精品解析：辽宁省葫芦岛市建昌县第一初级中学2026年初中毕业生学业水平模拟考试（一）数学试卷

2026年初中毕业生学业水平模拟考试（一） 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列的音符图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断即可． 【详解】解：选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是轴对称图形又是中心对称图形；选项C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形； 则只有选项B符合题意． 2. 天文学家利用太空望远镜，在距离地球约129000000千米的小行星群中发现了一颗罕见的双小行星，其中数据129000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据129000000用科学记数法可表示为． 3. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.，故原计算错误，不符合题意；        B.，故原计算错误，不符合题意； C.，故原计算正确，符合题意；        D.与不是同类项，不可以合并，故原计算错误，不符合题意. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式及定义，列出不等式即可求解． 【详解】解：由题可得， ，且， 解得：且， 实数m的值可以是． 6. 如图，， 交于点 ， ， ， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，根据可得，根据平行线的性质可得，进而根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据，，可得四边形是平行四边形，从而得到，，再由，可得，从而得到，进而得到，再根据四边形的周长是，即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长是． 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问人、银各几何？其大意是：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两（古代的半斤即为8两），问有多少人？有多少两银子？设有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，依据两种分银方式中银子总数不变的等量关系列方程，需先将两种分法对应的银子数量用含人数的代数式表示出来． 【详解】解：设有人， ∵每人分7两剩余4两， ∴银子总数可表示为， ∵每人分9两差8两， ∴银子总数可表示为， ∵银子总数是固定值， ∴． 故选：B． 9. 如图，已知点、，将线段绕点A顺时针旋转90°得到线段，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据题意证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，．分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线交于点F，连接．下列说法中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据垂直平分线的性质判断C选项；然后利用等边对等角得到，即可判断D选项；根据角的直角三角形的性质判断A 选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断B选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，即，故A、D选项正确，不符合题意； ∴，故B选项错误，符合题意. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】直接提取公因式即可：． 12. 在不透明的口袋中装有2个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同，从中随机取出1个球后放回，再随机取出1个球，则取出的2个球恰好都是黑球的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查利用树状图求概率，根据题意画出树状图，得出共有25种等可能的结果，其中取出的2个球恰好都是黑球的结果数为4，根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：画树状图为： 共有25种等可能的结果，其中取出的2个球恰好都是黑球的结果数为4， 所以取出的2个球恰好都是黑球的概率． 故答案为：． 13. 某中学为选拔参加市运动会的男子100米短跑项目的运动员，需要对甲、乙两名男子短跑运动员进行测试．每人10次100米短跑成绩（单位：s）的平均数和方差如下表所示： 学生 甲 乙 11.33 11.41 0.09 2.85 则这两名运动员成绩更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的性质，如果一组数据的方差越小，那么这组数据的波动越小，成绩越稳定，结合两人的方差数值进行判断即可． 【详解】解：∵甲的方差为0.09，小于乙的方差2.85， ∴甲的成绩更稳定． 14. 如图，反比例函数的图象经过的顶点B，在x轴上，若点，的面积为12，则k值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点B坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴． 15. 如图所示，已知矩形，，，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，当线段的长度为最大值时，线段的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】以为圆心，长为半径作圆，当与相切时，即，两点重合时，值最大，证明，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：以为圆心，长为半径作圆，如图所示： 四边形是矩形，，， ，，， 由折叠的性质得： ，， ， 当与相切时，即，两点重合时，、、三点共线，值最大， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 在中，， ， 当线段的长度为最大值时，线段的长度为． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 某公司筹备元旦晚会，计划购买甲、乙两种装饰道具．购买1个甲种道具和2个乙种道具共需125元；购买2个甲种道具和5个乙种道具共需300元． （1）求甲、乙两种道具的单价； （2）若该公司计划购买甲、乙两种道具共50个，且总花费不超过2000元，那么该公司最多可以购买多少个乙种道具？ 【答案】（1）甲种道具的单价是25元，乙种道具的单价是50元 （2）该公司最多可以购买30个乙种道具 【解析】 【分析】（1）设出单价，根据题意列出二元一次方程组，解得即可； （2）根据题意列得一元一次不等式，求解即可. 【小问1详解】 解：设甲种道具的单价是x元，乙种道具的单价是y元， 根据题意得：， ， 解得：， 答：甲种道具的单价是25元，乙种道具的单价是50元； 【小问2详解】 解：设该公司购买m个乙种道具，则购买个甲种道具， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为30， 答：该公司最多可以购买30个乙种道具． 18. 为增强学生环保意识，某校九年级共800名学生参加了“绿色家园”环保知识竞赛．为评估学生的环保知识掌握水平，调查小组从九年级随机抽取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，整理得到如下信息： 信息一：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图； 信息二：竞赛成绩在这一组的成绩是：80、81、83、83、83、83、84、84、84、85、85、86、86、87、87、88、88、89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求样本中50名学生竞赛成绩的中位数； （3）若竞赛成绩在88分及以上的学生被称为“环保小卫士”，请估计九年级全体学生中“环保小卫士”的人数． 【答案】（1）见解析 （2）82分 （3）192人 【解析】 【分析】（1）先求出成绩在的人数，进而补全统计图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中成绩在88分及以上的学生人数，再利用样本估计总体的方法解答． 【小问1详解】 解：成绩在的人数为， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：成绩小于80分的人数有， ∴成绩的中位数在的一组内，且中位数分； 【小问3详解】 解：成绩在这一组的88分及以上的有3人，在这一组的有9人， ∴估计九年级全体学生中“环保小卫士”的人数是人． 19. 如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． （1）求抛物线状沙丘的函数表达式； （2）轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．正确理解题意是关键； （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为， 故设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线状沙丘的函数表达式为． 【小问2详解】 解：令，得， 解得，， ， 、两点之间的距离为． 20. 如图1是校园新建的活动室，如图2是活动室主房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量活动室主房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走10m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）． （1）求该活动室顶到横梁的距离（结果精确到0.1m）； （2）求该活动室的高度（结果精确到1m） （参考数据：，，，） 【答案】（1）4.0米 （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形灵活利用三角函数． （1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 则在中，，，， ， ， 答：屋顶到横梁的距离约为4.0米； 【小问2详解】 解：如图2，过作于，设， 在中，，， ， ， 在中，，， ∵， ， ， ∴，， 解得：， 四边形为矩形， ， ． 答：房屋的高约为12米． 21. 如图，BC是的直径，点A、E在上，过点A作于点D，且，连接BE分别交AD，AC于点F，G． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴（等弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴（等角对等边）． （2） 【解析】 【分析】（）利用得到等弧所对圆周角相等，再结合直径所对的圆周角为直角、的条件，通过角的互余关系证明，从而得到； （）先根据求出圆的半径和相关线段长度，再通过三角函数求出圆心角，最后代入弧长公式计算的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴，即； 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角定理及其推论、弧长公式、等腰三角形的判定，涉及垂径定理、同弧或等弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角等知识点。解题关键是利用弧与圆周角的关系进行角的等量代换，结合等腰三角形判定证明线段相等． 22. 综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动． 如图1，在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点． 【探究规律】 （1）如图1，连接，在绕点A逆时针旋转的过程中，同学们发现始终有，请你证明这一结论； 【特殊位置】 （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，当时，求的长． 【答案】（1）证明：∵，将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点）， ∴，， ∴， ， ， 在和中， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“”证明，得到，即可求解； （2）根据题意得到，可证，，，则，则，在中由勾股定理即可求解； （3）根据题意可证四边形是平行四边形，得到，，再证，得到，即，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 由（1）知， ， 又， ，， 在中，，， ， ∵， ∴， ∴， ； 【小问3详解】 解：， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ∴， ， ，即， ． 23. 定义：若一个函数图象中存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“和谐点”，例如：点是函数的图象的“和谐点”． （1）函数的“和谐点”为          ； （2）设函数，的图象的“和谐点”分别为点A、B，过点B作轴，垂足为C，当面积为4时，求b的值； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当与组合成的图象上恰有两个不同的“和谐点”时，请求出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据“和谐点”定义，令，解一元一次方程即可求得． （2）分别求出两个函数的“和谐点”、的坐标，得到点坐标，利用三角形面积公式列方程求解． （3）分别求出和的“和谐点”所在方程，根据的不同取值范围分类讨论，统计不同“和谐点”的个数，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：函数的“和谐点”满足， ， ， ， 函数的“和谐点”为． 【小问2详解】 解：对于函数，令， ， ， （负值舍去）， ， 对于函数，令， ， ， ， 轴，垂足为， ， ， ， ， ， 当时： ， ， 当时： ， ，方程无实数解， 或． 【小问3详解】 解：对于：，令， ， ， ， ，， 当时，有两个“和谐点”：和， 当时，有一个“和谐点”：， 当时，没有“和谐点”， 是沿直线翻折后的图象， 的解析式为， 令， ， ， ， ， 当时，，没有“和谐点”， 当时，，有一个“和谐点”， 当时，，有两个根， 设， ， 当时，，对称轴， 的两个根都小于，有两个“和谐点”， 当时，，有两个“和谐点”和， 当时，， 有一个“和谐点”（较小的根满足）， 当时，，有一个“和谐点”， 当时，，对称轴， 的两个根都大于，没有“和谐点”， 当时，与有公共“和谐点”；当时，与有公共“和谐点”， 不同“和谐点”的个数统计如下： 当时，有个，有个，共个， 当时，有个，有个，共个， 当时，有个，有个，共个， 当时，有个，有个（含个重合），共个， 当时，有个，有个，共个， 当时，有个，有个（重合），共个， 当时，有个，有个，共个， 当与组合成的图象上恰有两个不同的“和谐点”时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中毕业生学业水平模拟考试（一） 数学试卷 （本试卷共23道题满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列的音符图片既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 天文学家利用太空望远镜，在距离地球约129000000千米的小行星群中发现了一颗罕见的双小行星，其中数据129000000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 如图，， 交于点 ， ， ， 则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 8. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，问人、银各几何？其大意是：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两（古代的半斤即为8两），问有多少人？有多少两银子？设有人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点、，将线段绕点A顺时针旋转90°得到线段，则点B的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，．分别以点A，点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，E，作直线交于点F，连接．下列说法中，错误的是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：=_______． 12. 在不透明的口袋中装有2个黑球和3个白球，它们除颜色外都相同，从中随机取出1个球后放回，再随机取出1个球，则取出的2个球恰好都是黑球的概率为______． 13. 某中学为选拔参加市运动会的男子100米短跑项目的运动员，需要对甲、乙两名男子短跑运动员进行测试．每人10次100米短跑成绩（单位：s）的平均数和方差如下表所示： 学生 甲 乙 11.33 11.41 0.09 2.85 则这两名运动员成绩更稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，反比例函数的图象经过的顶点B，在x轴上，若点，的面积为12，则k值为________． 15. 如图所示，已知矩形，，，点E为边上不与端点重合的一个动点，连接，将沿翻折得到，连接并延长交于点G，当线段的长度为最大值时，线段的长度为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 某公司筹备元旦晚会，计划购买甲、乙两种装饰道具．购买1个甲种道具和2个乙种道具共需125元；购买2个甲种道具和5个乙种道具共需300元． （1）求甲、乙两种道具的单价； （2）若该公司计划购买甲、乙两种道具共50个，且总花费不超过2000元，那么该公司最多可以购买多少个乙种道具？ 18. 为增强学生环保意识，某校九年级共800名学生参加了“绿色家园”环保知识竞赛．为评估学生的环保知识掌握水平，调查小组从九年级随机抽取50名学生的竞赛成绩（百分制，成绩取整数）作为样本，整理得到如下信息： 信息一：50名学生的竞赛成绩的频数分布直方图； 信息二：竞赛成绩在这一组的成绩是：80、81、83、83、83、83、84、84、84、85、85、86、86、87、87、88、88、89． 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求样本中50名学生竞赛成绩的中位数； （3）若竞赛成绩在88分及以上的学生被称为“环保小卫士”，请估计九年级全体学生中“环保小卫士”的人数． 19. 如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． （1）求抛物线状沙丘的函数表达式； （2）轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 20. 如图1是校园新建的活动室，如图2是活动室主房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量活动室主房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走10m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）． （1）求该活动室顶到横梁的距离（结果精确到0.1m）； （2）求该活动室的高度（结果精确到1m） （参考数据：，，，） 21. 如图，BC是的直径，点A、E在上，过点A作于点D，且，连接BE分别交AD，AC于点F，G． （1）求证：； （2）若，求的长度． 22. 综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动． 如图1，在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点． 【探究规律】 （1）如图1，连接，在绕点A逆时针旋转的过程中，同学们发现始终有，请你证明这一结论； 【特殊位置】 （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，当时，求的长． 23. 定义：若一个函数图象中存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“和谐点”，例如：点是函数的图象的“和谐点”． （1）函数的“和谐点”为          ； （2）设函数，的图象的“和谐点”分别为点A、B，过点B作轴，垂足为C，当面积为4时，求b的值； （3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当与组合成的图象上恰有两个不同的“和谐点”时，请求出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $