精品解析：重庆市第七中学校2025-2026学年九年级下学期数学阶段测试试题

2026年重庆7中初三数学月考试卷 （全卷共三个大题，考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 礼嘉中学附近有一条东西方向的马路，以学校为原点，把向东走40米记作米，那么向西走160米记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，根据正负数表示方向的规定，向东为正，则向西为负，因此向西走160米应记作负数． 【详解】解：∵向东走记作正数， ∴向西走记作负数； 又∵向西走160米， ∴记作米， 故选：D． 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A．线段是中心对称图形，故本选项不合题意； B．等边三角形不是中心对称图形，故本选项合题意； C．长方形是中心对称图形，故本选项不合题意； D．平行四边形是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 3. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某校九年级3班体育中考的情况 B. 调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命 C. 调查全国中学生每天作业完成的时间 D. 调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据调查范围大小、调查是否具有破坏性，判断各选项是否适合采用普查． 【详解】解：A、调查某校九年级3班体育中考情况，范围小，人数少，适宜采用普查， B、调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命，调查具有破坏性，不适宜普查， C、调查全国中学生每天作业完成时间，调查范围过大，不适宜普查， D、调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况，调查范围较大，不适宜普查， 4. 如图，是半圆的直径，现将一块含的直角三角板如图放置，角的顶点落在半圆上，一条直角边经过点，斜边交半圆于点．则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：，， ． 5. 如图和以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识，先由和以点为位似中心的位似图形，得到，结合，进而由和的相似比为，再由相似三角形性质即可得到与的面积之比，熟记相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：和以点为位似中心的位似图形， ， ， 和的相似比为， 与的面积之比是， 故选：D． 6. 如图，将实数表示在数轴上为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．无理数的大小． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点． 7. 将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（ ） A. 31 B. 36 C. 41 D. 46 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查图形规律探索​​，解题的关键是求得前面几个数据，正确找出规律，然后求解．观察前三个图案中小圆点数量的变化，发现每个图案比前一个增加5个点，因此可得出第n个图案的点的数量为，代入即可求解． 【详解】解：通过观察图案，第①个图案中“●”的个数为， 第②个图案中“●”的个数为， 第③个图案中“●”的个数为， …， 所以第n（n为正整数）个图案中“●”的个数为（个）， 因此第⑨个图案中“●”的个数为（个）． 故选：D． 8. 如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分面积为（　　） A. π B. π C. 6﹣π D. 2﹣π 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积是△BCD的面积减去△BOE和扇形OEC的面积． 【详解】由题意可得， BC=CD=4，∠DCB=90°， 连接OE，则OE=BC， ∴OE∥DC， ∴∠EOB=∠DCB=90°， ∴阴影部分面积为： = =6-π， 故选C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 9. 如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，可证，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据等角对等边可知，根据可得，根据，可证，根据相似三角形的对应边比例可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，，…，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5；②若，则满足条件的A共有5个；③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有8个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】分类枚举法结合二次函数的判别式，对三个说法逐一计算验证即可． 【详解】解：对于说法① ∵A为三项式，为正整数，系数绝对值最小为1，要得到m的最小值，需使n最小，且非零系数绝对值最小， ∴最小情况为，三个非零系数的绝对值均为1， ∴m的最小值为 ，故①正确； 对于说法② ∵ ，即 ，为正整数，分情况讨论： （1）当时， ，得，符合条件的有1个； （2）当时， ，即 ，， 时，，，符合条件的有2个； 时，，，符合条件的有1个； （3）当时， ，即 ，得，，，符合条件的有1个； （4）当时， ，无符合条件的； 综上，符合条件的共有个，故②正确； 对于说法③ 当，时，得 ，即 ，， 二次函数与轴有交点，需 ， 分情况讨论： （1）时， ，即， 满足条件的组合有：；；；；，共得符合条件的有个； （2）时，，即， 满足条件的组合有：；； ， 共得符合条件的有个； （3）时， ，得，与轴有交点，符合，共1个； 综上，符合条件的共有个，题目说共8个，故③错误； 因此正确的说法有2个，故选B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 口袋里有除颜色外完全相同的10个球，其中有5个红球，2个白球，3个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出红球的可能性大小是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：口袋中总球数为个，红球有个， 摸出红球的可能性为． 13. 如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，然后通过角度和差，平角定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 若实数、满足，，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由第二个方程得出，继而可得方程，再分两种情况讨论x的取值范围，可得方程组，解答方程组，验证即可得解． 【详解】解：由第二个方程，可得 ， ∵， ∴， ∴， 将 代入第一个方程 ，得：， 当，则，原方程组变为： 解得，与假设 矛盾，舍去； 当，则 ，原方程组变为： 解得，符合所有条件， ∴． 15. 如图，的直径，点是上一点，，平分交于点、交的延长线于点，，交于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先利用勾股定理求出的长，再根据圆周角定理和角平分线的定义证明，进而推导出，最后利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：连接，如图， 是的直径，  ， 在中，∵，  ，  平分，  ， ，  ，  ∵，  ，  ，  ，  ，  ，  ， 解得． 16. 若一个四位数（其中，且a、b、c、d均为整数）的千位数字与个位数字相同且百位数字与十位数字之和为13，则称这个四位自然数M为“汉堡数”．记．将“汉堡数”M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新的四位数，记．若A是“汉堡数”，则A的最大值为_____；对于“汉堡数”B，若存在正整数m、k满足，且是一个完全平方数，则所有满足条件的的和是_____． 【答案】 ①. 9949 ②. 【解析】 【分析】根据题意，要使“汉堡数”A最大，则千位数和百位数尽量最大，结合已知条件，，从而求得最大数A； 先分别化简、，再结合，，代入到进行化简，可得a可取3，6，9，设，分情况进行枚举讨论，将所得到的a、b、c值代入到进行验证，从而得出结果． 【详解】解：由题意知，在“汉堡数”中，，， 要使“汉堡数”A最大，则a、b取最大数9， ∴，， ∴， ∴A的最大值为； 由题意知，，， ， ∵， ∴是完全平方数， ∵，， ∴， ∴是完全平方数， 在中，a是3的倍数， ∴a可取3，6，9， 设， 此时分情况讨论： ①当时，， 仅当时，，0是完全平方数，符合条件， ∴， 代入，得：， 此时存在，使得k为正整数，符合题意， ∴； ②当时，， 在范围内，无符合条件的完全平方数； ③当时，，则有或6， 当时，，64是完全平方数，符合条件， ∴，不符合条件， 当时，，49是完全平方数，符合条件， ∴， 代入，得：， 此时存在，使得k为正整数，符合题意， ∴， 综上所述，所有满足条件的的和是． 三、解答题：（本大题9个小题，其中第17、18题每题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】， 【解析】 【分析】先分别求两个不等式的解集，再求公共部分，得到，即可求得整数解． 【详解】解：由①得， ， 由②得， 去括号，得， 移项，得， ， ， ， 原不等式组的所有整数解是，． 18. 某校数学兴趣小组在研究等腰三角形的性质时，发现了一个有趣的问题：在等腰三角形中，，平分交于点．小明想知道，如果作的平分线，与相交于点，那么点是否在的垂直平分线上？请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：请在下图中作出的平分线，使其与相交于点（保留作图痕迹，不写作法）． 第二步：请完成下面的证明过程． 证明：， ． 平分，平分， ，． ∴ ， ∴ ， ∴点在的垂直平分线上． 【答案】第一步：即为所求 第二步： 证明：， ． 平分，平分， ，． ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【解析】 【分析】第一步，按作角平分线的作图方法作图即可． 第二步，按照证明过程补充完整即可． 【详解】解：作图略 证明略． 19. 节假日期间，甲、乙两部电影票房大卖，很多观众在某电影评分软件上对这两部电影进行了评分．针对这两部电影，各随机抽取10名观众的评分数据，进行整理、描述和分析（观众对电影的评分用表示，满分为100分，共分为4组：A．．B．．C．．D．），下面给出了部分信息： 电影甲的10个评分数据是：65，65，70，75，80，85，85，85，90，90， 电影乙的评分数据中，在B组的数据是：80，80，80，80，85，85， 甲、乙两部电影评分数据统计表 电影 甲 乙 平均数 79 78 中位数 82.5 b 众数 80 电影乙评分数据扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为电影甲和电影乙这两部电影哪一部更受喜爱?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知在此评分软件上，对电影甲进行评分的用户共有10000名，对电影乙进行评分的用户共有12000名，请估计对甲、乙两部电影评分在D组的用户一共有多少人？ 【答案】（1），， （2）解：电影甲更受喜爱，理由①： ∵观众对电影甲的评分众数大于对电影乙的评分众数， ∴电影甲更受喜爱； 理由②：∵观众对电影甲评分的平均数大于对电影乙评分的平均数， 电影甲更受喜爱； 理由③：∵观众对电影甲评分的中位数大于对电影乙评分的中位数， 电影甲更受喜爱； （3）估计对甲、乙两部电影评分在D组的用户一共有人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、百分比的计算方法求解即可； （2）通过比较平均数、中位数、众数等统计量来判断哪个电影更受欢迎； （3）根据用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵电影甲的个评分数据中出现的次数最多， ∴； ∵，电影乙的个评分数据从高到低排列，第个数据都是， ∴，即：； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：电影甲更受喜爱，理由略； 【小问3详解】 解：(人)， 答：估计对甲、乙两部电影评分在D组的用户一共有人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂的含义，分式的化简求值，先计算括号内的分式的减法运算，整式的乘法运算，再计算分式的除法运算，最后计算加减运算，再化简，最后代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴原式． 21. 春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． （1）若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ （2）该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 【答案】（1）安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品 （2）25元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的实际应用． （1）根据“4个A产品和1个B产品配成一套”列方程求解； （2）根据“花3000元购买了一些团圆套装，发现比上次恰好少买了20套”列方程求解． 【小问1详解】 解：设应安排x名工人制作A产品， 根据题意，得． 解得：， ， 答：应安排7名工人制作A产品，5名工人制作B产品； 【小问2详解】 解：设一月份每套“团圆”套装的售价是y元， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． 答：一月份每套“团圆”套装的售价是25元． 22. 如图，在正方形中，为的中点．以为原点，、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是4．点从点出发，沿向点运动，同时点从点出发．沿向点运动，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，、两点同时停止运动，设点运动的时间为秒．的面积为． （1）求关于的函数关系式，以及的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出一条函数的性质； （3）已知的图象如图所示，请直接写出时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）； （2）解：图象如下： 函数性质：当或时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小； （3）或． 【解析】 【分析】（1）分两种情况：时，时，根据面积公式可求得y关于x的函数关系式,同时得到x的取值范围即可； （2）按照自变量的取值范围画出函数图象，再写出一条性质即可； （3）观察图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵E为的中点， ∴ 由题意得：， 分两种情况： ①时，如图， 由题意得：，， ∴， ； ②时，如图 由题意得：，， ∴，，， ， ∴ ， ∴S关于x的函数关系式为 ； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：观察图象得， 当时，的取值范围为或． 23. 阳春三月，校园里的樱花次第绽放，正是开展户外实践的好时节！为了让同学们更好地将数学与地理知识结合，学校地理社团特别策划了一场“定向越野”沙盘模拟挑战赛．在社团活动室的大型沙盘上，指导老师按照的比例尺，精心标注了若干虚拟打卡点，模拟真实野外的定向任务．在这个沙盘平面内：打卡点B位于打卡点A的正南方；打卡点C位于打卡点B的南偏东方向，两点间的沙盘距离为10厘米；打卡点D在打卡点C的正东方5厘米处，同时也在打卡点A的东南方向；打卡点E则在打卡点D的正北方，并且恰好位于打卡点A的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求沙盘上打卡点A、D之间的距离；（结果保留根号） （2）模拟比赛中，小艾从沙盘上的打卡点D出发，沿线段向A匀速移动棋子；小依从打卡点E出发，沿某方向匀速直线移动棋子．两人同时出发，小艾与小依移动棋子的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小艾的棋子移动了多少厘米？（结果精确到） 【答案】（1）厘米 （2）小艾的棋子移动了约厘米． 【解析】 【分析】本题考查了方向角、勾股定理、解直角三角形以及比例的应用，结合图形正确表示角的和差是解题的关键. （1）先作, 由直角三角形的性质求, 再利用得. 最后由勾股定理求; （2）先作, 由直角三角形的性质求再设, 作利用勾股定理和的长建立方程求解． 【小问1详解】 解：过点作, 交的延长线于点， 点位于点的南偏东方向，厘米， 在中， 厘米， 厘米， 点在点的正东方5厘米处， 厘米且, 厘米， 点在点的东南方向， ， 厘米， 在中，由勾股定理得： 厘米； 答：打卡点之间的距离为厘米 【小问2详解】 解：过点作于点， 点在点的北偏东方向，点在点的东南方向， ， 在中 , 设, 则， 在中 , ， ， ， 又， ， （厘米）， 设两人在上的点相遇， 小艾与小依的速度比为， 设， 过点作于点， 在中 , ， 在中， , ， ， ， ， （厘米） 答：小艾的棋子移动了约厘米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是射线上方抛物线上的一个动点，轴交于点于点D，M是直线上的一个动点，连接，当周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线为新抛物线对称轴右侧上的一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先解求出点坐标，再由待定系数法求解抛物线表达式； （2）可求直线设，则，则，当时，取得最大值为，延长交轴于点，可证明，则，，故，那么的周长取得最大值时，取得最大值，因此此时，过点作轴于点，连接，由，得到，那么，故当三点共线，且点重合时，取得最小值即为； （3）先求出，则对称轴为直线，当点在轴上方时，记为点，在轴上取点，连接，使得，作 轴于，得到，再通过等角的正切值相等建立方程求解，当点在轴下方时，记为点，同理可求． 【小问1详解】 解：对于抛物线，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点，代入， 则，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线， 则代入，得， 解得， ∴直线， 设，则 ∴ ∵， ∴当时，取得最大值为， 延长交轴于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长取得最大值时，取得最大值， ∴此时， 过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且点重合时，取得最小值即为； 【小问3详解】 解：设抛物线沿射线方向平移个单位长度后的点B的对应点为点，过点作轴于点， 由题意得，， 同理可得 ∴ ∴ ∴， ∴抛物线向左平移了3个单位，向上平移了1个单位得到， ∵， ∴， ∴对称轴为直线， 当点在轴上方时，记为点，在轴上取点，连接，使得，作 轴于， ∴ ∴ ∵ ∴， 设，则， ∵ ∴ 解得， ∴ ∴ 设 ∴ 解得（舍去）， 当点在轴下方时，记为点，作 轴于， 则， ∴， 设 则 解得，（舍） 综上，点的横坐标为或． 25. 在Rt中，为射线上一点，连接． （1）如图1，点在的延长线上，过点作线段的垂线，分别交，于点，．若，求的度数； （2）如图2，点在的延长线上（），是上一点，连接并延长交于点．是的中点，过点作的垂线交于点，连接交于点．若，点在点的左侧，求证：； （3）如图．将绕点顺时针旋转得到线段．过点作的垂线，作于点，连接是上一点，连接，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，延长至点，使得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形的内角和解题即可； （2）过点作的垂线交的延长线于点，连接，证明 以及 ，得到为等腰直角三角形，进而证明； （3）延长交直线于点，连接，证明 ，推出点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的半圆，点的运动轨迹与点的运动轨迹关于直线对称，作关于的对称点，连接，以为圆心，长为半径作半圆，当点运动到半圆与的交点处时，取得最小值，进而解题． 【小问1详解】 解：在中， ， ， ， ， 解得， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， 由题意知为斜边上的中点， ， ， 在和 中， ， ， ， ， ． 设 ， ， ． ， ， ； 在和 中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； 【小问3详解】 解：；理由如下： 如图，延长交直线于点，连接， ，， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 与重合； ， ， ， ， ∴点的运动路径是以为圆心，长为半径的半圆， 点与点关于直线对称， 点的运动路径与点的运动路径关于直线对称； 如图，作关于的对称点，连接，以为圆心，长为半径作半圆，此为点的运动路径； 为等腰直角三角形，， ， 连接，随着点的运动，当点运动到半圆与的交点处时，取得最小值， 点与点关于对称， ， ， ． 在中，设边上的高为， 由三角形面积公式可得， ， 解得， 根据轴对称性可知， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆7中初三数学月考试卷 （全卷共三个大题，考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 礼嘉中学附近有一条东西方向的马路，以学校为原点，把向东走40米记作米，那么向西走160米记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某校九年级3班体育中考的情况 B. 调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命 C. 调查全国中学生每天作业完成的时间 D. 调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况 4. 如图，是半圆的直径，现将一块含的直角三角板如图放置，角的顶点落在半圆上，一条直角边经过点，斜边交半圆于点．则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图和以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 6. 如图，将实数表示在数轴上为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 将形状、大小完全相同的小圆点“●”按如图所示的规律拼成图案，其中第①个图案中有6个小圆点，第②个图案中有11个小圆点，第③个图案中有16个小圆点，……，按此规律排列下去，则第⑨个图案中小圆点的个数为（ ） A. 31 B. 36 C. 41 D. 46 8. 如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分面积为（　　） A. π B. π C. 6﹣π D. 2﹣π 9. 如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，，…，为整数，且．下列说法： ①若A为三项式，则m的最小值为5；②若，则满足条件的A共有5个；③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有8个． 其中正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示是______． 12. 口袋里有除颜色外完全相同的10个球，其中有5个红球，2个白球，3个绿球．从口袋里随机摸出一个球，摸出红球的可能性大小是__________． 13. 如图，直线，，交于一点，直线，若，，则______． 14. 若实数、满足，，则的值是_____． 15. 如图，的直径，点是上一点，，平分交于点、交的延长线于点，，交于点，则的长为_____． 16. 若一个四位数（其中，且a、b、c、d均为整数）的千位数字与个位数字相同且百位数字与十位数字之和为13，则称这个四位自然数M为“汉堡数”．记．将“汉堡数”M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到一个新的四位数，记．若A是“汉堡数”，则A的最大值为_____；对于“汉堡数”B，若存在正整数m、k满足，且是一个完全平方数，则所有满足条件的的和是_____． 三、解答题：（本大题9个小题，其中第17、18题每题各8分，其余每小题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 某校数学兴趣小组在研究等腰三角形的性质时，发现了一个有趣的问题：在等腰三角形中，，平分交于点．小明想知道，如果作的平分线，与相交于点，那么点是否在的垂直平分线上？请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：请在下图中作出的平分线，使其与相交于点（保留作图痕迹，不写作法）． 第二步：请完成下面的证明过程． 证明：， ． 平分，平分， ，． ∴ ， ∴ ， ∴点在的垂直平分线上． 19. 节假日期间，甲、乙两部电影票房大卖，很多观众在某电影评分软件上对这两部电影进行了评分．针对这两部电影，各随机抽取10名观众的评分数据，进行整理、描述和分析（观众对电影的评分用表示，满分为100分，共分为4组：A．．B．．C．．D．），下面给出了部分信息： 电影甲的10个评分数据是：65，65，70，75，80，85，85，85，90，90， 电影乙的评分数据中，在B组的数据是：80，80，80，80，85，85， 甲、乙两部电影评分数据统计表 电影 甲 乙 平均数 79 78 中位数 82.5 b 众数 80 电影乙评分数据扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为电影甲和电影乙这两部电影哪一部更受喜爱?请说明理由（写出一条理由即可）； （3）已知在此评分软件上，对电影甲进行评分的用户共有10000名，对电影乙进行评分的用户共有12000名，请估计对甲、乙两部电影评分在D组的用户一共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 春节，是中国传统节日之一，春节有诸多民俗，如喝腊八粥、贴春联、拜年等．某工厂负责制作春节礼品“团圆”套装，已知4个A产品和1个B产品配成一套．该工厂有12名工人参与制作“团圆”套装，每名工人每天能够制作20个A产品或者7个B产品．小沙一月份在该工厂购买了一些“团圆”套装奖励给员工，共花了3000元． （1）若工厂每天生产的A、B产品恰好配套，应分别安排多少名工人制作A、B产品？ （2）该工厂二月份将“团圆”套装的售价提高了，小沙又花3000元购买了一些“团圆”套装，发现比上次恰好少买了20套，求一月份每套“团圆”套装的售价是多少元？ 22. 如图，在正方形中，为的中点．以为原点，、所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是4．点从点出发，沿向点运动，同时点从点出发．沿向点运动，点的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，、两点同时停止运动，设点运动的时间为秒．的面积为． （1）求关于的函数关系式，以及的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出的图象，并写出一条函数的性质； （3）已知的图象如图所示，请直接写出时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 阳春三月，校园里的樱花次第绽放，正是开展户外实践的好时节！为了让同学们更好地将数学与地理知识结合，学校地理社团特别策划了一场“定向越野”沙盘模拟挑战赛．在社团活动室的大型沙盘上，指导老师按照的比例尺，精心标注了若干虚拟打卡点，模拟真实野外的定向任务．在这个沙盘平面内：打卡点B位于打卡点A的正南方；打卡点C位于打卡点B的南偏东方向，两点间的沙盘距离为10厘米；打卡点D在打卡点C的正东方5厘米处，同时也在打卡点A的东南方向；打卡点E则在打卡点D的正北方，并且恰好位于打卡点A的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求沙盘上打卡点A、D之间的距离；（结果保留根号） （2）模拟比赛中，小艾从沙盘上的打卡点D出发，沿线段向A匀速移动棋子；小依从打卡点E出发，沿某方向匀速直线移动棋子．两人同时出发，小艾与小依移动棋子的速度之比为，并在线段上某处相遇．当两人相遇时，小艾的棋子移动了多少厘米？（结果精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是射线上方抛物线上的一个动点，轴交于点于点D，M是直线上的一个动点，连接，当周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线为新抛物线对称轴右侧上的一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 25. 在Rt中，为射线上一点，连接． （1）如图1，点在的延长线上，过点作线段的垂线，分别交，于点，．若，求的度数； （2）如图2，点在的延长线上（），是上一点，连接并延长交于点．是的中点，过点作的垂线交于点，连接交于点．若，点在点的左侧，求证：； （3）如图．将绕点顺时针旋转得到线段．过点作的垂线，作于点，连接是上一点，连接，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，延长至点，使得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $