内容正文:
2026年中考数学模拟试题
一、选择题(每题3分,共30分)
1. 如图,数轴上有一点,则点表示的数可能是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先估算出,再结合数轴即可得出结果.
【详解】解:∵,
∴,即,
∴,
由数轴可得点表示的数在和之间,
故点表示的数可能是.
2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可.
【详解】解:A、该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故A选项错误;
B、该图形既是轴对称图形,也是中心对称图形,故B选项正确;
C、该图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故C选项错误;
D、该图形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故D选项错误.
故答案为B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,中心对称图形是要寻找对称中心旋转180度后与原图重合.
3. 根据发改委数据,2025年1-8月,全国共有3.3亿人次申领消费品以旧换新补贴,带动相关商品销售额超2万亿元.数据“3.3亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法,科学记数法的表示形式为,其中,为整数,解题关键是正确换算单位并确定和的值.
【详解】解:∵亿,
∴亿.
4. 如图,斗彩雉鸡牡丹纹缸图案绘制精湛、设色艳丽、画面清晰明快,鲜花怒放,枝繁叶茂,展现出姹紫嫣红、春意盎然的景致,胎体厚重但器型端庄规整,是清康熙时期的罕见之作.以下关于斗彩雉鸡牡丹纹缸的说法正确的是( )
A. 俯视图是一个正方形 B. 主视图和左视图相同
C. 截面可以是三角形 D. 侧面展开图是矩形
【答案】B
【解析】
【详解】解:A、俯视图是两个同心圆,故A错误;
B、主视图和左视图都是等腰梯形,故B正确;
C、圆台的截面不能是三角形,故C错误;
D、侧面展开图是扇环,故D错误.
5. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解:A、,故A选项错误;
B、,与选项结果一致,故B选项正确;
C、与不是同类项,不能合并,则,故C选项错误;
D、,故D选项错误.
6. 国产大模型的爆火,引发了全球科技界的广泛关注.某班课后服务期间开展大模型体验活动,老师在电脑上下载了:豆包、天工、三个不同的软件,小伟和小红两位同学各自任选其中一个体验,则他们选择同一个的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先列表确定所有等可能的结果数以及满足条件的结果数,再运用概率公式求解即可.
【详解】解:将三个不同AI分别记为A,B,C.
A
B
C
A
A,A
B,A
C,A
B
A,B
B,B
C,B
C
A,C
B,C
C,C
则共有9种等可能结果,小伟和小红两位同学选择同一个的结果数有3种,
所以两人选择同一个的概率为.
7. 如图,,点A在射线上,以点O为圆心,长为半径画弧,交射线于点B.若分别以点A,B为圆心,长为半径画弧,两弧在内部交于点C,连接,则的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,三角形内角和定理等知识点,熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.
连接,则由作图可得,那么为等边三角形,可证明,再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解.
【详解】解:如图,连接,
由作图可得,,
∴为等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∴,
故选:B.
8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著,书里记载一道这样的题:“今有绫、罗共三丈,各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何?”题目译文是:现在有绫布和罗布,布长共3丈(一丈=10尺),已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文;绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文.问两种布每尺各多少钱?若设绫布有尺,根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用,找出等量关系式是解题的关键.
根据绫布和罗布各一尺共值120文,列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程,即可求解.
【详解】解:设绫布有尺,则罗布有尺.
∵绫布总价896文,∴绫布每尺价格为文;
∵罗布总价896文,∴罗布每尺价格为文;
又∵绫布和罗布各一尺共值120文,
∴.
∴.
故选:B.
9. 如图,矩形中,点与轴正半轴的夹角为.若矩形绕点逆时针旋转,每秒旋转,则第2026秒时,矩形的对角线交点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出,每秒旋转,8次一个循环,,第2026秒时,矩形的对角线交点D与第2次的点D的坐标相同,第2次点D落在第二象限的对角线上,由此可得结论.
【详解】解:∵四边形是矩形,
∴,,
∵每秒旋转,8次一个循环,,
∴此时点D与第2次的点D的坐标相同,如图所示:
过点作轴于点E,由旋转的性质可知:,
∴,
∴点D的坐标为.
10. 我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2﹣4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象(如图所示),下列结论错误的是( )
A. 图象具有对称性,对称轴是直线x=1 B. 当﹣1<x<1或x>3时,函数值y随x值的增大而增大
C. 当x=﹣1或x=3时,函数最小值是0 D. 当x=1时,函数的最大值是4
【答案】D
【解析】
【分析】观察图象,分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标,结合图象逐个选项分析判断即可;
【详解】解:观察图象可知,图象具有对称性,对称轴是直线,故A正确;
令 可得,
∴,
∴,
∴和是函数图象与x轴的交点坐标,
又∵对称轴是直线,
∴当或时,函数值y随x值的增大而增大,故B正确;
由图象可知和是函数图象的最低点,则当或时,函数最小值是0,故C正确;
由图象可知,当时,函数值随x的减小而增大,当时,函数值随x的增大而增大,均存在大于顶点坐标的函数值,
故当时的函数值4并非最大值,故D错误,
综上,只有D错误;
故选:D.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数在新定义函数中的应用等知识,数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
二、填空题(每题3分,共15分)
11. 若代数式有意义,则整数的值可以是__________.(写一个即可)
【答案】
2
【解析】
【分析】由二次根式有意义的条件:被开方数为非负数可得答案.
【详解】解:代数式 有意义,
,解得,
整数可以是任意大于等于的整数,例如.
12. 将点向_____平移____个单位长度后,平移后坐标变为.
【答案】 ①. 左 ②. 5
【解析】
【分析】点的平移规律为:横坐标右移加、左移减;纵坐标上移加、下移减.本题中平移前后的坐标,纵坐标不变,只需分析横坐标的变化即可确定平移情况.
【详解】解:∵点平移后的坐标为,,,
∴点向左平移5个单位长度后,坐标变为.
13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是______.
【答案】且
【解析】
【分析】由方程有两个不相等的实数根可知,,代入数据可得出关于的一元一次不等式,解不等式即可得出结论.
【详解】由已知得:
,且,
解得:且.
故答案为:且.
【点睛】本题考查了根的判别式,解题的关键是得出关于的一元一次不等式.根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键,特别注意这一条件.
14. 如图,在平面直角坐标系中,函数()与反比例函数()交于A、B两点,点C在x轴上,且AC=AO,若,则k=__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的几何意义解答即可.
【详解】解:作于,如图:
函数()与反比例函数()交于、两点,
,
,
,
,
,
,
,
反比例函数图象在第二象限,
.
15. 如图,⊙O的半径为1,P是⊙O外一点,OP=2,Q是⊙O上的动点,线段PQ的中点为M,连接OP、OM,则线段OM的最小值是_____.
【答案】
【解析】
【详解】解:设OP与⊙O交于点N,连结MN,OQ,如图.∵OP=2,ON=1,∴N是OP的中点.∵M为PQ的中点,∴MN为△POQ的中位线,∴MN=OQ=×1=,∴点M在以N为圆心,为半径的圆上,当点M在ON上时,OM最小,最小值为,∴线段OM的最小值为.
故答案为.
点睛:本题考查了点与圆的位置关系:点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
三、解答题(共8小题,75分)
16. 计算与化简求值
(1)计算:;
(2)先化简,再求值:,其中.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)分别算出乘方,负指数幂,特殊角的三角函数值,化简绝对值,再根据实数的混合运算法则计算即可;
(2)根据分式的混合运算法则先化简,再代入计算,分母有理化即可.
【小问1详解】
解:
.
【小问2详解】
解:
,
当时,原式.
17. 如图,在中,平分,交于点.
(1)尺规作图:作的垂直平分线,分别交,于点,,连接,;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)①求证:四边形是菱形;
若,,,求的长.
【答案】(1)见解析 (2)①见解析;②
【解析】
【分析】(1)根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图;
(2)根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明;根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理求解.
【小问1详解】
解:如图,即为所求;
【小问2详解】
证明:平分,
,
的垂直平分线,
,,
,,
,,
,,
四边形为平行四边形,
,
四边形为菱形;
解:如图,过作于,
在菱形中,有,
,,
,
,
,
,
,
,
.
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的作法及性质,菱形的判定,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理等,解题的关键是掌握:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半.
18. 某公司生产了一款新能源电动汽车,该款汽车充满电后电池的剩余电量是其行驶路程的一次函数.已知该款汽车的行驶路程为时,剩余电量为;行驶路程为时,剩余电量为.
(1)求与之间的函数表达式;
(2)当电池电量低于时,该款汽车将会发出电量警报,提示及时充电.行驶多少千米后,该款汽车将会发出电量警报?
【答案】(1)
(2)行驶320千米后,该款汽车会发出电量警报
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用,读懂题意,准确求出与之间的函数表达式是解决问题的关键.
(1)根据题意,利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案;
(2)由(1)中求得的与之间的函数表达式,求出满电量,得到报警电量,代入表达式解方程即可得到答案.
【小问1详解】
解:设,
根据题意得,解得,
与之间的函数表达式为:;
【小问2详解】
解:当时,,则,
当时,,解得,
行驶320千米后,该款汽车会发出电量警报.
19. 某校体育组为了备战全市中学生田径运动会,计划从甲、乙、丙三名长跑运动员中选拔一人参加1000米跑项目.为了科学选拔,教练记录了这三名运动员近期10次1000米跑测试的成绩(单位:秒),并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
a.
b.丙运动员10次测试成绩(单位:秒):200,202,204,209,209,209,211,213,215,218;
c.三名运动员10次测试成绩的统计量如下表:
运动员
平均数
中位数
众数
方差
甲
乙
丙
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)表中的值为__________,的值为__________,__________(填、或);
(2)根据以上信息计算乙运动员10次测试成绩的平均数;
(3)请根据以上信息判断应该选择哪位运动员参赛,并写出两条理由.
【答案】(1);;
(2)
(3)应该选甲运动员参赛,理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据中位数、众数的定义进行计算,比较甲乙两个运动员测试成绩的稳定性即可判断与的大小;
(2)根据平均数的定义进行计算即可;
(3)从平均数、中位数、众数和方差的角度评价三名运动员的成绩,即可得出结论.
【小问1详解】
解:甲运动员10次测试成绩从小到大排列为:
,,,,,,,,,,
其中第5个数为,第6个数为,
∴甲运动员测试成绩的中位数为,即,
丙运动员10次测试成绩中,209出现3次,出现的次数最多,
∴丙运动员测试成绩的众数为209,即,
由图可知,甲运动员的成绩比乙运动员的成绩更加稳定,
∴甲运动员的成绩的方差小于乙运动员的成绩的方差,
∴;
【小问2详解】
解:乙运动员测试成绩的平均数;
【小问3详解】
解:应该选甲运动员参赛,理由如下:
①从平均用时上看,甲运动员的平均用时最少,成绩最好;②从方差上看,甲运动员成绩的方差最小,成绩最稳定.(言之有理即可)
20. 如图1,为某两足人形机器人行走时的实拍图,图2为该时刻下半身对应的几何示意图(所有点均在同一平面内),行走时,机器人前脚跟、后脚尖同时着地,着地点分别为W,N,为后脚跟离地的最大距离,点A为髋关节,大腿与小腿在一条直线上,与地面垂直.经测量大腿长均为,小腿长均为,,,,.
(1)行走时的身高与直立时的身高相差多少?
(2)行走时每步的步长是多少?
(结果精确到,参考数据:,,,)
【答案】(1)行走时的身高与直立时的身高相差;
(2)行走时每步的步长约是.
【解析】
【分析】(1)根据题意得出,然后解即可;
(2)过C作于点P,过T作于点Q,则,,根据图形得出,,再由矩形的判定和性质确定,然后结合解三角形即可求解.
【小问1详解】
解:∵,,
∴,
∵,
∴,
在中,,,
∴,
∴.
答:行走时的身高与直立时的身高相差.
【小问2详解】
如图,过C作于点P,过T作于点Q,则,,
在中,,,,
∵,
∴.
在中,,,,
∵,
∴.
∵,
∴四边形是矩形,
∴.
在中,,,,,
∴.
同理四边形是矩形,
∴.
∴.
答:行走时每步的步长MW约是.
21. 如图,为的直径,点D在上,平分交于点C,过点C作直线交的延长线于点E,连接交于点F.
(1)写出图中一个与相等的角:______;
(2)求证:是的切线;
(3)若,求的长.
【答案】(1)(任意一个即可)
(2)见解析 (3)
【解析】
【分析】(1)根据圆周角定理得到,而,然后根据角平分线得到,再根据互余的关系求解即可;
(2)连接,然后证明,即可得到,即可证明;
(3)由,可得,继而求出,再由勾股定理求解,然后由即可求解.
【小问1详解】
解:∵为的直径,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴与相等的角有:;
【小问2详解】
证明:连接,
∵,
∴,
由(1)得,
∴
∴,
∴
∴,
∴是的切线;
【小问3详解】
解:∵,
∴,
∴,
∵
∴,
∴,
∴,
∵
∴
∴
∴
∴.
22. 新定义:若一个点的纵坐标是横坐标3倍,则称这个点为“三倍点”.如:等都是“三倍点”.
(1)已知二次函数.①若该函数图象向左平移5个单位,其顶点刚好是三倍点,求该函数表达式;②点在该函数图象上,其中,若的最小值是,求的值;
(2)若二次函数的图象上不存在“三倍点”,令,求的取值范围.
【答案】(1)①,②;
(2)
【解析】
【分析】(1)①该函数图象向左平移5个单位,解析式为:,顶点坐标为,再结合新定义求解即可;
②先判断顶点在的范围内,求得,从而求得抛物线的表达式及的值;
(2)由二次函数的图象上不存在“三倍点”,可得无解,进一步可得,最后根据二次函数的性质,可求得答案.
【小问1详解】
解:①∵二次函数,
∴该函数图象向左平移5个单位,解析式为:,
∴顶点坐标为,
∵顶点刚好是三倍点,
∴,
解得:,
∴该函数解析式为:;
②∵,
抛物线的对称轴为直线,
∵,
当时,的最小值是,
,
,
,抛物线的表达式为,
当时,;
【小问2详解】
解:二次函数的图象上不存在“三倍点”,
∴无解,
整理得:,
判别式,
解得:,
而
,
当时,,
∵,则图象开口向上,
当时,随的增大而减小,
∴时,.
23. 如图,在中,点在边上,将沿翻折得到,点的对称点落在内,延长交所在直线于点,交所在直线于点,延长交边于点.
(1)如图1,当点在中点处时,求证:;
(2)在(1)的条件下,若,,求的长;
(3)如图2,当时,点在边上.若,直接写出的值.
【答案】(1)见解析 (2)
(3)
【解析】
【分析】(1) 利用平行四边形性质和翻折性质,通过ASA证明三角形全等.
(2) 先由全等结论和对顶角证明为等腰三角形得到,,最后利用相似三角形求出.
(3) 利用相似三角形求出,再证明得到,最后利用角平分线性质和面积比求出与的比值.
【小问1详解】
证明:四边形是平行四边形,
,,
将沿翻折得到,
,,
,
,即,
点是中点,
,
,
在延长线上,、、共线,
,
在和中:,,,
.
【小问2详解】
解:由(1)知,
,,,
,,
,即,
,
延长交所在直线于点,交所在直线于点,
、、、四点共线,
,
,
,
,
.
【小问3详解】
解:设,,则,
,
设,,则,
,
延长交延长线于点,
,
,
又,
,
,
,
,
,
将沿翻折得到,
,,
、、共线,、、共线,
,,
,,
、、共线,、、共线,
,,
,
在和中:,,,
,
,
平分,
点到和的距离相等,
,
又和以、为底时,高相同,
,
,
,
.
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2026年中考数学模拟试题
一、选择题(每题3分,共30分)
1. 如图,数轴上有一点,则点表示的数可能是( )
A. B. C. D.
2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 根据发改委数据,2025年1-8月,全国共有3.3亿人次申领消费品以旧换新补贴,带动相关商品销售额超2万亿元.数据“3.3亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图,斗彩雉鸡牡丹纹缸图案绘制精湛、设色艳丽、画面清晰明快,鲜花怒放,枝繁叶茂,展现出姹紫嫣红、春意盎然的景致,胎体厚重但器型端庄规整,是清康熙时期的罕见之作.以下关于斗彩雉鸡牡丹纹缸的说法正确的是( )
A. 俯视图是一个正方形 B. 主视图和左视图相同
C. 截面可以是三角形 D. 侧面展开图是矩形
5. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
6. 国产大模型的爆火,引发了全球科技界的广泛关注.某班课后服务期间开展大模型体验活动,老师在电脑上下载了:豆包、天工、三个不同的软件,小伟和小红两位同学各自任选其中一个体验,则他们选择同一个的概率是( )
A. B. C. D.
7. 如图,,点A在射线上,以点O为圆心,长为半径画弧,交射线于点B.若分别以点A,B为圆心,长为半径画弧,两弧在内部交于点C,连接,则的大小为( )
A. B. C. D.
8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著,书里记载一道这样的题:“今有绫、罗共三丈,各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何?”题目译文是:现在有绫布和罗布,布长共3丈(一丈=10尺),已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文;绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文.问两种布每尺各多少钱?若设绫布有尺,根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
9. 如图,矩形中,点与轴正半轴的夹角为.若矩形绕点逆时针旋转,每秒旋转,则第2026秒时,矩形的对角线交点的坐标为( )
A. B. C. D.
10. 我们定义一种新函数:形如y=|ax2+bx+c|(a≠0,b2﹣4ac>0)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象(如图所示),下列结论错误的是( )
A. 图象具有对称性,对称轴是直线x=1 B. 当﹣1<x<1或x>3时,函数值y随x值的增大而增大
C. 当x=﹣1或x=3时,函数最小值是0 D. 当x=1时,函数的最大值是4
二、填空题(每题3分,共15分)
11. 若代数式有意义,则整数的值可以是__________.(写一个即可)
12. 将点向_____平移____个单位长度后,平移后坐标变为.
13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是______.
14. 如图,在平面直角坐标系中,函数()与反比例函数()交于A、B两点,点C在x轴上,且AC=AO,若,则k=__________.
15. 如图,⊙O的半径为1,P是⊙O外一点,OP=2,Q是⊙O上的动点,线段PQ的中点为M,连接OP、OM,则线段OM的最小值是_____.
三、解答题(共8小题,75分)
16. 计算与化简求值
(1)计算:;
(2)先化简,再求值:,其中.
17. 如图,在中,平分,交于点.
(1)尺规作图:作的垂直平分线,分别交,于点,,连接,;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)①求证:四边形是菱形;
若,,,求的长.
18. 某公司生产了一款新能源电动汽车,该款汽车充满电后电池的剩余电量是其行驶路程的一次函数.已知该款汽车的行驶路程为时,剩余电量为;行驶路程为时,剩余电量为.
(1)求与之间的函数表达式;
(2)当电池电量低于时,该款汽车将会发出电量警报,提示及时充电.行驶多少千米后,该款汽车将会发出电量警报?
19. 某校体育组为了备战全市中学生田径运动会,计划从甲、乙、丙三名长跑运动员中选拔一人参加1000米跑项目.为了科学选拔,教练记录了这三名运动员近期10次1000米跑测试的成绩(单位:秒),并对数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
a.
b.丙运动员10次测试成绩(单位:秒):200,202,204,209,209,209,211,213,215,218;
c.三名运动员10次测试成绩的统计量如下表:
运动员
平均数
中位数
众数
方差
甲
乙
丙
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)表中的值为__________,的值为__________,__________(填、或);
(2)根据以上信息计算乙运动员10次测试成绩的平均数;
(3)请根据以上信息判断应该选择哪位运动员参赛,并写出两条理由.
20. 如图1,为某两足人形机器人行走时的实拍图,图2为该时刻下半身对应的几何示意图(所有点均在同一平面内),行走时,机器人前脚跟、后脚尖同时着地,着地点分别为W,N,为后脚跟离地的最大距离,点A为髋关节,大腿与小腿在一条直线上,与地面垂直.经测量大腿长均为,小腿长均为,,,,.
(1)行走时的身高与直立时的身高相差多少?
(2)行走时每步的步长是多少?
(结果精确到,参考数据:,,,)
21. 如图,为的直径,点D在上,平分交于点C,过点C作直线交的延长线于点E,连接交于点F.
(1)写出图中一个与相等的角:______;
(2)求证:是的切线;
(3)若,求的长.
22. 新定义:若一个点的纵坐标是横坐标3倍,则称这个点为“三倍点”.如:等都是“三倍点”.
(1)已知二次函数.①若该函数图象向左平移5个单位,其顶点刚好是三倍点,求该函数表达式;②点在该函数图象上,其中,若的最小值是,求的值;
(2)若二次函数的图象上不存在“三倍点”,令,求的取值范围.
23. 如图,在中,点在边上,将沿翻折得到,点的对称点落在内,延长交所在直线于点,交所在直线于点,延长交边于点.
(1)如图1,当点在中点处时,求证:;
(2)在(1)的条件下,若,,求的长;
(3)如图2,当时,点在边上.若,直接写出的值.
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