精品解析：2026年广西壮族自治区崇左市扶绥县二模数学试题

2026年广西壮族自治区崇左市扶绥县二模数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列新能源车标中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形是沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，根据轴对称图形的定义判断选择即可． 【详解】解：新能源车标中不是轴对称图形的是． 2. 刘徽在为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之．正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量．如果零上记作，那么零下可记作（ ） A. °C B. 5°C C. °C D. 12°C 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的零上温度的记法，即可推出零下温度的记法． 【详解】解：∵正负数用于表示相反意义的量，题目规定零上记作，即零上记为正， ∴与零上意义相反的零下记为负，因此零下可记作． 3. 有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 4. 设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 对所求代数式因式分解得： ， 将，代入得： 原式． 5. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，解题关键是根据 “数量差为3副” 这一等量关系，用含的代数式表示出两种球拍的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则W品牌每副球拍的单价为元，由等量关系如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副，列出方程： ． 6. 方程组有正整数解，则整数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 7. 如图，在中，，点D，E分别在边和上，，连接，M，N分别是的中点，连接，且，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，取中点K，连接，根据中位线的判定和性质得到，，结合题意得到，根据勾股定理列式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，取中点K，连接， ∵点M，N分别是的中点， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得． 8. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心画．若，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正五边形每个内角的度数，结合等边三角形的性质求出的度数，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， 、， 是等边三角形， ， ， 扇形的面积为． 9. 如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点M， ∵是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，由旋转得，可求出，从而可求出，从而可求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∵, ∴, ∵, ∴． 11. 已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当水流速度越大时，水流的力也越大 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，即可判断A、B；由函数图象即可判断C、D． 【详解】解：由题意得，， 当时，则，故A正确； 当时，，故B正确； 由图象可得，水流速度越大时，水流的力越小，故C错误； 当时， 由函数图象可得，随着的增大而减小， ∴时，，故D正确． 12. 如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数，连接，利用折叠的性质和勾股定理求得，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系，求得的坐标，利用勾股定理即可解答，利用数形结合的思想，用建系法解题是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ，正方形纸片的边长为9， ， , 折叠正方形纸片，使得点落在边上的点， ，， 设，则， 在中，， 在中，， 则可得， 解得， ，， 如图，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 则可得， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为, 把代入可得，解得， 直线的解析式为, 联立方程， 解得， ， 则， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 若 ，则 __________ 【答案】 【解析】 【分析】设，则，方法，利用平方差公式展开并整体代入计算即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∴ ． 14. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是找规律问题，灵活分析式子的符号、系数和字母指数的变化规律是解题的关键．根据已知的式子，分别分析符号、系数的绝对值、字母的指数的变化规律，进而推导出第个式子的通用表达式，再将代入，求出第个式子． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依此类推， 第个式子为， 将代入得， 第个式子为． 故答案为：． 15. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是____． 【答案】## 【解析】 【分析】先求得光伏吸收区的面积，再求得总面积，然后利用几何概率的求解方法求解即可． 【详解】解：由图可知，总面积为， 其中光伏吸收区的面积为， 小球最终停留在光伏吸收区的概率是． 16. 在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积，不等式的性质和应用．先用待定系数法求出直线的解析式，再求出点的坐标，然后分和两种情况，按照三角形的面积大于三角形的面积列出不等式，求解后可得的取值范围．解题的关键是求出直线的解析式． 【详解】解：设直线的解析式为，过点，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得：， ∴， 当时，如图， ∵点，轴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 当时，如图： ∵，， ∴， ∵三角形的面积大于三角形的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1） ； （2） ； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，最后进行减法计算即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，再加减即可； （3）先根据平方差公式进行化简，再根据完全平方公式进行化简即可； （4）根据完全平方公式进行化简， 【小问1详解】 解：原式  ． 【小问2详解】 解：原式  ． 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 【答案】1班人数是20人，2班人数是26人 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据1班人数是2班人数的一半多7人，故设2班人数是人，则1班人数是人，又因为八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元，所以得，解得（舍去），然后验根作答即可． 【详解】解：设2班人数是人，则1班人数是人， ∵八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元，2班比1班的人均义卖款多5元， ∴， 整理得， 解得（舍去）， 经检验：是原分式方程的解， ∴2班人数是26人， ∴， 则1班人数是人． 19. 如图，为的直径，，与相交于点，点在上，且与相切． （1）求证：． （2）连接，交于点，连接．已知，，求弦的长． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）弦的长为． 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质，可得，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，由等边对等角，结合等角的余角相等，可得，由等角对等边，即可证得结论； （2）由三角形外角的性质，结合直角三角形的两个锐角互余，可得，可得，根据勾股定理，可得，，可得，由直径所对的圆周角是直角，可得，可得，即可得弦的长． 【小问1详解】 证明：连接， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的直径，点在上， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 【阅读理解】定义：如图1，点D，E分别在射线上（均不与点A重合），过点D且垂直于的直线与过点E且垂直于的直线交于点F，则称满足这样条件的（需满足两边分别与的两边垂直）为的“边垂角”． 【迁移运用】 （1）如图1，分别延长，交于点C，交于点B，连接． ①与之间的数量关系是_________； ②求的“边垂角”及与它的“边垂角”之间的数量关系； （2）如图2，是的“边垂角”，，交于点E，点F在射线上，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）①；②的“边垂角”是，； （2）7 【解析】 【分析】（1）①根据垂直的定义及四边形的内角和求解即可；②根据“边垂角”的定义求解即可； （2）先根据“边垂角”的定义可得，．再证明．．再求解即可． 【小问1详解】 解：① ∵ ； ②根据“边垂角”的定义，可知的“边垂角”是． ，， ，即． 【小问2详解】 解：是的“边垂角”， ，． ． 由②可得． 在和中， ，，， ． ，． ， ． ． 在和中， ，，， ． ． ． 21. 如图，是直角三角形，．以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，，点为线段上一动点，过点作的垂线交射线于点，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据作图得到两组对边分别相等，判定四边形为平行四边形，再结合，即可证明其为矩形； （2）先用勾股定理求出的长度，再通过平行线性质和直角证明，利用相似三角形对应边成比例建立与的函数关系，最后根据点在线段上确定的取值范围即可． 【小问1详解】 证明：由作图可知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵点为线段上一动点， ∴的取值范围是． 22. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若抛物线的对称轴在y轴右侧，且当时，y的最小值为，求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当时，在的范围内，y有最大值14，求抛物线的解析式． 【答案】（1）直线 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）问直接利用二次函数对称轴公式，代入参数计算对称轴； （2）问先根据对称轴位置确定的符号，再结合顶点式的最小值条件求出的值，最后通过解一元二次方程得到抛物线与轴的交点坐标； （3）先将代入函数解析式，再根据对称轴的位置分情况讨论函数的最大值，结合最大值条件求解的值，验证后得到抛物线解析式． 【小问1详解】 解：当时，抛物线化为， 抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴在轴右侧， ， ． 当时，， ， 解得， ， ． 令， 解得，， ∴抛物线与轴的交点的坐标为，； 【小问3详解】 解：当时，． 若，即，则当时，的值最大， ， 解得． 若，即，则当时，的值最大， ， 解得（舍去）． 当，即时，， 与时的函数值相等，均为，不符合题意． 综上所述，抛物线的解析式为． 23. 【延伸阅读】 如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足为点，连接．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求得点的坐标． 【应用拓展】 （1）直接写出点关于直线的对称点的坐标 ，关于直线的对称点的坐标 ； （2）如图2，求直线关于直线的对称直线的解析式； （3）如图3，已知二次函数的图象记为，关于直线对称的图象记为，求图象与的公共点的坐标； （4）如图4，已知反比例函数的图象记为，关于直线对称的图象的解析式为，当直线与图象有且只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）图象与的公共点的坐标为或或 （4）b的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接写出坐标；和题目用相同方法，即可求出坐标； （2）先求出两直线交点A的坐标，再和（1）同理求出点B对称点坐标，最后用待定系数法即可求出解析式； （3）根据题意可知点关于直线对称的点的坐标为，得出的解析式为，联立与的解析式，得出关于y和x的方程，得出或，再进行分类讨论即可； （4）先求出的交点坐标，即可求出直线经过两交点时b的值；再求出与直线只有一个交点时b的值，结合图象，即可得出b的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 点关于直线的对称点的坐标， 如图，作轴于点K，过点分别作x轴和y轴的平行线相交于点Q， 把代入得， ∴直线与y轴交点， ∴， ∵点A和关于直线对称， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，令直线和直线相交于点A， 联立得，解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 过点M作x轴的垂线，垂足为点M，令点B关于直线的对称点为点； 过点A作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，相交于点N， ∴， 和（1）同理可得：， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， 即直线关于直线的对称直线的解析式为； 【小问3详解】 解：令点在上， 根据题意可知点关于直线对称的点的坐标为， ∴的解析式为， 联立得：， 得：， 整理得：， ∴或， ①当时，， ∴， 解得：， ∴与的公共点的坐标为或； ②当时，， ∴， 解得：， ∴与的公共点的坐标为 综上：图象与的公共点的坐标为或或 【小问4详解】 解：联立得： ，解得：，， ∴交点坐标为或， 当直线经过点时， ， 解得：， 当直线经过点时， ， 解得：， ①当时，整理得：， 当直线和只有一个交点时：， 解得：或（舍去）， ②时，整理得：， 当直线和只有一个交点时：， 解得：或（舍去）， 图象如图所示： 由图可知：当直线与图象有且只有两个公共点时，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广西壮族自治区崇左市扶绥县二模数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 下列新能源车标中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 刘徽在为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之．正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量．如果零上记作，那么零下可记作（ ） A. °C B. 5°C C. °C D. 12°C 3. 有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（ ） A. B. C. D. 4. 设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 5. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 方程组有正整数解，则整数的个数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点D，E分别在边和上，，连接，M，N分别是的中点，连接，且，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8. 如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心画．若，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，，交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当水流速度越大时，水流的力也越大 D. 当时， 12. 如图，正方形纸片的边长为9，折叠正方形纸片，使得点落在边上的点，且．折痕交于点，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 若 ，则 __________ 14. 观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为____________． 15. 如图所示为一组太阳能电池板的简化网格示意图，其中深色区域表示光伏吸收区，若一个小球在板面上自由滚动，并随机停留在某个方格内，那么它最终停留在光伏吸收区的概率是____． 16. 在平面直角坐标系中，点，轴于点，点是轴负半轴上一动点，连接交轴于点．若三角形的面积大于三角形的面积，则的取值范围是_______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1） ； （2） ； （3）； （4）． 18. 为迎接马年的到来，某校进行了大型的迎新慈善义卖活动．八（1）班义卖善款1900元，八（2）班义卖善款2600元．已知1班人数是2班人数的一半多7人，且2班比1班的人均义卖款多5元．请问，1班和2班的人数各是多少人？ 19. 如图，为的直径，，与相交于点，点在上，且与相切． （1）求证：． （2）连接，交于点，连接．已知，，求弦的长． 20. 【阅读理解】定义：如图1，点D，E分别在射线上（均不与点A重合），过点D且垂直于的直线与过点E且垂直于的直线交于点F，则称满足这样条件的（需满足两边分别与的两边垂直）为的“边垂角”． 【迁移运用】 （1）如图1，分别延长，交于点C，交于点B，连接． ①与之间的数量关系是_________； ②求的“边垂角”及与它的“边垂角”之间的数量关系； （2）如图2，是的“边垂角”，，交于点E，点F在射线上，连接，若，，，求的长． 21. 如图，是直角三角形，．以为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，，点为线段上一动点，过点作的垂线交射线于点，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 22. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若抛物线的对称轴在y轴右侧，且当时，y的最小值为，求抛物线与x轴的交点坐标； （3）当时，在的范围内，y有最大值14，求抛物线的解析式． 23. 【延伸阅读】 如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点作轴、轴的垂线，垂足为点，连接．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求得点的坐标． 【应用拓展】 （1）直接写出点关于直线的对称点的坐标 ，关于直线的对称点的坐标 ； （2）如图2，求直线关于直线的对称直线的解析式； （3）如图3，已知二次函数的图象记为，关于直线对称的图象记为，求图象与的公共点的坐标； （4）如图4，已知反比例函数的图象记为，关于直线对称的图象的解析式为，当直线与图象有且只有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $