8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱。 (1)求剩下几何体的表面积； (2)求剩下几何体的体积． 【例2】如图，在平面四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积. 【例3】如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积． 【例4】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、、分别沿DE、EF、DF折起，使得A、B、C三点重合于点P，求四面体外接球的表面积.    【A组基础达标】 一、单选题 1．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 2．如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆台的高为，侧面积为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 6．如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 7．若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 8．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 三、填空题 9．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 10．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 四、解答题 11．如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 12．如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求：(1)半球的半径；(2)半球的表面积和体积． 【B组能力提升】 1．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．已知A，B，C，D是球O的球面上四点，，球心O是AD的中点，四面体ABCD的体积为，求球O的体积； 3．如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切． (1)求这两个球的半径之和． (2)当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值． 4．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），． (1)求圆锥DB的表面积和体积； (2)如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】如图，圆锥的底面半径为1，高为4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱。 (1)求剩下几何体的表面积； (2)求剩下几何体的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】根据给定条件，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积和体积公式求解. 【详解】（1）由三角形中位线定理，得圆柱的底面半径，圆柱母线长为2， 圆锥的母线长为， 所以圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积为圆锥的表面积加上圆柱的侧面积， 即. 故剩下几何体的表面积为. （2）圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积等于圆锥的体积减去圆柱的体积， 即． 故剩下几何体的体积为. 【例2】如图，在平面四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积. 【答案】， 【分析】根据给定条件，确定几何体的形状，再利用圆锥、圆台表面积及体积公式求解. 【详解】作于，由，得，又，则， 而，，，则，四边形是直角梯形， 其上下底边长分别为2和6，高为4，四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体是圆台， 并挖去一个以上底面为底面，高为2的圆锥，几何体的表面积 ； ，， 所以所求体积为. 【例3】如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为． (1)求圆柱的表面积； (2)求三棱锥外接球的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出AP、BP，即可得到，再由，求出，最后根据圆柱的表面积公式计算可得； （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球，求出外接球的半径，再根据球的体积公式计算可得． 【详解】（1）在中，，， ， 又在中，，， ， 而点P在圆柱的底面圆O上，且为圆的直径， ， 所以， 于是由，得， ， 圆柱的表面积． （2）三棱锥外接球即为圆柱的外接球， 则外接球的球心是的中点，半径， 所以三棱锥外接球的体积． 【例4】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、、分别沿DE、EF、DF折起，使得A、B、C三点重合于点P，求四面体外接球的表面积.    【答案】 【分析】由已知，将四面体补为长方体，求出长方体外接球的半径，即可得出答案. 【详解】     画出四面体，如图1所示，PE、PF、PD两两垂直，    将该四面体补成长方体，如图2所示， 则长方体的外接球即为四面体的外接球. 因为，长方体的外接球球心在其体对角线的中点处，且由题意可得，， 所以，长方体的外接球的半径为， 所以，四面体的外接球的表面积为. 【A组基础达标】 一、单选题 1．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高均为3，侧面积之比为2:3，则圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥、圆柱的侧面积公式列方程求底面半径，再由圆锥的体积公式求体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积之比为2:3， 所以即，故， 故圆锥的体积为． 故选：C 2．如图1，何尊是我国西周早期的青铜器，它可以近似看作由上部分圆台和下部分圆柱组合而成的几何体，如图2所示，该几何体的高约为38 cm，上口直径约为28 cm，圆柱的底面直径约为20 cm，取的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积约为，则该几何体上部分圆台的体积约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合圆柱的侧面积、体积公式，以及圆台的体积公式求解即可． 【详解】设圆台、圆柱的高分别为，圆台的上口半径和下口半径分别为， 则由题意可得，，， 由题意，1320，得， 所以， 故． 故选：C． 3．已知圆台的高为，侧面积为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆台的母线长为，上底面的半径为，则下底面的半径为. 因为圆台的侧面积为，所以，得， 又，所以， 则上底面和下底面的面积分别为， 则该圆台的体积为. 4．在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体体对角线的长即为外接球的直径得出，然后再根据球的表面积公式即可求解 . 【详解】设外接球半径为，已知长方体长宽高为：，，. 根据长方体体对角线公式： ， 由体对角线长等于，得，即， 所以长方体外接球表面积. 5．已知正四棱锥外接球的表面积为，则正四棱锥的体积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．56 【答案】C 【分析】设顶点在底面上的射影为，先求得球的半径为再分球心在高上和不在高两种情况分别求出高,进而得棱锥的体积. 【详解】如图，设四棱锥的顶点在底面上的射影为， 则为四棱锥的高． 四棱锥为正四棱锥， 点为底面正方形的中心，且平面． 由正四棱锥的对称性可知，球心在直线上， ． 设球的半径为 球的表面积为，解得． 又，即． 当球心在高上时，， 底面的面积为 正四棱锥的体积． 当球心不在高上时，， 正四棱锥的体积． 故C正确． 6．如图，在梯形中，，，，，为线段的中点，先将梯形挖去一个以为直径的半圆，再将所得平面图形以线段的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，旋转后得到的几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，利用圆台和球的体积公式求解. 【详解】连接，由题意知. 几何体为一个圆台中挖去半球所形成的几何体，其中圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，半球的半径为1， ，， 故该几何体的体积为. 故选：A.    二、多选题 7．若一个球的直径为d，体积为，一个正方体的棱长为a，体积为，且它们的表面积相同，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由球的表面积公式与正方体的表面积公式，结合表面积相同的条件，可得，再由球的体积公式与正方体的体积公式，结合，可得. 【详解】球直径为，则半径为，则球的表面积为， 正方体棱长为，则表面积为． 由，因为，所以，即，故A正确，C错误； 又，， 因为，所以，即．故B错误，D正确； 故选：AD. 8．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（   ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的表面积之比为 【答案】CD 【分析】根据圆柱、圆锥、球的侧面积和表面积公式计算逐一判断. 【详解】由题意可得，圆柱的侧面积为，A错误； 圆锥的母线长，则侧面积为，B错误； 球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确； 圆柱的表面积为，圆锥的表面积为， 所以圆柱、圆锥、球的表面积之比为，D正确． 故选：CD 三、填空题 9．已知圆台的上、下底面的半径分别为1，2，高为，则该圆台的表面积为______． 【答案】 【详解】圆台的上底面半径 ，下底面半径 ，高 ， 所以母线长 ， 侧面积 ， 上底面积 ，下底面积 ， 表面积 ． 10．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 【答案】 【详解】作出圆台和内切球的组合体的轴截面，设圆台的内切球的半径为，结合圆的性质，得到圆台的母线长为，结合梯形性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【点睛】如图所示，作出圆台和内切球的组合体的轴截面，圆台的母线与圆的切点为， 因为圆台的上底面半径为，下底面半径为， 根据圆的切线的性质，可得， 设圆台的内切球的半径为，可得 可得圆台的母线长为， 又由，可得，即， 所以圆台的内切球的表面积为. 四、解答题 11．如图（图中单位：）是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱．（参考数据：） (1)已知铁的密度为，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面（包含底面）涂油漆，若该零件每平方厘米要用油漆，求总共需要用油漆多少克． 【答案】(1)4992g (2)72000g 【分析】（1）利用圆柱与棱柱的体积公式求出零件的体积，借助铁的密度求出铁的质量. （2）利用圆柱与棱柱的表面积公式求出零件的表面积，即可得解. 【详解】（1）圆柱部分体积为， 正四棱柱部分体积为，因此零件的体积为， 而铁的密度为，所以生产一件这样的铸铁零件需要克铁. （2）此零件的表面积为（）， 因此1000个零件的表面积为， 所以需油漆的质量为（）. 12．如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： (1)半球的半径； (2)半球的表面积和体积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用球的截面小圆性质结合已知求出半球半径即可. （2）利用球的表面积公式和球的体积公式求解表面积与体积即可. 【详解】（1）由题意得正方体的棱长为， 则在半球上的正方体4个顶点所在小圆半径为， 而半球球心到此截面小圆距离为， 因此半球半径. （2）由球的表面积公式得半球的表面积， 由球的体积公式得体积. 【B组能力提升】 1．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似的看作是半球与圆柱的组合体（如图2）．假设内壁表面光滑，其内壁表面积为cm2，半球的半径为cm，当时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱的高为，根据圆柱和球的表面积公式求得，再根据圆柱和球的体积公式求出酒杯和半球的体积，结合题意求得的范围，即可得解. 【详解】设圆柱的高为， 则，所以, 酒杯的体积， 半球的体积， 因为酒杯的容积不大于半球体积的2倍， 所以，解得， 又因，所以， 所以， 当时，的最小值为. 故选：C. 3．已知A，B，C，D是球O的球面上四点，，球心O是AD的中点，四面体ABCD的体积为，求球O的体积； 【答案】 【分析】利用棱锥的体积公式结合球的体积公式计算即可. 【详解】如下左图所示，由题意可知AD为球O的直径，设D到面ABC的距离为d， 则等边的面积为，所以， 则球心O到面ABC的距离为1. 设面ABC，易知H为等边的外心， 所以，故球的半径， 所以球O的体积. 3．如图，在棱长为的正方体内，球与球的球心均在线段AC上，这两个球外切并且球与该正方体的上底面相切，球与该正方体的下底面相切． (1)求这两个球的半径之和． (2)当这两个球的半径分别为多少时，这两个球的表面积之和最小？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）作出对角面及两球的截面，利用两球半径表示即可得解； （2）由面积公式及基本不等式的变形即可求出最值. 【详解】（1）由题知ABCD为过球心和对棱AB，CD的截面，如图， 则． 设球的半径分别为r，R， 则． 由，解得． （2）设这两个球的表面积之和为S，则， 所以． 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立． 4．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，如图①所示．如图②是一个半径为3的球体，平面ABC与球相交，截面为圆B，延长BO，交球于点D，则BO垂直于圆B（BO垂直于圆B内的所有直线），． (1)求圆锥DB的表面积和体积； (2)如图平面ABC上方与球体之间的部分叫球冠，请利用祖暅原理求球冠的体积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出圆锥高和母线，从而求其表面积和体积； （2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥．取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为，所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等，根据求解． 【详解】（1）因为，， 设，则， 圆锥高，母线长， ， ． （2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱， 内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥． 取同一高度h的截面．令球冠截面半径为，面积为，圆锥截面半径为， 面积为，．， ， 所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等． 所以． 依题意圆柱的高为2，半径为3．圆台的上底面半径为3，下底面半径为， 因为即为球冠的底面积，所以 由，得，所以 所以 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $