8.3.2 课时2 球的表面积和体积(与球有关的内切、外接问题) 同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2 课时2 球的表面积和体积(与球有关的内切、外接问题) 【基础巩固】 1．若平面截球所得截面圆的直径为2，球心到的距离为1，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，由题可得截面圆的半径为， 因为球心到的距离为1，所以, 球的半径，所以球的表面积为. 故选：C 2．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】设长方体的外接球半径为，且， 因为外接球表面积为，故，即， 又因为，可得，即， 所以该长方体的体积，当且仅当时，等号成立， 所以长方体的体积的最大值为. 故选：C． 3．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设三棱柱上底面和下底面的中心分别为,连接，则其外接球的球心在的中点处，记球心为,连接，则由正三棱柱的性质可知为直角三角形； 因为正三棱柱的高为2，， 所以，，所以. 故选：B 4．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知，该四面体是正四面体，将正四面体补形成正方体，则此时正四面体与正方体的外接球为同一个球， 因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为，得正方体的体对角线， 因为正方体的体对角线是正方体外接球的直径， 故外接球半径，所以． 故选：A. 5．（多选）现有一个圆锥的底面半径为，高为，一个圆柱的底面半径为，高为，则（ ） A．圆柱的体积与圆锥的体积的比值大于 B．圆柱的母线长与圆锥的母线长的比值为 C．圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值小于 D．圆柱的外接球的体积与圆锥的外接球的体积相等 【答案】BCD 【解析】对于A选项，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 所以，A错； 对于B选项，圆柱的母线长为，圆锥的母线长为， 所以，B对； 对于C选项，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为， 所以， 因为，故，C对； 对于D选项，设圆柱的外接球半径为，则， 设圆锥的外接球半径为，则，解得，故，D对. 故选：BCD. 6．已知球上两点满足，则球体积的最小值为___________． 【答案】 【解析】因为球体中的最长弦为直径，所以当球的直径时，球的半径最小， 此时，. 故答案为： 7．如图是青浦高级中学高二教学楼前的花岗岩挡车球，也叫石球．该石球是空心球，它的外直径为，内直径为，石球材料的密度为，则该石球的质量为___________千克（,答案精确到0.01千克） 【答案】418.25 【解析】由题意可知：, 故石球的质量为 故答案为：418.25 8．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm. (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 【答案】见解析 【解析】(1)该半球的直径， 所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； (2)上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以1个“浮球”的表面积为. 【能力拓展】 9．已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设上、下两个底面的中心分别为、，连接， 因为所有棱长为的正三棱柱的六个顶点都在同一球面上， 所以正三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，在等边中，， 在直角中，， 所以正三棱柱外接球的半径， 所以球的表面积为. 故选：C. 10．若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据条件，作出正四棱台如图所示，则其外接球球心在直线上， ，，，所以，， 由，设， 可得，解得， 所以外接球半径即， 所以其外接球表面积为. 故选：A 11．如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为________. 【答案】 【解析】过作于点，如图： 则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知所以. 则，所以,所以球的半径， 所以，， 所以. 故答案为：. 【素养提升】 12．如图，半径为的球中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的表面积的比值． 【答案】见解析 【解析】解法1：如图，设圆柱的上底面半径为，球的半径为，球的半径与上底面半径夹角为，则，圆柱的高， 圆柱的侧面积，当且仅当时，最大，即， 圆柱的表面积， 球的表面积，所以球的表面积与该圆柱的表面积之比是． 解法2：设圆柱的上底面半径为，球的半径为，圆柱的高． 圆柱的侧面积为，当且仅当，即时，最大， 圆柱的表面积，球的表面积，所以球的表面积与该圆柱的表面积之比是． 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.3.2 课时2 球的表面积和体积(与球有关的内切、外接问题) 【基础巩固】 1．若平面截球所得截面圆的直径为2，球心到的距离为1，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知长方体的外接球表面积为，且，则该长方体的体积的最大值为（ ） A． B． C．3 D． 3．已知正三棱柱的高为2，，则该三棱柱的外接球的半径为（ ） A．1 B． C．2 D． 4．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）现有一个圆锥的底面半径为，高为，一个圆柱的底面半径为，高为，则（ ） A．圆柱的体积与圆锥的体积的比值大于 B．圆柱的母线长与圆锥的母线长的比值为 C．圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值小于 D．圆柱的外接球的体积与圆锥的外接球的体积相等 6．已知球上两点满足，则球体积的最小值为___________． 7．如图是青浦高级中学高二教学楼前的花岗岩挡车球，也叫石球．该石球是空心球，它的外直径为，内直径为，石球材料的密度为，则该石球的质量为___________千克（,答案精确到0.01千克） 8．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长2cm. (1)这种“浮球”的体积是多少？（结果精确到0.1） (2)这种“浮球”的表面积是多少？ 【能力拓展】 9．已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 10．若一个正四棱台的高为，上下底面的边长分别为和的正方形，则该台体的外接球的表面积（ ） A． B． C． D． 11．如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为________. 【素养提升】 12．如图，半径为的球中有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与该圆柱的表面积的比值． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $