精品解析：2026年黑龙江省大庆市第六十九中学一模数学试题

2025－2026学年下大庆市六十九中学中考一模测试数学 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解： 的相反数为． 故选：A． 2. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，能够根据轴对称图形定义识别轴对称图形是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可． 【详解】解∶A． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C． 是轴对称图形，故该选项符合题意； D． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 4. 下列几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每种几何体的主视图与左视图的形状解答即可． 【详解】解：A、主视图和左视图都是等腰三角形，不符合题意； B、主视图是矩形，左视图是圆，符合题意； C、主视图和左视图都是圆，不符合题意； D、主视图和左视图都是正方形，不符合题意． 5. 河南是中华文明的主要发源地，“八大古都”中河南就占了四席，分别是洛阳、开封、安阳和郑州．将这四座城市的名字分别写在四张质地、大小一样的空白卡片上，然后把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则只有一次抽到安阳的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出只有一次抽到安阳的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：把洛阳、开封、安阳、郑州分别记作，，，，画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中只有一次抽到安阳的结果数为6， 两次抽到卡片只有一次抽到安阳的概率为． 故选：C． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 方程的解是 B. 有两边和一角相等的两个三角形全等 C. 4的平方根是2 D. 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，平方根，全等三角形的判定，中点四边形等知识，根据相关知识逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 方程的解为，，故选项不正确； B.有两边对应相等，且夹角相等的两三角形全等，故选项不正确； C. 4的平方根是，故选项不正确； D. 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，故选项正确； 故选：D． 7. 如图1，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点A，C，O，E在x轴上，点B，D在y轴的正半轴上，其中，，，．如图2，把沿x轴向右平移，使得点B恰好落在边上，与y轴交于点G，此时点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，解直角三角形，先求出直线的函数表达式为．再利用一次函数的性质并结合解直角三角形计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：平移前点，， 设直线的函数表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 当点B在上时，令，则， 解得，即． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴点G的坐标为， 故选：D． 8. 如图，已知的边在轴上，，点A落在反比例函数的图象上，斜边上的中线交y轴于点E，若的面积为4，则k的值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，根据题意证得，即可根据反比例函数系数k的几何意义求得． 【详解】解：连接、， ∵为的斜边上的中线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴． 9. 某同学三次测试成绩分别为，当时，取得最小值，则统计a是（ ）． A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】先将原式整理为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出最小值对应的值，再判断该值对应的统计量即可. 【详解】解：， 二次项系数， 该二次函数开口向上，在对称轴处取得最小值， 对于二次函数，对称轴公式为，代入得：， 是的平均数， 因此是平均数． 10. 如图，在矩形中，E是的中点，点F在边上，点P在矩形内部，，，连接．若，则的最小值等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点H，在上截取点G，使，推出，得到，推出，得到点P在的角平分线上，再证明，当A、P、C在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：取的中点H，在上截取点G，使，连接， ∵在矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴点P在线段上，即点P在的角平分线上， ∵，，， ∴， ∴， ∴当A、P、C在同一直线上时，取得最小值，最小值为的长， 由勾股定理得， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，得到点P在的角平分线上是解题的关键． 二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 已知直线与直线平行，则直线不经过第____象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数图象经过的象限，根据两直线平行可知两直线解析式的一次项系数相等，则，据此可得直线经过的象限，进而可得答案． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴则直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，圆锥的侧面积公式为，其中为底面半径，为母线长，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 15. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 16. 对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点O，以O为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、勾股定理、解一元二次方程的，解题关键是得到． 设，则，，，然后在中利用勾股定理列方程求出进而得到． 【详解】解：依题得：， 设， 则正方形中，，， 是的中点， ， ∴ ∴ ∴在中， ∴ 整理得， 解得或（舍去） ∴． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为…按此规律，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】找出规律，据此求解即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， 同理，，， ， ∴， ∴． 18. 实数和，若，我们定义，比如．已知关于的函数，下列结论：①函数图象经过原点；②若，则方程有三个不等实根；③若，则时，有最小值3；④若时，的值随的值增大而增大，则．其中正确的结论是___________（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查函数新定义，二次函数与一次函数综合，二次函数性质，一次函数性质，解题的关键在于正确理解新定义若，我们定义．根据二次函数与一次函数综合，与函数新定义概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：①当时，，，即， 函数图象经过原点，故①正确； ②若， 时， 有或， 解得或， 则方程有个实根， 故②错误； ③若， 则， 当时，解得，， 当时，则， 当时，则， ，随增大而增大，，离对称轴越近函数值越大， 则时，有最小值或， 故③正确； ④时，的值随的值增大而增大， 又时，解得，， ， 解得， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根的定义、零指数幂和特殊三角函数的有关知识进行计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查算术平方根、零指数幂和特殊三角函数，关键就是把相关知识熟记，不能混淆．计算要细心． 20. 先化简，再求值：，其中从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】，-4 【解析】 【分析】先按照分式运算法则进行化简，再选取数轴代入计算即可． 【详解】解： = = = 当取和2时，分式无意义，故选； 把代入，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算，代入数值后正确求值． 21. 近年来，国家大力推进算力基础设施建设，加快构建全国一体化算力网络，赋能数字经济高质量发展．AI大模型、云计算、数据处理等应用，都离不开算力这一核心支撑．算力越强，计算机完成数据处理任务的速度就越快． 某数据中心承接一批智能计算任务．已知国产智能服务器每天的算力是普通服务器每天算力的20倍，用普通服务器处理2000单位计算任务的时间，比用国产智能服务器处理同样任务的时间多95天．求国产智能服务器和普通服务器每天的算力各是多少单位？ 【答案】国产普通服务器每天的算力是20单位，智能服务器每天的算力是400单位 【解析】 【分析】设国产普通服务器每天的算力是x单位，则智能服务器每天的算力是单位，根据：用普通服务器处理2000单位计算任务的时间，比用国产智能服务器处理同样任务的时间多95天列出方程求解即可． 【详解】解：设国产普通服务器每天的算力是x单位，则智能服务器每天的算力是单位， 根据题意，得， 解得：， 经检验：是方程的解，， 答：国产普通服务器每天的算力是20单位，智能服务器每天的算力是400单位． 22. 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为14海里．求A、C两地之间的距离．（参考数据：结果精确到0.1） 【答案】、两地之间的距离约为7.3海里 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，根据题意可得的度数，然后根据三角形外角定理求出的度数，已知海里，可求出的长度，在中，解直角三角形求出的长度，继而可求出A、C之间的距离． 【详解】解：过点作交延长线于点， 由题意得，，， ∴， 在中，海里，， ∴海里， 在中，海里， ∴（海里）． 答：、两地之间的距离约为7.3海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 为更好的了解中学生课外阅读的情况，学校团委将初一年级学生一学期阅读课外书籍量分为A（3本以内）、B（3﹣﹣6本）、C（6﹣﹣10本）、D（10本以上）四种情况进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图所给信息解答上列问题： （1）在扇形统计图中C所占的百分比是多少？ （2）请将折线统计图补充完整； （3）学校团委欲从课外阅读量在10本以上的同学中随机邀请两位参加学校举办的“书香致远墨卷至恒”主题读书日的形象大使，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位同学恰好都是女生的概率. 【答案】（1）22%；（2）画图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）用整体1减去A、B、D所占的百分比，剩下的就是图中C所占的百分比； （2）用A的人数除以所占的百分比，求出本次抽样调查的总人数，再分别求C和D的女生数，从而补全统计图； （3）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求出答案． 【详解】（1）在扇形统计图中C所占的百分比是：1-20%-52%-6%=22%； （2）小丽本次抽样调查的共有人数是：=50（人）； C的女生有：50×22%-5=6（人）， D的女生有：50×6%-1=2（人）， 补图如下： （3）由树状图知， 随机抽取两名学生做形象大使共有6种可能人，恰好抽到两位女生的有2种，因此恰好抽到的两位都是女生的概率是． 【点睛】此题考查了折线统计图和扇形统计图以及概率的求法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24. 如图，在中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧于点P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）当，时，求菱形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2）菱形的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题意易证四边形是平行四边形，再根据作图轨迹可知为的角平分线，再结合，可得，从而可得，即可证得四边形为菱形； （2）根据勾股定理先求出的长，设菱形边长为，则，，根据可判断，从而得到关于的等式，解出即可得出菱形的边长，进而求得菱形的周长． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 由作图轨迹可知：为的角平分线， ， ， ， ， 为菱形； 【小问2详解】 解：，，， ， 设菱形边长为，则，， ， ， 即， 解得：， 菱形的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，角平分线性质，一元一次方程的实际应用，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 25. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）至少需要购进B款纪念品200个 （3），W的最大值为4500 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴于点，与反比例函数图象交于，B两点（点A在点B的右侧）． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图（1），点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接，，若，求的长； （3）点Q是反比例函数图象上一动点，直线交x轴于点D，连接，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，函数和几何图形的结合，解一元二次方程，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上函数的性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴，交于点N，联立解析式求出交点坐标，然后根据三角形面积公式列出方程求解，最后根据勾股定理求线段长度即可； （3）根据一次函数和反比例函数的图象和性质，结合几何图形的性质，证明全等三角形得出相等的边，求出点的坐标，求出相关函数的解析式，然后分两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：过点， ， ∴， 又过点， ， ∴，代入得， ， ∴； 【小问2详解】 解：作轴，交于点N， 设， ， 联立， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ， 解得：，（舍）， ∴由勾股定理得； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由，可得，， ， 又 ， 又， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， 又∵，根据的内角和为得： ， 过点O作， ∴，则点Q，D落在直线上， 过点A作轴于点E，轴于点F， ，， 又， ， ， ∴， 又， ∴， ， 假设直线的解析式为，将和代入解析式得， 解得， ， 联立解析式， ， 解得或（舍去） ， 当时，， ∴， 又，，，根据轴对称得， ， 同理，利用待定系数法可得， ， 联立解析式得， ， 解得或（舍去）， ， ，． 27. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG∥CD交BP于点G． （1）求证：直线GA是⊙O的切线； （2）求证：AC2＝GD•BD； （3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求cos∠P的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）欲证明直线GA是⊙O的切线，只需推知OA⊥GA即可； （2）根据折叠的性质得到：AC＝AD．通过相似三角形△BAD∽△AGD的对应边成比例得到：．所以AC2＝AD2＝GD•BD． （3）cos∠P＝，所以需要求得线段PD、PA的长度；利用（2）中的AD2＝GD•BD和锐角三角函数的定义求得BD＝2GD；根据△PAG∽△PBA是对应边成比例得到：PA2＝PG•PB，即PA2＝6（6+3GD）；结合勾股定理知PA2＝AD2+PD2．所以6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2．利用方程思想求得答案． 【详解】（1）证明：∵将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD， ∴BC＝BD． ∴点B在CD的垂直平分线上． 同理得：点A在CD的垂直平分线上． ∴AB⊥CD即OA⊥CD， ∵AG∥CD． ∴OA⊥GA． ∵OA是⊙O的半径， ∴直线GA是⊙O的切线； （2）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°． ∴∠ABD+∠BAD＝90°． ∵∠GAB＝90°， ∴∠GAD+∠BAD＝90°． ∴∠ABD＝∠GAD． ∵∠ADB＝∠ADG＝90°， ∴△BAD∽△AGD． ∴． ∴AD2＝GD•BD． ∵AC＝AD， ∴AC2＝GD•BD； （3）解：∵tan∠AGB＝，∠ADG＝90°， ∴． ∴． ∵AD2＝GD•BD， ∴BD＝2GD． ∵＝， ∴∠GAD＝∠GBA＝∠PCD． ∵AG∥CD， ∴∠PAG＝∠PCD． ∴∠PAG＝∠PBA． ∵∠P＝∠P， ∴△PAG∽△PBA． ∴PA2＝PG•PB ∵PG＝6，BD＝2GD， ∴PA2＝6（6+3GD）． ∵∠ADP＝90°， ∴PA2＝AD2+PD2． ∴6（6+3GD）＝（）2+（6+GD）2． 解得：GD＝2或GD＝0（舍去）． ∴PD＝8，AP＝6， ∴cos∠P＝． 【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和勾股定理等知识，解答关键是根据题意添加辅助线运用切线的性质． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； 【小问2详解】 解：连接， ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． 【小问3详解】 解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）． 设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知： 当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知： 当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年下大庆市六十九中学中考一模测试数学 一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 河南是中华文明的主要发源地，“八大古都”中河南就占了四席，分别是洛阳、开封、安阳和郑州．将这四座城市的名字分别写在四张质地、大小一样的空白卡片上，然后把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则只有一次抽到安阳的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 方程的解是 B. 有两边和一角相等的两个三角形全等 C. 4的平方根是2 D. 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 7. 如图1，在平面直角坐标系中，放置直角三角板，，点A，C，O，E在x轴上，点B，D在y轴的正半轴上，其中，，，．如图2，把沿x轴向右平移，使得点B恰好落在边上，与y轴交于点G，此时点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知的边在轴上，，点A落在反比例函数的图象上，斜边上的中线交y轴于点E，若的面积为4，则k的值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 9. 某同学三次测试成绩分别为，当时，取得最小值，则统计a是（ ）． A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 10. 如图，在矩形中，E是的中点，点F在边上，点P在矩形内部，，，连接．若，则的最小值等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是________． 12. 因式分解：______． 13. 已知直线与直线平行，则直线不经过第____象限． 14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是____． 15. 关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是________． 16. 对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点O，以O为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则__． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为…按此规律，则的值为__________． 18. 实数和，若，我们定义，比如．已知关于的函数，下列结论：①函数图象经过原点；②若，则方程有三个不等实根；③若，则时，有最小值3；④若时，的值随的值增大而增大，则．其中正确的结论是___________（填写序号）． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值． 21. 近年来，国家大力推进算力基础设施建设，加快构建全国一体化算力网络，赋能数字经济高质量发展．AI大模型、云计算、数据处理等应用，都离不开算力这一核心支撑．算力越强，计算机完成数据处理任务的速度就越快． 某数据中心承接一批智能计算任务．已知国产智能服务器每天的算力是普通服务器每天算力的20倍，用普通服务器处理2000单位计算任务的时间，比用国产智能服务器处理同样任务的时间多95天．求国产智能服务器和普通服务器每天的算力各是多少单位？ 22. 如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为14海里．求A、C两地之间的距离．（参考数据：结果精确到0.1） 23. 为更好的了解中学生课外阅读的情况，学校团委将初一年级学生一学期阅读课外书籍量分为A（3本以内）、B（3﹣﹣6本）、C（6﹣﹣10本）、D（10本以上）四种情况进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图所给信息解答上列问题： （1）在扇形统计图中C所占的百分比是多少？ （2）请将折线统计图补充完整； （3）学校团委欲从课外阅读量在10本以上的同学中随机邀请两位参加学校举办的“书香致远墨卷至恒”主题读书日的形象大使，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位同学恰好都是女生的概率. 24. 如图，在中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧于点P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F． （1）求证：四边形为菱形； （2）当，时，求菱形的周长． 25. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 26. 在平面直角坐标系中，一次函数图象交y轴于点，与反比例函数图象交于，B两点（点A在点B的右侧）． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图（1），点P是反比例函数第三象限图象上一点，且点P位于点B的下方，连接，，若，求的长； （3）点Q是反比例函数图象上一动点，直线交x轴于点D，连接，当时，求点Q的坐标． 27. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG∥CD交BP于点G． （1）求证：直线GA是⊙O的切线； （2）求证：AC2＝GD•BD； （3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求cos∠P的值． 28. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $