2026年山东菏泽市鄄城县九年级第三次阶段测试数学试题

**基本信息** 初中数学三模试卷注重核心素养综合考查，通过梯度化问题设计检测学生抽象能力、运算能力及应用意识，贴合中考冲刺阶段综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约6题/40分|函数综合、几何证明、统计应用|以科技情境为载体，如数据分析题结合真实数据，考查数据意识；几何探究题通过动态图形培养空间观念与推理能力，符合中考命题趋势|

2025-2026学年度第三次质量监测 九年级数学参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 3 4 6 7 8 9 10 A BD DB D 二、填空题（每小题3分，共18分） 1.3 12.有两个不相等的实数根13.-2 15.-6<x<0或x>216.m<6且m≠0 三、解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (2(x+2>1+3x① 17.【详解】解： 2x-19x+2≤1② 3 6 解不等式①，得 x<3,3分 解不等式②，得 x≥-2,6分 所以该不等式组的解集为-2≤x<3,7分 所以不等式组的整数解为-2，-1,0,1,2.8分 18.【详解】证明：，四边形ABCD为菱形， .AB=BC,∠A=∠C.3分 :∠ABE=∠CBF, ∴.△ABE≌△CBF(ASA,6分 .BE BF .∠BEF=∠BFE.8分 19.【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，掌握基本的尺规作图方法是解题的关 键. 先运用尺规作图过A作∠BAC=∠O,然后再作线段AB的垂直平分线，垂直平分线与边AC的交点为点 C,最后顺次连接点A、B、C即可解答， 【详解】解：如下图：△ABC即为所求. 8分 20.【详解】解：列表如下， 甲 二 乙 丙 丁 甲 (乙，甲) (丙，甲) (丁，甲) (甲，乙) (丙，乙) (丁，乙) 丙 (甲，丙) (乙，丙) (丁，丙) 丁 (甲，丁) (乙，丁) (丙，丁) 共有12种等可能的结果，其中甲和乙在一起的有2种情况， (表格列对6分) 因此P(选中甲乙)= 21 8分 126 21.【详解】解：过A点作AF⊥BC于F,过A点作AG⊥EC于G, ∴.∠AFB=∠AFC=90°，∠AGE=∠AGD=90°， 由题意，∠C=90°， ∴.∠C=∠AFC=∠AGC=90°， .四边形AGCF是矩形，3分 ∴.AF=GC,AG=FC, 在Rt△ABF中，∠BAF=20°， sin∠BAF=BF AB Cos∠BAF=AE AB ∴.BF=ABsin20°≈4×0.34=1.36， AF=ABc0s20°≈4×0.94=3.76,5分 ∴.GC=AF=3.76,AG=CF=BC-BF=5-1.36=3.64,7分 在Rt△ADG中，∠ADG=50,tan∠ADG=4G DG :DG=,4G=3.643.06,8分 tan50°1.19 .∴.CD=GC-DG=3.76-3.06=0.7, 答：凉荫处CD的长为0.7米.9分 B .1209 50°入 D C 22.解：连接OE,如图， .OA=OE, .∠A=∠OEA, ∠BOE=2∠A, ∠ABC=2∠A, ∴.∠ABC=∠BOE,2分 ∴.OE∥DC, CD⊥DE, ∴.OE⊥DE, .OE是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线；4分 D 【小问2详解】 解：连接BE, :AB是⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°， :DE是⊙O的切线， ∴.∠OED=90°， ∴.∠BED=90°-∠OEB=90°-∠ABE=∠A, ∴.sin∠A=sin∠BED, BE BD ,即：BE2=ABBD,6分 AB BE AB =20B=25,AB=5BD, BD=25, BE=2W5x25=4, BE=2. ∴在Rt△AEB中，AE=VAB2-BE2= V25°-22=4.9分 B D E 23.解：，点A2,3)在反比例函数y=二(x>0)的图象上， 3 2 .k=6, “反比例函数的解析式为y=6 .2分 【小问2详解】 6 解：设Bm, m :BC⊥y轴，垂足为点C, .BC=m, △ABC的面积为6， 解得m=6, .B(6,1, 设直线AB的表达式为y=px+q,则 2p+g=3 P=- 解得 2, 6p+q=1 9=4 1 .直线AB的表达式为y=-二x+4.6分 2 【小问3详解】 6 解：设Bn, n A2,3),点B在点A的右侧， .n>2, 当△ABP是等腰直角三角形时，分以下3种情况： 若AB=AP,∠BAP=90°， 作AH⊥x轴于点H,交BC于点K,则∠AHO=90°， 又：BC⊥y轴，垂足为点C, ∴.四边形COHK为矩形， ∴.∠AKB=∠CKH=90°，CK=OH, .∠ABK=90°-∠BAK=∠PAH, 在△AHP和△BKA中， 「∠AHP=∠BKA ∠PAH=∠ABK, AP=BA .△AHP≌△BKA(AAS), .AH BK ∴.n-2=3, .n=5, .66 6 ,7分 若BA=BP,∠ABP=90°， 作BM⊥x轴于点M,作AN⊥BM于点N,则∠N=∠BMP=90°，∠ABN+∠PBM=90°， ∴.∠BAN=∠PBM, 在△ANB和△BMP中， ∠N=∠BMP ∠BAN=∠PBM, AB=BP .△ANB≌△BMP(AAS), ∴.AN=BM, 6 .n=2+,n>2, n 解得n=√7+l, 6_=万-1， 6 一= n√7+1 BV7+l,7-1,8分 若PA=PB,∠APB=90°， 作AE⊥x轴于点E,作BF⊥x轴于点F,则∠AEP=∠PFB=90°，∠APE+∠BPF=90°， .∠EAP=∠FPB, 在△AEP和△PFB中， [∠AEP=∠PFB ∠EAP=∠FPB, AP=PB .△AEP≌△PFB(AAS, :EP FB,AE PF, 2+6+3=n,n>2, n 解得n=6, :6=1, n .B(6,1,9分 :当△ABP是等腰直角三角形时，所有满足条件的点B坐标为5，}，(V7+1,V7-小，(6,1).10 分 A B 24.(12分)【小问1详解】 解：MN=DC,理由， :MA绕点M顺时针旋转90°得到MD,∠BAC=90°， .MA=MD,∠DMC=∠MAN=90°，1分 又.AN=MC, ∴.△ANM≌△MCD(SAS), ∴.MN=DC;3分 【小问2详解】 解：四边形AFCD为平行四边形，理由如下： ,AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ACB=45°， :MA绕点M顺时针旋转90°得到MD, .∠MAD=45°， .∠MAD=∠ACB, .AD∥CF,5分 .△ANM≌△MCD, ∴.∠ANM=∠DCM, AE⊥MN, .∠ANM+∠NAE=90°， ,∠NAE+∠MAE=90°， .∠ANM=∠MAE, .∠DCM=∠MAE, DC∥AF, .四边形AFCD为平行四边形；7分 【小问3详解】 解：如图，过点C作∠MCP=90°，使CP=2,连接PM,BP,延长BC,过点P作PQ⊥BC于点 o, CPMC_1 ACHN3∠MCP=∠NAC=90°， ∴.△MCP∽△NAC,9分 :.MP-INC. 3 ∴.BM+-CN=BM+MP≥BP, 39 ∴当点B、M、P三点共线时，BM+,CN的值最小，最小值为BP的值，10分 由题意可得，BQ=72,PQ=V2, 在Rt△PB0中，BP=V72+V2}=10, .BM+二CN的最小值为10.12分 2025-2026学年度第三次质量监测 九年级数学试题 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．纳米科技是新兴科技，1纳米=米，则5纳米用科学记数法表示为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“文”“明”“自”“由”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面文字恰好能组成“文明”一词的概率是（ ） A． B． C． D． 6．化简的结果是（ ） A． B． C． D． 7．某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“100米”两个项目的概率是（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知是的直径，，是上的点，且与交于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，对角线与交于点，已知，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，交于点，②分别以点，为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A． B．6 C． D．4 10．我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例如：对于关于的一次函数的3分函数为． 若是二次函数关于的分函数（其中为常数）．则下列结论中 ①当时，的最小值为； ②当时，若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上； ③当时，若时，的最大值是5，最小值是，则的最大值为．描述中正确的是（ ） A．② B．①② C．①③ D．②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是_______． 12．已知关于的一元二次方程，其中、在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是_______． 13．是关于的一元二次方程的解，则________． 14．如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是_______． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点，则关于的不等式的解集是_______． 16．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18．（8分）如图，在菱形中，，分别是，边上的点，连接，，，且．求证：． 19．（8分）已知：及其一边上的两点，．求作：以为底的等腰，使点在的内部，且． 20．（8分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的“形象大使”，请你用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率． 21．（9分）为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①），在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 22．（9分）如图，为的直径，、为上的两点，过点的直线交的延长线于点，且，． （1）求证：是的切线； （2）若半径为，，求的长． 23．（10分）如图，点和点在反比例函数的图象上，且点在点的右侧，作轴，垂足为点，连接，． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图1，若的面积为6，求直线的表达式； （3）在轴上存在一点，当是等腰直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点坐标． 24．（12分）在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题．研究发现：通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化．如图，在中，，，点，分别为，上的动点（不含端点）． （1）如图1，若，将绕点顺时针旋转得到，判断和的数量关系并说明理由； （2）如图2，在第（1）问的条件下，作于点，交于点，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； （3）如图3，若，，连接，，求出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $