上海实验学校2026届高考考前模拟数学试卷

2026届上海实验学校高考考前模拟数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知是虚数单位，计算：__________． 2．设集合有且只有两个子集，则__________． 3．在的展开式中，各项系数之和为__________． 4．已知正实数、满足，则的最大值为__________． 5．某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则__________． 6．已知函数的最小正周期是，则__________． 7．已知三角形为单位圆的内接正三角形，则__________． 8．数列满足（为正整数），且与的等比中项是2，则__________． 9．某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为__________． 10．已知函数为奇函数，则__________． 11．已知曲线，点在圆内（含边界）运动，若恰存在两条过点的直线交曲线于，两点且满足，则点所形成区域的面积为__________． 12．图1所示为文件边角夹，其由两个全等的，直角边长为4厘米的等腰直角三角形塑料板（不考虑厚度）通过贴片耦合而成．图2展示了文件边角夹的工作原理，在使用文件边角夹时，通过按压使三角形塑料板绕着其中位线顺时针旋转，直至与三角形塑料板所在平面平行时无法转动．若要让边角夹按压后能够夹起总厚度为1.2厘米的一沓纸张，则边角夹的两个塑料板所在的半平面构成的二面角的平面角的最小值为__________．（结果精确到） 二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（ ）． A．5 B．10 C．20 D．30 14．“”是“”的（ ）． A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下不可能的是（ ）． A．0 B．338 C．674 D．1012 16．定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上严格递增，在区间上严格递减，为正整数． ①若，且存在最小值，则存在最小值； ②若，且存在最大值，则存在最大值． 则针对以上两个命题下列判断正确的是（ ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17．如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4和6，，分别为圆台的上、下底面圆的圆心，，为圆台的两条不同的母线． （1）求证：； （2）已知，，求二面角的大小． 18．已知函数的图象经过点， （1）求的值，并判断函数的奇偶性（写出证明过程）； （2）设，若关于的方程在时有解，求的取值范围． 19．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． （1）当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； （2）某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 20．已知椭圆，平行四边形的四个顶点在椭圆上，直线，，的斜率分别为，，． （1）求椭圆的离心率； （2）若四边形为菱形，证明：直线，之间的距离为定值； （3）若，，成等比数列，射线，分别交椭圆于，两点，求四边形面积的取值范围． 21．已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在，使得，则称函数在区间上具有性质． （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求的取值范围； （3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届上海实验学校高考考前模拟数学试卷 一、填空题 1.22.a=1.3.14. 1 16 5.1206.47.-3 8.1或-49. 10.3 11 16 2 1. 3π+112.58.1° 168 二、单选题 13.D14.B15.D16.D 三、解答题 √6 17.【答案】(1)见解析；(2)arctan 【解析】(1)圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到， 所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一分， '.母线AA与母线BB的延长线必交于一点， A,A,B,B四点共面， :圆面O∥圆面O,且平面ABB,A∩圆面O=AB,平面ABB,A∩圆面O=AB .AB∥AB. (2)取线段AB、AB的中点分别记作点E、F,连接OE,OF,EF, 过点F作OO平行线，交OE于H点，连接FH, 又OA=OB,故OE⊥AB, 四边形ABBA是等腰梯形，故EF⊥AB, 于是，∠OEF即为所求的二面角O-AB-A,的平面角， 又∠40B=,40=B0=4,A0=B0=6, 故O,F=2√2,0E=3V2,则EH=√2， 00,=VA4-(53-5)2=5, 故tan∠OEF=HF=5_V6 HE2 2 故二面角O-AB-A的大小为arctan 6 2 18.【答案】1)m=- ’偶函数(2 【解析】(1)因为函数y=f(x)的图象经过点P o:loglg.mogn0g.3 3 所以- 33 1 m,解得m=-。 42 2 所以f=10g.(2+-2=1og:4+-,且定义域为R. 又f-)=log(4+)+2x=log:4+2 ,4++2x=1og(4+-2x=f(, 因此，函数y=∫(x)是偶函数： （2》解：医为f到=oe4-=g4+小-g,2=e+.当1到=g国时， g2+x+a=log),得2+x+ap 2x 因为当x∈[-2,2]时，函数y 所以使方程有唯解时α的取值范围是 -4 6 53 19.【答案】(1) 19’10 ,不独立；(2)当n=6时，获奖的可能性最大；当n=13时，获奖的可能性最 小 ①)当n=6时，含中有6个白球，14个黑球，P(山-，P(BAe号 Pa性合 P(B)=P(A0B)+P(AnB=P(A)P(B A)+P(a P(B =3x5+7x63 1019101910 则P(BA:P(B),所以事件A与B相互不独立. (2)从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率P=CC, 设f(n)=CC3w-n, （n+1)！(19-n)！ 当3≤n≤12时， f(n+1)_CCion= 3!n-2！712-n)！-n2+12n+13 f(n ）CC0-A n!20-n)！-n2+22n-40 3:n-3！713-n！ 又-n2+12n+13--n2+22n-40=53-10n, 当3≤n≤5时，fn+l)>fn), 当6≤n≤12时，f(n+1)<f(n),因此f(3)<f(4)<f(5)<f(6)<f(7)>…>f(13), 而f(3)=C=C%>Ci=f(13),则f(n)x=f(6),f(n)mn=f(13), 所以当n=6时，参与者获奖的可能性最大；当n=13时，参与者获奖的可能性最小. 20【指1D52思：503+2 【解析】(1)由r: +y2=1,故a=2,b=1,故c=Va2-b=√5， 4 c 3 故离心率e=二= a 2 (2)设两条平行线AB,CD的方程分别为y=kx+m,y=kx+m2,Ax,),B(x2,y2), 行+少产=1·)r+8m*4a-40 y=kox+m 由 x2 所以△=164k+1-m)>0，即4k+1>m, 又x+x2= 8mk,x=1+4 4m2-4 1+4K 所以AB=V1+kx-x=V1+kVx+x2)2-4xx =V1+k后 8mko -4× 4m2-4_4V1+k·V1+4k6-m 1+4k2 1+4 1+4k 同理，CD= 4v1+ko1+4k-m 1+4k6 由平行四边形ABCD得AB=CD,所以m2=m, 因为≠%2，所以m=-m2,即m+m2=0, 所以两条平行线AB,CD在y轴上的截距之和为O. 由四边形ABCD为菱形得AC⊥BD,所以kk2=-1, 由(1)知AB,CD关于原点对称， 由椭圆的对称性知点A与点C,点B与点D均关于原点对称， 所以kk,=上.上=医x+m,5+m_5xx+km,(飞+x)+m X X2 Xx2 XX2 =k6+km1· -8km1+4)m.-48+m三=-1. 4m2-44m2-44m2-4 多莲得网=+)，所以直线4B,CD之有的距腐d= 2ml45 1+k,25 所以直线AB,CD之间的距离为定值. (3)由(2)知kk= 然十=龙，则m引4好-=0，因为叫40，所以号=号 4m2-4 设直线AC的方程为y=kx, y=kx y=kx 8 好一时 x2 -=1 82 OF 所以 OE OE =2, OAOC +k-反，同理 1+k2xcl OB 所以S0=、0E=V反，氵0=2，四边形ABEF的面积S=3+22)SoB S。A0B 因为m2<4k6+1=2,且m≠0，m≠1，故m∈(0,1)U(1,2), 因为点O到直线AB的距离为 m 1+k6 所以5-h6-专4+夏x--四e10 1+4 V1+k好 所以四边形ABEF的面积S∈0,3+2√2). 21【答案11)具有作质P):2(怎+：6见解所 【解新】医数八到=x-1训上具有性质P 为e-训且-号-训 所以函数f(x)=x2在[-1,1上具有性质P 2)思路：由题意，存在%∈0，小，使得sin,=sn+牙， 得无+景=+2版（金）或无+经=2+-keZ, 3π 则得x。=红+ 8 因为x,=kπ +3r>0,所以k∈N. 8 又因为x,=kπ+ 3∈0，m且+=km+∈(0，nj(keN), 8 4 8 所以n> 5π，即所求m的取值范围是 思路二：当0<n≤兀时，函数f(x)=six,x∈(0，n)是增函数，所以不符合题意； 当m>无时，因为直线x=元是函数f(x)=sir的一条对称轴， 而函数f(x)=sinx在区间(0，n)(n>0)上具有性质P 4 所以2 4 解得n> 。即顺求”的取值范同定（经+松 8 o)设=-+兮》[ 则有80=o-得89)8))-. e号=号)…g)r)12训e2.-6) 以上备式go+付+e可号++)a小-0 eo+6)+）+】-. (iD当g0)、 8)、8:))中有-个为0时，不骑胶=0 e2,即g=ff=0,即/f兮2+》ie2.3… 所以质数y=f在区Q,2到上有性质P写 ①当g10、8目))中均不为0时，由于获和为0 则其中必存在正数和负数，不妨设g 号. 其中i≠j,i、j∈{1,2,3，…，6. 由于函数y=gx)的图像是连续不断的曲线， 所以当1<成，至少有车-个实题气兮号）当>，至少春在-个实级气号号》 其中i、j∈{1,2,3，…，6，使得gxo=0, 甲=1小-f+号-0. 即存在，侯符=飞+写》 所以函数y=f(x)在区间[0,2]上也具有性质P 综上，函数y=f(x)在区间[0,2]上具有性质P