关系，进而递推得到与的关系． 【详解】（1）解：分别过点，作， 因为，所以 由两直线平行，内错角相等，可知，， 由题知，所以 则，即 由内错角相等，两直线平行，可得 （2）解： 理由：过点作（如图）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ， ． （3）解：由（2）的结论可知：． 第一次操作：平分，平分， 则，， 根据（2）的结论，． 第二次操作：平分，平分， 则，， 同理，． 以此类推，第次操作后，． 已知，代入得， 解得． 答：的大小为． 4．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前(即灯B转动角度小于)，A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时开始转动，在灯A射线到达之前(即灯A转动角度小于)，若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)30秒或110秒 (3)不变， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 【详解】（1）解：， ； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，两束光线分别是， ①当时，如图， ， ， ， ， ， ， 解得； ②当时，如图， ， ， ， ， ， 解得， 综上所述，当秒或110秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化： 设灯A射线转动时间为t秒， ， ， 又， ，而， ， ， 即． 5．已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 过点G作点H在点G的左侧，证明得，，则，由此即可得出结论； 过点P作点E在点P的左侧，先求出，根据平分设，证明得，，则，由的结论得，由此即可得出的度数； 过P作，过G作，得到，，设，，得到，然后由代入求解即可． 【详解】（1）证明：过点G作点H在点G的左侧，如图1所示： ， ， ，， ， ， ∵，， ； （2）解：过点P作点E在点P的左侧，如图2所示： 平分，， ， 平分， 设， ， ， ，， ， 由的结论得：， ； （3）解：如图，过P作，过G作， ， ，， 平分，平分， 设，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 4. 平移 1．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则________． 【答案】或或 【分析】根据题意得，再由的平移过程，分成两种情况考虑：（1）点在线段上；（2）点在外，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系后即可得解． 【详解】解：依题得：， 分两种情况考虑： （1）点在线段上，过点作，如下图： ， ， ， ，， ， 又， ； ， ， 又， ； （2）点在外时，过点作，如下图： ， ， ，， ， 又， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的知识点是平移的性质、平行公理的应用、平行线的性质、几何图形中的角度计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 2．如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则______． 【答案】或或 【分析】分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，当时；当时；第二种情况：当点在外时，过点作，当时；当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时，由图可知，，故不存在这种情况； 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 3．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC． (1)填空：BC与AD的位置关系为__________，BC与AD的数量关系为__________； (2)点G，E都在直线BC上，，DF平分交直线BC于点F． ①如图2，若G，E为射线CB上的点，，求的度数； ②如图3，若G，E为射线BC上的点，，则__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)AD∥BC，AD=BC (2)①100°；②180°-2α 【分析】（1）根据平移的性质和图形可得得，对应点连线互相平行且相等可得答案； （2）①利用平行线的性质和角平分线的定义得∠ADC=2∠GDF，从而得出答案； ②由①同理可得答案． 【详解】（1）解：∵将线段AB平移至DC， ∴ADBC，AD=BC； （2）①∵ADBC， ∴∠ADG=∠DGC， ∵∠DGE=∠GDE， ∴∠ADG=∠EDG， ∵DF平分∠CDE， ∴∠EDF=∠CDF， ∴∠ADC=2∠GDF=2×40°=80°， ∵ADBC， ∴∠C+∠ADC=180°， ∴∠C=100°； ②∵ADBC， ∴∠ADG=∠DGE， ∵∠DGE=∠GDE， ∴∠ADG=∠EDG， ∵DF平分∠CDE， ∴∠EDF=∠CDF， ∴∠GDF=∠GDE-∠EDF=（∠ADE-∠CDE）=∠ADC， ∴∠ADC=2α， ∵ADBC， ∴∠BCD+∠ADC=180°， ∴∠BCD=180°-2α． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义，角的和差等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． 5. 命题与证明 1．甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、 乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是：（         ） A．甲的车是白色的，乙的车是银色的 B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D．丁的车是银色的，甲的车是红色的 【答案】C 【分析】先根据丁的丁说的是实话，由甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，且乙、丙的说法不正确，可知甲是红色，然后根据丙的说法判断出丁的颜色，从而当得出结论. 【详解】甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的， 乙说："丙的车是红色的，乙说的肯定不是真的，那么丙的车也不是红色的 ，那么丙说的也不是真的，就是甲说的是真的，他的车是红色的；丙说的是假的，那么丁的车就是蓝色的，甲说的是真的，乙的车不是白色的，那么乙的车是银色的，剩下白色是丙的. 故选C. 【点睛】此题是一个阅读理解形的分析题，抓住题目中的一些关键句意是解题关键. 2．如图，平分平分，则 ______ ． 【答案】 【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED=110°，即可求得∠ABE+∠CDE=250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的性质，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两只线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数． 【详解】过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB∥CD∥FN， ∴∠ABE+∠BEM=180°，∠CDE+∠DEM=180°， ∴∠ABE+∠BED+∠CDE=360°， ∵∠BED=110°， ∴∠ABE+∠CDE=250°， ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE， ∴∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）=125°， ∵∠DFN=∠CDF，∠BFN=∠ABF， ∴∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF=125°． 故答案为125° 【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 3．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 【答案】(1)数对是异差数对． (2)见解析． (3)该命题是假命题．反例不唯一，例如异差数对满足条件，但，不满足． 【分析】（1）代入数值计算，根据异差数对的定义验证判断即可． （2）由得出，进而得出，即可证明． （3）由（2）可知原命题不成立，然后举反例即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴数对是异差数对． （2）证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 即数对一定是异差数对． （3）解：该命题是假命题． 由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立． 举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题． 1. 易错点一：“三线八角”识别不清 1．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为________________________（写出每组具体名称），则的值是____________． 【答案】 与，与，与，与 14 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 先根据同位角、内错角、同旁内角的定义，分别找出图中这三类角的具体组合并数出对数，再将三类角的对数相加得到结果． 【详解】解：同位角有与，与，与，与，与，与，所以； 内错角有与，与，与，与，所以； 同旁内角有与，与，与，与，所以， 所以． 故答案为：与，与，与，与；14． 2．如图,点D是BC上一点，图中与∠C构成同旁内角的角有_________个 ． 【答案】4 【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一组角叫做同旁内角可得答案． 【详解】解：根据同旁内角的定义可得，与∠C构成同旁内角的角是∠ADC，∠DAC，∠BAC，∠ABC，故答案为4. 【点睛】此题主要考查了同旁内角的定义，准确识图是解题的关键． 规避策略： （1） 先定“三线”：明确要判断哪两条直线（被截线）被哪条直线（截线）所截。可以用笔描出目标“三线”。 （2） 模型对照：牢记“F型”（同位角）、“Z型”（内错角）、“U型”（同旁内角）的抽象形状，在图形中匹配查找。 （3） 口诀辅助：“看位置，定关系；无截线，先构造”。 2. 易错点二 平行线的判定与性质混淆 3．如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行公理判断①；根据角平分线得到，根据平行线的性质和垂线的定义分别得到，，进一步推出，可判断②；结合，得到，根据两式相减可判断③；根据平行线的性质得到，得到，从而判断④． 【详解】解：，， ，故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故③正确； ， ， ， ，故④错误． 故正确的结论有：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 4．如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系，为什么？ (2)，有什么位置关系？请说明理由； (3)若，，其他条件不变，请直接写出和之间的关系，，之间的位置关系，不必说明理由． 【答案】(1)  见解析 (2)   见解析 (3)   【分析】（1） 利用角平分线的定义，将分别表示为的一半，结合，推导与的和． （2） 结合（1）的结论，以及题目给出的，通过角的等量代换得到同位角相等，从而判定． （3） 重复（1）（2）的逻辑，将角度和改为后，重新计算的值，并推导与的位置关系． 【详解】（1）解：．理由如下： ，分别是，的平分线， ，． ， ． （2）解：．理由如下： ，， ． ，， ， ， ． （3）解：，．理由如下： ，分别是，的平分线， ，． ， ． ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定以及角度的和差关系，掌握利用角平分线进行角度转化，以及通过同位角相等判定平行线的方法是解题的关键． 规避策略： （1） 牢记方向： · 判定：条件（角的关系）→ 结论（线平行）。用于证明两条线平行。 · 性质：条件（线平行）→ 结论（角的关系）。已知平行后，用来求角或证角相等/互补。 （2） 书写规范：严格按照“∵（条件） ∴（结论）”的格式书写，每一步都要有明确依据。 3. 易错点三：平移的性质应用不完整 5．在平面直角坐标系中，已知点，其中a、b满足关系式 ， (1)求点A、B的坐标． (2)点是第一象限内一动点，且三角形的面积为6． ①求m与n的关系式； ②将线段沿射线平移，得到线段（点B与点A 是对应点），连接，设三角形的面积为 ，三角形的面积为，当时， 求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查三角形的面积，平移的性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）根据算术平方根及绝对值的非负性求出a、b值即可解答； （2）根据，列出式子，求出m,n关系即可解答； （3）根据题意求得，分情况讨论：①当点E在x轴上方时，此时，即； ②当点E在x轴下方时，此时，即；根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ； （2）解：①连接， ， ∴， 是第一象限内一动点，且三角形的面积为6， ， ； ②∵， ∴， ∵点C在第一象限， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ①当点E在x轴上方时，此时，即，如图， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当点E在x轴下方时，此时，即，如图， 又∵点在第一象限， ∴， ∴， 解得， ∴， 又∵， ∴， ∴，符合， ∴， 综上所述，或，即且． 6．如图①，在平面直角坐标系中，已知，．将线段A先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，点是射线上一动点． (1)填空：点的坐标是，点的坐标是______； (2)当点运动到如图①所示的位置时，连接，此时平分，点是延长线上一点，已知，猜想和的位置关系并写出证明过程； (3)当点在线段上运动时，若，求出点的坐标； (4)点是射线上一动点（点不与点、重合），连接、，直接写出、与的数量关系． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据坐标平移的特点填空即可； （2）由平移的性质可知，，，得到，再结合角平分线的定义的，得出，即可得出结论； （3）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式求得，结合题意，即可求解； （4）分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在延长线上时，过点作，根据平行线的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点C，点的对应点为点D， 则点C的坐标是，点D的坐标是， 故答案为：；； （2）解：，证明如下： 由平移的性质可知，，， ， ， 平分， ，即， ， ； （3）解：∵， ∴ ∴ 又∵在线段上运动，点D的坐标是， ∴ （4）解：①如图，当点在线段上时，过点作交于点， ， 由平移的性质可知， ， ， ， ； ②如图，当点在延长线上时，过点作， ， 由平移的性质可知， ， ， ， ； 综上可知，，与的数量关系为或． 规避策略： （1） 性质打包记忆：平移三大性质（保形保距、对应点连线平行且相等、对应边角相等）必须作为一个整体应用。 （2） 作图双重校验：平移作图后，务必检查几组对应点的连线是否都满足相同的方向和距离 4. 易错点四 命题的题设与结论拆分错误 7．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题 (2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键． （1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假； （2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补． 8．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)同旁内角相等，两直线平行； (3)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构特征写出命题的题设和结论，再根据补角的定义、平行线的判定和性质判断即可求解.掌握命题的结构特征是解题的关键． 【详解】（1）解：题设：两个角的和等于平角，结论：这两个角互为补角，该命题正确； （2）解：题设：同旁内角相等，结论：两直线平行，该命题错误，反例：“与是同旁内角，且，但两直线相交； （3）解：题设：两条平行直线被第三条直线所截，结论：内错角相等，该命题正确． 规避策略： 先找结论：先确定句子中判断的部分是什么（结论），那么前面的条件就是题设 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末复习巅峰冲刺篇 核心考点深度解析与压轴题精讲------相交线与平行线 第一部分：相交线——关系的基础 1. 邻补角与对顶角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线。数量关系：互补（和为180°）。如∠1与∠2 对顶角：两边均互为反向延长线。数量关系：相等。如∠1与∠3 核心：从相交产生的图形中，能迅速识别这两种特殊角并应用其性质计算。 2. 垂线 定义：相交角为90°时的特殊相交。 基本性质： 唯一性：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 最短性：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。这是重要的几何度量概念。 第二部分：平行线——关系的核心 1. 平行公理及推论（基石） 平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（传递性） 平行线的判定（由“角”定“线”） 前提：两条直线被第三条直线所截（即构成“三线八角”）。 判定方法1：同位角相等，两直线平行。 判定方法2：内错角相等，两直线平行。 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行。 核心思维：在复杂图形中，找到合适的“截线”和相关的角，是应用判定的关键。 2. 平行线的性质（由“线”定“角”） 前提：已知两条直线平行。 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 核心思维：平行是“已知条件”，由此推出的角相等或互补是“结论”，用于后续计算或证明。 【重中之重：判定与性质的区分】 判定：目的是证明两条直线平行。格式：∵ 角的关系​ ∴ 线平行。 性质：目的是得到角的关系。格式：∵ 线平行​ ∴ 角的关系。 简单记法：“判定”是证平行，“性质”是用平行。 第三部分：命题与平移——思想的延伸 1. 命题与定理 命题：判断一件事情的语句。由“题设”和“结论”两部分组成。 定理：经过推理证实为真的命题。 核心：初步接触几何的逻辑结构，理解证明的必要性。 2. 平移 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。 性质： (1)平移前后，图形的形状和大小完全相同。 (2)对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。 (3)对应角相等。 核心：平移是一种全等变换，其性质本质上是“平行且相等”关系的集中体现。 总结：贯穿始终的思想方法 1. 转化思想：复杂图形中，通过添加辅助线（通常是平行线），将未知角转化为已知角。 2. 建模思想：掌握“铅笔头”、“猪蹄”等基本拐点模型，实质是过拐点作平行线，将条件与结论汇聚到一条直线上。 3. 规范表达：几何推理必须步步有据，使用“∵”、“∴”和规范的几何语言。 掌握本章核心，关键在于吃透“线”与“角”的互推关系，并能在复杂图形中准确识别或构造出“三线八角”这一基本模型 1. 相交线 1．如图，为直线上一点，，是内部的一条射线，平分．已知，． (1)求的值． (2)求的度数． (3)从点作一条射线，使与的和等于，求的度数． 2．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的一个顶点放在处，边与直线重合，． (1)如图，求的度数． (2)将直角三角尺绕点以度/秒的速度顺时针旋转一周，同时射线绕点以度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同的速度逆时针旋转，随直角三角尺的停止而停止，记旋转时间为秒． ①如图，当直角三角尺旋转到直线上方，且平分时，求的度数． ②探究：在旋转过程中，当时，求的值． 3．如图，已知点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)若平分，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作射线，使得，求的度数； (3)在的内部作一条射线，射线OM在射线OF的上方，使得，若，求的值． 4．张老师将教鞭和直角三角板放在量角器上．如图①，是量角器的直径，点是圆心，教鞭与重合，直角三角板的一个顶点放在点处，一边与重合，．如图②，现将教鞭绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时将直角三角板绕点逆时针方向以每秒的速度旋转，当与重合时，三角板和教鞭同时停止运动．设旋转时间为秒． (1)在旋转过程中，求的度数（用含的代数式表示）． (2)在旋转过程中，当为何值时，． (3)在旋转过程中，若射线，，中的两条射线组成的角（指大于0°而不超过180°的角）恰好被第三条射线平分，求出此时的值． 5．如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数； (2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数； (3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数． 2. 平行线的判定 1．已知，点、分别在的两边、上，点是射线上的一点，连接、，，，；平分，平分． (1)如图，若， 求的度数； 判断、的位置关系，并说明理由． (2)如图，当点在射线上运动时，若直线、相交于点，请用含有、的代数式表示直接写结果 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，且、满足，点C在x轴的负半轴上，连接AB、AC． （1）如图1，若的面积是面积的倍，求点C的坐标： （2）如图2，点D在AC上，点E在AB上，连接OD，过点E作轴于点F，若，求证：； （3）在（1）的条件下，点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OB方向移动，同时点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度在AO间往返移动，即先沿AO方向移动，到达点O反向移动．设移动的时间为t秒，四边形ACQB与的面积分别记为、，是否存在时间，使；若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 3．已知直线，被直线所截． (1)如图①，平分，平分（平分的是一对同位角），则与满足________时，； (2)如图②，平分，平分（平分的是一对内错角），则与满足________时，； (3)【拓展设问】如图③，平分，平分（平分的是一对同旁内角），则与满足什么条件时，？为什么？ 3. 平行线的性质 1．如图，，分别平分和，若，则的度数是__________． 2．如图所示，含的直角三角形，点和点在两平行线上，分别为的角平分线，为的延长线与的交点． (1)求证：； (2)试判别和的大小关系，并说明理由； (3)当时，射线和射线分别以每秒和每秒的速度同时顺时针旋转，当射线旋转一周时，全部停止运动，求射线和射线在旋转过程中平行时对应的时间的值． 3．【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． (1)如图一，已知，，请说明． 解：分别过点C，D作，． 因为 ① ，所以． 由两直线平行，内错角相等，可知，，． 由题知，所以 ② ． 则，即 ③ ． 由 ④ ，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． (2)【迁移应用】如图二，已知，，的交点为E．判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第n次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，直接写出的大小． 4．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．现将两灯射出的光束看作是两条射线，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即往回旋转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：___________； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前(即灯B转动角度小于)，A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，两灯同时开始转动，在灯A射线到达之前(即灯A转动角度小于)，若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 5．已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 4. 平移 1．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则________． 2．如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则______． 3．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC． (1)填空：BC与AD的位置关系为__________，BC与AD的数量关系为__________； (2)点G，E都在直线BC上，，DF平分交直线BC于点F． ①如图2，若G，E为射线CB上的点，，求的度数； ②如图3，若G，E为射线BC上的点，，则__________（用含的式子表示）． 5. 命题与证明 1．甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色．在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色．”乙说：“丙的车是红色的．”丙说：“丁的车不是蓝色的．”丁说：“甲、 乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话．”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是：（         ） A．甲的车是白色的，乙的车是银色的 B．乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C．丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D．丁的车是银色的，甲的车是红色的 2．如图，平分平分，则 ______ ． 3．定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． (1)验证：判断数对是否为异差数对； (2)推理证明：当时，数对一定是异差数对； (3)判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 1. 易错点一：“三线八角”识别不清 1．如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，其中同旁内角为________________________（写出每组具体名称），则的值是____________． 2．如图,点D是BC上一点，图中与∠C构成同旁内角的角有_________个 ． 规避策略： （1） 先定“三线”：明确要判断哪两条直线（被截线）被哪条直线（截线）所截。可以用笔描出目标“三线”。 （2） 模型对照：牢记“F型”（同位角）、“Z型”（内错角）、“U型”（同旁内角）的抽象形状，在图形中匹配查找。 （3） 口诀辅助：“看位置，定关系；无截线，先构造”。 2. 易错点二 平行线的判定与性质混淆 3．如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有______．（填序号） 4．如图，在四边形中，，，，分别是，的平分线． (1)与有什么关系，为什么？ (2)，有什么位置关系？请说明理由； (3)若，，其他条件不变，请直接写出和之间的关系，，之间的位置关系，不必说明理由． 规避策略： （1） 牢记方向： · 判定：条件（角的关系）→ 结论（线平行）。用于证明两条线平行。 · 性质：条件（线平行）→ 结论（角的关系）。已知平行后，用来求角或证角相等/互补。 （2） 书写规范：严格按照“∵（条件） ∴（结论）”的格式书写，每一步都要有明确依据。 3. 易错点三：平移的性质应用不完整 5．在平面直角坐标系中，已知点，其中a、b满足关系式 ， (1)求点A、B的坐标． (2)点是第一象限内一动点，且三角形的面积为6． ①求m与n的关系式； ②将线段沿射线平移，得到线段（点B与点A 是对应点），连接，设三角形的面积为 ，三角形的面积为，当时， 求m的取值范围． 6．如图①，在平面直角坐标系中，已知，．将线段A先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，点是射线上一动点． (1)填空：点的坐标是，点的坐标是______； (2)当点运动到如图①所示的位置时，连接，此时平分，点是延长线上一点，已知，猜想和的位置关系并写出证明过程； (3)当点在线段上运动时，若，求出点的坐标； (4)点是射线上一动点（点不与点、重合），连接、，直接写出、与的数量关系． 规避策略： （1） 性质打包记忆：平移三大性质（保形保距、对应点连线平行且相等、对应边角相等）必须作为一个整体应用。 （2） 作图双重校验：平移作图后，务必检查几组对应点的连线是否都满足相同的方向和距离 4. 易错点四 命题的题设与结论拆分错误 7．将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 8．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是正确的还是错误的．如果是错误的，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)同旁内角相等，两直线平行； (3)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 规避策略： 先找结论：先确定句子中判断的部分是什么（结论），那么前面的条件就是题设 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $