精品解析：黑龙江省大庆市第六十九中学2024-2025学年下学期九年级（五四制）数学中考一模试卷

大庆市第六十九中学二部 2024—2025学年度下学期初四年级第一次模拟考试 数学试题 考生注意： 1．考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间120分钟． 5．全卷共28小题，总分120分． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则 的结果是（　　） A. 6 B. C. 7 D. 4. 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ） A. 极差是5 B. 众数是8 C. 中位数是9 D. 方差是2.8 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的转盘被均匀的分为4部分，每个扇形部分都表示一个数字．转动转盘两次，分别记录停止后的数字（若停在线上则重新转），则两次转动的数字之和大于6的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（k≠0）上，则k的值为（ ） A. 4 B. ﹣2 C. D. 8. 关于的一元二次方程的两根，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 以点 为圆心，线段 的长为半径作弧 B. 有两边相等的两个直角三角形全等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 五边形的内角和是720° 10. 如图，已知矩形 ，，，点 为矩形内一点，点 为 边上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 20 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 13. 已知圆锥的底面半径是，母线是，则圆锥的侧面积是______． 14. 如图，在矩形 中， ，， 是 的中点，连接，过点 作 ，交 于点 ，则 的长为___________． 15. 如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 __________． 16. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 17. 将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①，将骰子向右翻滚 ；然后在桌面上按逆时针方向旋转 ，则视作完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成9次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 18. 给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题： ①直线是抛物线的切线； ②直线与抛物线相切于点 ③若直线与抛物线相切，则相切于点 ④若直线与抛物线相切，则实数 其中正确命题有___________． 三、解答题（共10小题，满分66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，请从，，0这三个整数中选一个适当的数作为的值代入求值． 21. 某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？ 22. 株洲市清水塘大桥于2023年8月28日正式通车，弧形设计的清水塘大桥在两岸公园的映衬下，被株洲市民称之为“湘江最美大桥”，它是株洲市内第八座跨江大桥，桥梁的跨度 为米，也称“八桥”，某天小红和小明在“八桥”左岸边点 处游玩，如图2此时他们发现桥梁左岸支座点 在正西方向，桥梁的右岸支座点 在北侧西方向：然后他们继续沿着河岸方向游玩到达 点，这时他们观测到桥梁的右岸支座点 在北偏西方向．求此过程中他们游玩路径 的长度？（结果精确到1米，参考数据：，） 23. 近日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）登顶全球动画电影票房榜首，成功吸引了全球观众的目光，提升了中国文化的国际影响力．徐艺同学想了解自己所在省份《哪吒2》的票房情况，随机抽取了本省个县，调查了这个县的《哪吒2》票房，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所调查数据中，《哪吒2》票房的众数为_____百万元，中位数为_____百万元； （2）请计算这个县《哪吒2》票房的平均数； （3）若徐艺同学所在省份共有个县，请你估计这个县的《哪吒2》总票房． 24. 如图，在等边 中，点D是的中点， 是 边上的中线，连接 ，以 为边作等边 ，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求四边形的面积． 25. 某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）． （1）分别求出y与x，W与x的函数解析式； （2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； （3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 26. 如图，在平面直角坐标系中，点 、 分别在函数（）、（，为常数）的图象上，轴，垂足为 ，，． （1）求的值； （2）当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果轴上有一点 ，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 的坐标． 27. 如图，在四边形 中，过点，且与 相交于点 ． （1）如图①，求证： 是的切线． （2）如图②，连接，若． （I）求的长． （II）直接写出 的长． 28. 如图，已知抛物线交轴于 、 两点，交 轴于点 ，连接、 ，且． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点 为线段延长线上一点，连接，设点 的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围) （3）如图3，在(2)的条件下，点 为线段上一点，连接 ，过点 作 的平行线，交抛物线于点 ，交 轴于点 ，，．点为 轴正半轴上一点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市第六十九中学二部 2024—2025学年度下学期初四年级第一次模拟考试 数学试题 考生注意： 1．考生须将自己的姓名，准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号． 3．非选择题用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答无效． 4．考试时间120分钟． 5．全卷共28小题，总分120分． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题的关键． 根据相反数定义即可选出答案． 【详解】解： A ． 和互为倒数，不符合题意； B．原式，故的相反数为，符合题意； C．和相等，故不符合题意； D．不是的相反数，故不符合题意． 故答案为：B． 2. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 3. 若，则 的结果是（　　） A. 6 B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法将其表示出来，即可求解． 【详解】解：根据科学记数法得， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了科学记数法，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 4. 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ） A. 极差是5 B. 众数是8 C. 中位数是9 D. 方差是2.8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数求出x的值，然后分别根据极差、众数、中位数以及方差的定义求解即可． 【详解】一组数据8，5，x，8，10的平均数是8， ， 解得， 这组数据为：5，8，8，9，10， 极差为10-5=5，故A选项正确，不符合题意； 众数是8，故B选项正确，不符合题意； 中位数是8，故C选项错误，符合题意； 方差=， D选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了极差、众数、中位数以及方差的定义，熟练掌握并运用平均数、众数、中位数以及极差的概念是解题的关键． 5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义． 【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项． 故选：D． 6. 如图所示的转盘被均匀的分为4部分，每个扇形部分都表示一个数字．转动转盘两次，分别记录停止后的数字（若停在线上则重新转），则两次转动的数字之和大于6的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是用树状图法求概率．，画树状图，共有16种等可能的结果，其中两次转动的数字之和大于6的结果有10种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两次转动的数字之和大于6的结果有10种， ∴两次转动的数字之和大于6的概率为 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（k≠0）上，则k的值为（ ） A. 4 B. ﹣2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据翻折图形可得：AC=AO=2，∠CAO=60°， 过点C作x轴于 点C的坐标为， 则k的值为. 故选D 8. 关于 的一元二次方程的两根，，满足，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数关系得到关于k的不等式，解不等式可以得到答案． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系可得，解得 由根与系数关系得： ∴-3-k<-1，解得：k>-2 综上，． 故选：C． 【点睛】本题考查一元 二次方程根与系数关系的应用，熟练应用根与系数关系是解题关键． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 以点为圆心，线段 的长为半径作弧 B. 有两边相等的两个直角三角形全等 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 五边形的内角和是720° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧的作法，全等三角形的判定，垂线的基本事实，多边形内角和公式，根据以上知识点进行逐一判断即可． 【详解】解：A.说明了弧的作法，结论正确，符合题意； B.若两边非对应相等（如一直角边与斜边和另一直角边），则无法保证全等（如边长为3、4、5与4、5、的三角形），故错误，不符合题意； C.根据垂线公理，平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，结论错误，不符合题意； D.五边形内角和公式为（），结果为，故错误，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，已知矩形 ，，，点 为矩形内一点，点 为 边上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而 ， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 13. 已知圆锥的底面半径是，母线是，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径是，母线是， ∴圆锥的侧面积为 故答案为：． 14. 如图，在矩形 中，，， 是 的中点，连接，过点 作 ，交 于点 ，则 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：在矩形 中，，，， ∵点E是边 的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解，得到关于m的不等式组是解答的关键．先求得已知不等式组的解集，进而得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】解：解不等式组，得， ∵已知不等式组有且仅有4个整数解， ∴， 故答案为：． 16. 如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故答案为：24． 17. 将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①，将骰子向右翻滚；然后在桌面上按逆时针方向旋转，则视作完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成9次变换后，骰子朝上一面的点数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化，根据题意得到连续3次变换是一个循环，然后根据9被3整除，即可确定骰子朝上一面的点数． 【详解】解：根据题意可知，第一次变换骰子朝上一面的点数是5； 第二次变换骰子朝上一面的点数是6； 第三次变换骰子朝上一面的点数是3； 第四次变换骰子朝上一面的点数是5； ⋯⋯， 发现可得连续3次变换是一循环． ． 所以得到第3次变换后的图形，即按上述规则连续完成9次变换后，骰子朝上一面的点数是3． 故答案为：3． 18. 给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题： ①直线是抛物线的切线； ②直线与抛物线相切于点 ③若直线与抛物线相切，则相切于点 ④若直线与抛物线相切，则实数 其中正确命题有___________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据切线的定义，判断公共点的个数和对称轴的位置关系两个方面判断． 【详解】∵直线与抛物线有一个公共点（0，0），与对称轴是垂直的，符合定义， ∴①的说法是正确的； ∵直线与抛物线有一个公共点（-2,1），但是与对称轴是平行的，不符合定义， ∴②的说法是错误的； ∵直线与抛物线相切， ∴有两个相等的实数根， ∴△=0即， ∴b= -1, ∴, 解得x=2，此时y=1，即交点坐标为（2，1）， ∴直线与抛物线相切，则相切于点（2，1）， ∴③是正确的； ∵直线与抛物线相切， ∴有两个相等的实数根， ∴△=0即， ∴， ∴④是错误的； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系－相切，准确理解定义并灵活计算判断是解题的关键． 三、解答题（共10小题，满分66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，零次幂进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简，零次幂，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，请从， ，0这三个整数中选一个适当的数作为 的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，正确的运用分式的混合运算法则化简成为解答本题的关键． 先将原式运用分式的混合运算法则化简，然后选取一个合适的数作为x的值代入求解即可． 【详解】解：原式 要使原分式有意义，则且 符合题意的 当时，原式． 21. 某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？ 【答案】原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是0.75吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来玉米的平均每亩产量是 吨， 由种植玉米地的面积这块地的总产量÷平均每公顷产量，根据现在少种20亩列方程求解即可． 【详解】解：设原来玉米的平均每亩产量是 吨， 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是吨． 22. 株洲市清水塘大桥于2023年8月28日正式通车，弧形设计的清水塘大桥在两岸公园的映衬下，被株洲市民称之为“湘江最美大桥”，它是株洲市内第八座跨江大桥，桥梁的跨度 为米，也称“八桥”，某天小红和小明在“八桥”左岸边点 处游玩，如图2此时他们发现桥梁左岸支座点在正西方向，桥梁的右岸支座点 在北侧西方向：然后他们继续沿着河岸 方向游玩到达 点，这时他们观测到桥梁的右岸支座点 在北偏西方向．求此过程中他们游玩路径 的长度？（结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查方向角以及解直角三角形的应用，理解题意是解答本题的关键．根据题意得是等腰直角三角形，得到米，在中，求出由列出等式，即可求出 的长度． 【详解】解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴在中，， 又， ∴， ∴， ∴米， 答：他们游玩的路径 的长度为米． 23. 近日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）登顶全球动画电影票房榜首，成功吸引了全球观众的目光，提升了中国文化的国际影响力．徐艺同学想了解自己所在省份《哪吒2》的票房情况，随机抽取了本省个县，调查了这个县的《哪吒2》票房，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所调查数据中，《哪吒2》票房的众数为_____百万元，中位数为_____百万元； （2）请计算这个县《哪吒2》票房的平均数； （3）若徐艺同学所在省份共有个县，请你估计这个县的《哪吒2》总票房． 【答案】（1）2，2 （2）这20个县《哪吒2》票房的平均数为2.5百万元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查求众数、平均数，中位数及利用平均数判断： （1）根据出现次数最多的是众数，最中间两数的平均数是中位数直接求解即可得到答案； （2）利用加权平均数公式直接求解即可得到答案； （3）利用平均数乘以县份个数求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， 出现了 次最多，故众数为2， ∵，， ∴中位数落在2上， 故答案为：2，2； 【小问2详解】 解：（百万元）， 这个县《哪吒2》票房的平均数为百万元； 【小问3详解】 解：（百万元）（亿元）， 估计这个县的《哪吒2》总票房为2亿元． 24. 如图，在等边 中，点D是 的中点， 是 边上的中线，连接 ，以 为边作等边 ，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：是等边三角形，点 是 的中点， 是 边的中线， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形； （2）分别求出，根据矩形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， 是 边的中线， ， 在中，由勾股定理得：， 又 四边形是矩形， ． 25. 某商场销售一批进价为10元/件的日用品，经调查发现，每月销售件数y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系如图所示，每月销售该商品获得的利润为W（元）． （1）分别求出y与x，W与x的函数解析式； （2）当商场每月销售该商品的利润为4000元时，求该商品的定价； （3）为了获得最大的利润，该商品的销售价应定为多少？最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）20元/件或30元/件 （3）商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数，以及一元二次方程的应用． （1）设出一次函数解析式，将分别代入解析式，求出k、b的值即可确定y与x之间的解析式；求出每件利润，乘以总数量即可得到利润的函数关系式； （2）令可得一元二次方程，求解即可； （3）将问题转化为二次函数最大值的问题解答． 【小问1详解】 解：由题意可设， 则 解得， 所以． 所以，， 即． 【小问2详解】 解：由题意可得，． 解得． 答：该商品的定价是20元/件或30元/件． 【小问3详解】 解：因为，由二次函数图象性质可知，W有最大值． 当时， （元）． 答：商品的销售价定为25元/件时利润最大，最大利润是4500元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点、 分别在函数（）、（， 为常数）的图象上，轴，垂足为 ，，． （1）求 的值； （2）当点在函数（）的图象上，且，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果 轴上有一点 ，使得是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点 的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由 结合反比例函数k的几何意义可得，进一步即可求出结果； （2）由题意可得的纵坐标为，再利用待定系数法解答即可； （3）先求出的长，然后分三种情况：①若，可直接写出点N的坐标；②若，根据等腰三角形的性质解答；③若，根据两点间的距离解答． 【小问1详解】 解：∵，． ∴， ， ， ∴，解得， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴的纵坐标为 ∵在（）的图象上， ∴，解得： ∴ 【小问3详解】 ∵， ∴ 是等腰三角形， ①当时，或 ②当时，则为对称轴，则， ③当时，设， ∴ 解得： ∴ 综上所述，或或或． 27. 如图，在四边形 中，过点，且与 相交于点 ． （1）如图①，求证： 是的切线． （2）如图②，连接，若． （I）求的长． （II）直接写出 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接，并延长交于，交 于 ， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 是的切线； （2）（I）3；（II） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，并延长交于，交 于 ，证明，根据垂径定理证明，再结合平行线的性质与切线的判定可得结论； （2）（I）如图，连接，并延长交于，连接，证明，可得，可得，再进一步可得； （II）过作于 ，过 作于 ，证明四边形为矩形，求解，，可得，结合，可得，求解，进一步解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（I）如图，连接，并延长交于，连接， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， 解得：，（负根舍去）， ∴； （II）过作于 ，过 作于 ， 由（1）得：，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，矩形的判定与性质，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 28. 如图，已知抛物线交 轴于、 两点，交 轴于点 ，连接 、 ，且． （1）如图1，求 的值； （2）如图2，点 为线段 延长线上一点，连接，设点 的横坐标为， 的面积为，求与的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围) （3）如图3，在(2)的条件下，点 为线段 上一点，连接 ，过点作 的平行线，交抛物线于点 ，交 轴于点 ，，．点为 轴正半轴上一点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数解直角三角形．本题难度较大，综合运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，进而可得，再运用待定系数法即可求得 的值； （2）先求得，再运用待定系数法可得直线的解析式为，则，过点 作轴于点，运用，即可求得答案； （3）在线段上取一点 ，使，过点 作的垂线，垂足为 ，过点 作轴于点 ，设，则，利用平行线性质可得，推出，设，则，，得出，再证得，利用解直角三角形得出，再利用待定系数法可得直线的解析式为，与抛物线解析式联立求解可得点 的坐标，设，再运用勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 解：当时，， ， ， ， ， ， 把代入抛物线， 得：， 解得：． 【小问2详解】 由，解得：或， ， 设直线的解析式为，则 解得： 直线的解析式为， 点 为线段延长线上一点， ， 过点 作轴于点，如图， ， ． 【小问3详解】 在线段上取一点 ，使，过点 作的垂线，垂足为 ，过点 作轴于点 ，如图2， ， 设，则， ， ∴， ， ， 在中，， 又， ， 设，则， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则 解得： 直线的解析式为 点 是直线与抛物线的交点， 解得：舍去， ， ， 设，则 ， ，， ，即 ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $