期末复习：用向量解决夹角问题、线段长度问题、几何最值问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦向量工具性，系统整合夹角、长度、最值三大几何问题，通过分层例题构建从概念应用到综合创新的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用向量解决夹角问题|8题（含4例4变式）|涉及向量夹角计算、几何图形中角的余弦值求解，涵盖选择、填空、解答题|以向量数量积公式为核心，通过坐标法与几何法转化，建立“向量夹角—几何角”的对应关系| |用向量解决线段长度问题|6题（含3例3变式）|聚焦三角形中线、角平分线等线段长度计算，以解答题为主|基于模长公式，结合平面几何性质，实现“线段长度—向量模长”的转化| |用向量解决几何最值问题|6题（含3例3变式）|结合动点与函数思想求最值，涉及菱形、三角形等图形|通过向量坐标运算将几何最值转化为函数最值，体现数学思维的逻辑性与严谨性|

期末复习：用向量解决夹角问题、线段长度问题、几何最值问题专项训练 期末复习：用向量解决夹角问题、线段长度问题、几何最值问题专项训练 考点目录 用向量解决夹角问题 用向量解决线段长度问题 用向量解决几何最值问题 考点一 用向量解决夹角问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）如图是由六个正方形拼成的图形，则______． 例4．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 变式1．（25-26高一下·湖南娄底·月考）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·湖北十堰·月考）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 变式3．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为__________． 变式4．（25-26高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 考点二 用向量解决线段长度问题 例1．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 例2．（25-26高一下·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，锐角满足． (1)求的值； (2)若是线段的中点，求的值． 例3．（2026·江苏无锡·三模）已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍. (1)求函数的解析式； (2)在中，内角的对边分别为，若是边上的中线，求中线的长度. 变式1．（2026·湖南·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． (1)求c． (2)设平分，且与交于点D． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求的长． 变式2．（25-26高一下·北京朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，点D是边上的中点，求和线段的长． 变式3．（2025·湖北黄冈·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且. (1)求角； (2)若为的中点，求线段长的取值范围. 考点三 用向量解决几何最值问题 例1．（25-26高一下·天津南开·期中）已知向量，，且有． (1)求的坐标，和在方向上的投影向量； (2)求与垂直的单位向量的坐标； (3)若，当时，求的最小值． 例2．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知菱形的边长为2，，为边中点，且，为线段的中点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 例3．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）在四边形ABCD中，对角线，． (1)求的大小； (2)若是锐角三角形，且，求AD边长的取值范围； (3)当时，是否存在实数，使得的最小值为．若存在，求值以及的大小；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，，，． (1)用，表示，； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 变式2．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）设是两个不共线的向量，． (1)若向量与向量共线，求的值； (2)若，且与的夹角为，则当为何值时，的值最小？ 变式3．（2026·浙江温州·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：用向量解决夹角问题、线段长度问题、几何最值问题专项训练 期末复习：用向量解决夹角问题、线段长度问题、几何最值问题专项训练 考点目录 用向量解决夹角问题 用向量解决线段长度问题 用向量解决几何最值问题 考点一 用向量解决夹角问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，进而由求出与的夹角. 【详解】，两边平方得 ， 又， ，， 所以，故， ，即， 设与的夹角为，所以， 所以，解得， 又，所以， 故与的夹角为. 例2．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两直线与轴的交点坐标，求得两直线交点坐标，利用向量的夹角公式可求的大小. 【详解】直线与轴交于点， 直线与轴交于点， 由，得，所以，， 所以， 所以，所以. 故选：D. 例3．（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）如图是由六个正方形拼成的图形，则______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积运算求夹角余弦值，再结合同角三角函数基本关系式求解正切值即可. 【详解】设小正方形的边长为，如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，可得 ，，， 则，， 所以， 因为，所以， 所以. 例4．（25-26高一下·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，根据向量夹角的余弦值求解即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，是中点，故； 由，，得； 是上靠近的四等分点， 由定比分点公式得 . 为向量与的夹角，所以. 因为，， 所以， ，. 进而． 变式1．（25-26高一下·湖南娄底·月考）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 变式2．（25-26高一下·湖北十堰·月考）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 变式3．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为__________． 【答案】 【分析】由点在线段上，设，再计算出的坐标，由数量积的坐标运算求出的最大值时的的值，即可求出的坐标，再根据向量的夹角公式可求出的值 【详解】点在线段上，设， 则， ， 当时，取得最大值为， 此时， . 故答案为： 变式4．（25-26高一下·安徽合肥·月考）已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 【答案】 【分析】根据正三角形的性质，建立平面直角坐标系，根据向量的共线定理的坐标运算求解点坐标，再根据向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 考点二 用向量解决线段长度问题 例1．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值； （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 所以， 又因为，所以， 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以， 则， 又，则，即， 所以，，即， 所以，即周长的取值范围是， （2）因为，由角平分线定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 ． 例2．（25-26高一下·黑龙江·期中）在中，内角的对边分别为，且，锐角满足． (1)求的值； (2)若是线段的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)已知两边及其夹角，利用余弦定理计算边即可； (2)求中线的值利用向量的平行四边形法则，将中线表示为相邻两边的向量和，利用向量模长的计算方法计算即可 【详解】（1）因为，且为锐角，所以， 又因，由余弦定理，． （2）因为是线段的中点，所以， 则， 即，即的值为． 例3．（2026·江苏无锡·三模）已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍. (1)求函数的解析式； (2)在中，内角的对边分别为，若是边上的中线，求中线的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正切函数的周期及两函数周期的关系求出的，再代入交点坐标求得得到的解析式； （2）先由求出角，再利用向量模长公式计算中线的长度。 【详解】（1）解：由题意知，正切型函数的最小正周期， 因为函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍. 所以的最小正周期，即，解得， 因为函数的图象与函数的图象的一个交点为， 所以，将交点横坐标代入得，即， 代入得，即， 因为，，所以，解得， 因此. （2）解：因为，，所以，即， 因为为三角形内角，即，， 所以，解得， 因为是边上的中线，， 所以 ， 代入，，，得： ， 所以. 变式1．（2026·湖南·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． (1)求c． (2)设平分，且与交于点D． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用余弦定理求解边长即可； （2）（ⅰ）要证明线段相等，可转化为证明对应角相等.结合角平分线性质、二倍角公式，分别推导与的余弦值，利用锐角三角函数唯一性证明两角相等，进而根据等角对等边证得线段相等；（ⅱ）先通过向量关系式变形，利用向量中点公式判定点为线段中点，得到长度；再结合三角形角平分线定理求出的长度，最后根据线段位置关系，通过作差运算求得的长度. 【详解】（1）因为，，， ， 所以. （2）（ⅰ）如图，作出符合题意的图形， ， 平分，， ， ，即，. （ⅱ）如图，作出符合题意的图形， ，， 是 边上的中点，, 而平分，由角平分线定理得到， 且 ， 由（ⅰ）知，故. 变式2．（25-26高一下·北京朝阳·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，点D是边上的中点，求和线段的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助同角三角函数基本关系、三角形内角和及两角差的正弦公式计算可得，再利用正弦定理可得、，最后利用向量线性运算及模长与数量积关系计算即可得的长. 【详解】（1）由，可得， 即，由余弦定理可得， 则，即，又，故； （2）由，则， 则， 由正弦定理， 可得，， 由点D是边上的中点，则， 故 ， 即. 变式3．（2025·湖北黄冈·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且. (1)求角； (2)若为的中点，求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解； （2）由，两边平方，再结合即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）点为的中点，则， ， 因为，由（1）可知，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，求出，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 故，又，故， 故，即的取值范围为. 考点三 用向量解决几何最值问题 例1．（25-26高一下·天津南开·期中）已知向量，，且有． (1)求的坐标，和在方向上的投影向量； (2)求与垂直的单位向量的坐标； (3)若，当时，求的最小值． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据平面垂直向量的坐标表示建立方程，解得，结合向量线性运算的坐标表示即可求解； （2）设所求向量坐标为，通过单位向量与向量垂直，列方程组求解即可； （3）根据向量的模，将问题转化为动点到两定点的距离问题，通过对称点求出最小距离即可，. 【详解】（1）已知向量，，且有，则，即，解得， 所以，， 因此， 并且在方向上的投影向量为. （2）设所求的单位向量，已知单位向量与向量垂直，由（1）得， 所以有，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或. （3）由（1）得，又因为，则，， 因此， 由于，令，则， 因此要求的最小值，转化为求在上的最小值， 其中表示轴上的动点到定点的距离，表示轴上的动点到定点的距离， 因此表示，    如图所示，点为关于轴的对称点，为线段与轴的交点， 因此，当点与重合时，即共线，此时取最小值， 直线的方程为，即，得到直线与轴的交点坐标为，即， 当点与重合时，满足， 因此，可以取最小值，最小值为， 即的最小值为. 例2．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知菱形的边长为2，，为边中点，且，为线段的中点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量基本定理，再用向量数量积求解； （2）由向量基本定理和向量的线性运算得到， ，再由向量的数量积运算得到，最后利用二次函数求解即可. 【详解】（1）依题意，； 由， 则， 所以. （2）因为，所以 又因为，所以， 因为为的中点， 所以 因为，在上单调递减， 所以的最小值为. 例3．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）在四边形ABCD中，对角线，． (1)求的大小； (2)若是锐角三角形，且，求AD边长的取值范围； (3)当时，是否存在实数，使得的最小值为．若存在，求值以及的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，当时，或, 【分析】（1）根据正弦定理，将边转化为角的正弦形式，再结合同角三角函数基本关系式求解； （2）设，利用锐角三角形的性质：三个内角的余弦值均大于0，结合余弦定理列不等式，求解得到的取值范围； （3）将向量模长平方，转化为关于的二次函数形式，利用二次函数的最值性质，结合最小值为的条件，建立关于和的方程求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：，则， 由，得：， 由，得，即， 又，因此. （2）设，在中，，， 因为是锐角三角形，三个内角的余弦值均为正，由余弦定理可得： ， ， ，对恒成立. 故的取值范围为. （3）设，将模长平方展开：， 代入，，， 得：， 这是关于的开口向上的二次函数，最小值在对称轴处取得， 代入得最小值： ， 由题最小值为，故：，得或， 当时，， 当时，. 故存在满足条件的，当时，或,. 变式1．（25-26高一下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，，，，． (1)用，表示，； (2)求； (3)若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的线性运算计算即可. （2）根据向量数量积的运算律计算即可. （3）根据向量数量积求得，结合图象判断取最值时点位置，结合余弦定理计算即可. 【详解】（1）因，，， 则，，， 则，. （2）由（1）可知，，， 则 . 因为，，则， 则， 故. （3）由题可知，， 则. 由图可知，当与重合时，，此时取得最小值为. 当与重合时，最大，取得最大值， 如图连接，在中，由余弦定理， ， 所以的最大值为， 故的取值范围为. 变式2．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）设是两个不共线的向量，． (1)若向量与向量共线，求的值； (2)若，且与的夹角为，则当为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，根据系数对应相等联立方程组即可求解； （2）先表示出向量模长的平方，结合向量数量积的运算公式，利用配方法转化为二次函数求最值问题即可求得. 【详解】（1）因为向量与向量共线，则存在实数，使得， 所以解得． （2）因为，且与的夹角为， 所以 所以当时，取得最小值． 变式3．（2026·浙江温州·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）运用正余弦定理化简等式，得到关于的余弦公式； （2）（ⅰ）建立坐标系，根据题意得到，运算得到点的轨迹方程，限定其坐标的取值范围，得到双变量函数，依次放缩，并注意取等条件. （ⅱ）注意上一问的取等条件，然后求出点的坐标，代入运算即可. 【详解】（1）在中，因为，所以，代入得到， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 化简得， 又，， 所以 （2）（i）因为，所以，所以 如图，建立平面直角坐标系 此时， 设， 因为，所以 设， 代入得， 整理得，解得 ，当且仅当取得等号 又因为，当且仅当取得等号， 所以的最小值为 （ii）此时，所以直线， ，所以直线， 联立，解得，所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $