精品解析：2025年辽宁省葫芦岛市建昌县中考一模数学试题

2025年建昌县初中学业水平模拟考试（一） 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是一个由5个相同的正方体组成的几何体．它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 3. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 截至2025年2月27日16时58分，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破140亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第8位．将14000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，直线分别与边、相交于点D、E，连接．若，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 9 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为________． 13. 甲袋有红球2个、白球1个，乙袋有红球1个、白球1个，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率是________． 14. 如图，直线与函数的图象相交于点，则不等式的解集为_______． 15. 如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 2025年3月12日是我国第47个植树节，某校计划采购一批树苗，参加植树节活动．经了解，购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需125元；购买2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需300元． （1）求甲、乙两种树苗的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种树苗共50棵，且两种树苗的总费用不超过2000元，求最多可购买多少棵乙种树苗． 18. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．为了考查学生对冬奥会知识的了解程度，我县举办了一次冬奥知识网上答题竞赛（百分制），甲、乙两校各有300名学生参加了此次竞赛，现从甲、乙两校的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组： ），下面给出了部分信息： 甲校20名学生的竞赛成绩（单位：分）为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 乙校20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89． 甲、乙两校样本数据的平均分、中位数、众数如表所示： 学校 甲校 乙校 平均数 85 85 中位数 86 b 众数 a 79 乙校所抽学生的竞赛成绩统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为甲、乙两校中哪个学校的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）请你估计甲、乙两校参加此次竞赛成绩优秀（）的学生总人数． 19. 某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： （1）求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； （3）当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 20. 图1是某汽车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：，，，） 21. 如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点D、E．点F在的延长线上，且． （1）求证：直线是⊙O的切线； （2）若，，求的长． 22. 定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为理想函数，这两个点称为函数，的一对理想点．例如，函数与函数为理想函数，点和点是这两个函数的一对理想点． （1）请写出函数与函数的一对理想点 ；（写出一对即可） （2）若对于任意实数k，函数与始终为理想函数，求b的值； （3）若函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，求的取值范围． 23. 【问题情境】在数学活动课上，李老师给出了如下的问题： 如图1，在中，，点，分别是边，上的点，且．求证：． 【独立思考】（1）请你解答李老师提出的问题； 【实践探究】李老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． （2）如图2，“第一小组”增加条件：过点作交的延长线于点．求证：． （3）在“第一小组”增加条件的基础上，“第二小组”增加条件：若．求证：． 【问题解决】 （4）在课后，“第三小组”的同学在前面学习的基础上，又自行创编了新的问题，请你解答． 如图3，在四边形中，，，，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年建昌县初中学业水平模拟考试（一） 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是一个由5个相同的正方体组成的几何体．它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：它的左视图为： 故选：A． 【点睛】此题考查了几何体的三种视图和空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 2. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正负数的意义，根据题意零上温度用正数表示，零下温度则用负数表示，直接对应符号即可得出答案． 【详解】解：若把气温零上记作，则表示气温为零下， 故选：B． 3. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由题意可得， A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 4. 截至2025年2月27日16时58分，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破140亿元，登顶中国影史票房榜，暂列全球票房榜第8位．将14000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 5. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 先求出方程根的判别式的值，然后根据方程根的判别式与根的情况的关系即可解答． 【详解】解：方程，其中 判别式 由于，方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质和合并同类项法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日， ∴甲的速度为，乙的速度为， 设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为， ∵相遇时甲乙的路程和等于总路程， ∴． 9. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，点G在射线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到的度数，进而即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 10. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，直线分别与边、相交于点D、E，连接．若，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，进而得出，，，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数”可得，，求得，，进而可得的值．本题主要考查了平面直角坐标系中关于原点对称的两个点的坐标之间的关系．熟练掌握“关于原点对称的两个点的横纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得， ∴． 故答案为： 13. 甲袋有红球2个、白球1个，乙袋有红球1个、白球1个，这些球除颜色外无其他差别，在看不到球的情况下，从两个袋中各随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，先根据题意将所有的情况列出来，再得到符合题意的情况，即可求得概率，列出所有情况是解题的关键． 【详解】解：根据题意可列表如下： 红球 红球 白球 红球 都是红球 都是红球 1红1白 白球 1红1白 1红1白 都是白球 共有6种等可能结果，符合题意的有2种， ∴摸出的两个球的颜色都是红色的概率是， 故答案为：． 14. 如图，直线与函数的图象相交于点，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．根据函数图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为：． 故答案为：． 15. 如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴， 设，则，则 ∴ 即 ∴ ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 又, ∴， ∴ 在中， 即 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、除法，化简二次根式、绝对值，再计算加减即可； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 2025年3月12日是我国第47个植树节，某校计划采购一批树苗，参加植树节活动．经了解，购买1棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需125元；购买2棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需300元． （1）求甲、乙两种树苗的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种树苗共50棵，且两种树苗的总费用不超过2000元，求最多可购买多少棵乙种树苗． 【答案】（1）甲种树苗的单价为25元，乙种树苗的单价为50元 （2）最多可购买30棵乙种树苗 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设甲种树苗的单价为元，乙种树苗的单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗，根据题意建立一元一次不等式，解不等式，求出的最大正整数值，由此即可得． 【小问1详解】 解：设甲种树苗的单价为元，乙种树苗的单价为元， 由题意得：， 解得， 答：甲种树苗的单价为25元，乙种树苗的单价为50元． 【小问2详解】 解：设购买棵乙种树苗，则购买棵甲种树苗， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大正整数值为30， 答：最多可购买30棵乙种树苗． 18. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．为了考查学生对冬奥会知识的了解程度，我县举办了一次冬奥知识网上答题竞赛（百分制），甲、乙两校各有300名学生参加了此次竞赛，现从甲、乙两校的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组： ），下面给出了部分信息： 甲校20名学生的竞赛成绩（单位：分）为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100． 乙校20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89． 甲、乙两校样本数据的平均分、中位数、众数如表所示： 学校 甲校 乙校 平均数 85 85 中位数 86 b 众数 a 79 乙校所抽学生的竞赛成绩统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为甲、乙两校中哪个学校的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）请你估计甲、乙两校参加此次竞赛成绩优秀（）的学生总人数． 【答案】（1）86；；40 （2）乙校的成绩较好，理由见解析 （3）210人 【解析】 【分析】本题考查了样本估计总体，众数、中位数、平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义可求出a，b的值，再用1减去乙校A组，B组，C组所占的百分比之和，可求出m的值； （2）根据中位数和平均数的意义解答即可； （3）分别求出两校的优秀人数，即可求解． 【小问1详解】 解：甲校学生的竞赛成绩86分出现的次数最多， ∴， 乙校20名学生的竞赛成绩在A组，B组的人数之和为人， 位于第10和第11的为87分和88分， ∴， ， 即； 故答案为：86；；40 【小问2详解】 解：乙校的成绩较好，理由如下： ∵乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数高于甲校的中位数86， ∴乙校的成绩较好． 【小问3详解】 解：人， 即甲、乙两校参加此次竞赛成绩优秀（）的学生总人数为210人． 19. 某花店老板购入一批进价为10元/束的满天星进行售卖，经市场调研发现：销售单价不低于进价时，日销售量（束）与销售单价（元）是一次函数关系，其部分图象如图所示： （1）求与之间的函数表达式，并写出的取值范围； （2）设该老板每天销售利润为元，求与之间的函数关系式； （3）当满天星的销售价格定为多少元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 【答案】（1），的取值范围为 （2） （3）20元或30元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的应用是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得；再根据销售单价不低于进价，建立不等式组，解不等式组即可得的取值范围； （2）根据每天销售利润（销售单价进价）日销售量列出函数关系式即可得； （3）令，建立一元二次方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则与之间的函数表达式为． ∵销售单价不低于进价，， ∴， 解得， 答：与之间的函数表达式为，的取值范围为． 【小问2详解】 解：由题意得： ， 答：与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：令，则， 解得或，均在范围内， 答：当满天星的销售价格定为20元或30元时，该花店销售满天星所获日销售利润为400元． 20. 图1是某汽车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01，参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）没有危险，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角在实际生活中的应用，其中包括三角函数的运用，直角三角形的构造以及角度的推导，解题的关键在于借助解直角三角形的知识，把汽车后备箱开启的实际场景转化为数学几何问题，正确使用三角函数建立角与边的关系． （1）通过作辅助线构造直角三角形，应用的正弦值求解即可； （2）通过作辅助线构造直角三角形，应用的余弦值可求解点到地面的距离即可判断． 【小问1详解】 解：过点作交于点E，如图， ∵，， 在中，，， ∴， ∴车后盖最高点到地面的距离为； 【小问2详解】 解：没有危险，理由如下， 过点作交于点F，如图， ∵， 在，， 又∵， ∴， ∵， 在中，， 则有， ∴车后盖点到地面的距离为， ∵小明爸爸的身高为， ∵， ∴没有危险． 21. 如图，在中，，以为直径的⊙O分别交、于点D、E．点F在的延长线上，且． （1）求证：直线是⊙O的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，正弦值的计算，通过构造辅助线，构造垂直，进而可得平行，得到与相似是解决本题的关键． （1）根据圆的切线的性质，证明，根据等边对等角，由可得，再由结合三角形内角和即可求解； （2）通过构造辅助线得到直角三角形，根据可得正弦值相等，由此可计算边长，再得相似，通过相似可求解的长 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴， 则有， ∴， ∴， ∴直线是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：过点C作交于点G，连接，如图， ∵为⊙O的直径， ∴，即， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， 在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， 在中，， 在中和在中， ，， 即，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴，即， 解得． 22. 定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为理想函数，这两个点称为函数，的一对理想点．例如，函数与函数为理想函数，点和点是这两个函数的一对理想点． （1）请写出函数与函数的一对理想点 ；（写出一对即可） （2）若对于任意实数k，函数与始终为理想函数，求b的值； （3）若函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，求的取值范围． 【答案】（1）和（或和） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，设和是这两个函数的一对理想点，列出方程，解方程求解即可； （2）将新定义得出，根据与值无关得出，即可求解； （3）设和是这两个函数的一对理想点，只存在一对理想点，根据题意得出，则关于的方程，有两个相等的实数根，得出，代入代数式，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设和是与函数这两个函数的一对理想点， ∴，整理，得， 解得：或，经检验，是所列方程的解， ∴和或和是这两个函数的理想点， 故答案为：和（或和）； 【小问2详解】 解：∵对于任意实数k，函数与始终为理想函数， ∴， ， 即， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵函数与函数（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点， 设和是这两个函数的一对理想点， ∴， 即关于的方程，有两个相等的实数根， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值0， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，反比例函数与一次函数性质，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 【问题情境】在数学活动课上，李老师给出了如下的问题： 如图1，在中，，点，分别是边，上的点，且．求证：． 【独立思考】（1）请你解答李老师提出的问题； 【实践探究】李老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下，增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． （2）如图2，“第一小组”增加条件：过点作交的延长线于点．求证：． （3）在“第一小组”增加条件的基础上，“第二小组”增加条件：若．求证：． 【问题解决】 （4）在课后，“第三小组”的同学在前面学习的基础上，又自行创编了新的问题，请你解答． 如图3，在四边形中，，，，，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和为可得，再结合即可证明； （2）根据三角形内角和为可得，再由对顶角相等即，即可证明； （3）先由角边角的证明方法证明与全等，由此可得，再由角边角的证明方法证明与全等，由此可得，即可证明； （4）先由边角边的证明方法证明与全等，由全等性质可得边的长度，再结合相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在中，， ∴， ∵过点作交的延长线于点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴； （3）证明：延长与于点G，如图， ∵，即， ∵， 由（2）知，， 在与中， 由， ∴≌， ∴， 在中，， ∴， 由（2）知，， 在与中， 由， ∴≌， ∴， ∵， ∴； （4）解：在中，，， ∴， 延长与于点G，延长交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴为的角平分线， ∴为的中线和高线， ∴，， 由（2）知，， 在与中， 由， ∴≌， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， 由， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，需熟练掌握由等量代换证明角度相等；根据三角形全等可得长度，由相似三角形的性质求解是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $