精品解析：河北承德市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

2025--2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则角B的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C. 关于点对称 D. 在区间上的最大值为 6. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 7. 已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列各式的值等于的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知非零向量与共线，下列表述正确的有（ ） A. 存在唯一确定的实数，使得 B. C. 向量在上的投影向量为 D. 11. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，向量在方向上的投影向量为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 设、，点满足，则点到原点的距离为________． 13. 已知函数，，且在区间上的最小值是，则_______，的一个可能的取值为_______． 14. 已知，若，，则_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）求角的大小． 16. 已知函数，． （1）求在的单调递减区间； （2）当时，求的最大值和最小值； （3）若，，求的值． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，．满足． （1）求角的大小： （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 18. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，同时测得． （1）分别求出A，M两点间的距离及A，N两点间的距离； （2）求山顶M，N之间的距离． 19. 已知中，角、、的对边分别为、、.且. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第二学期期中考试高一数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，故，故， 所以，故. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以，所以． 3. 在中，，，，则角B的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求解，再结合三角形边角关系求解. 【详解】由正弦定理：，代入，，可得： ， 则或， 由，得， 故. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，， 所以的值域为． 5. 已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 将函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称 C. 关于点对称 D. 在区间上的最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简函数解析式，结合周期公式求出的值，再逐一验证各选项的正误． 【详解】对于A，，由的最小正周期为得， 则，故A错误； 对于B，由，将函数图象向左平移个单位长度， 得到，为偶函数，关于y轴对称，故B正确； 对于C，， 则不关于点对称，故C错误； 对于D，当时，，则，即， 故的最大值为，故D错误． 6. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据最小正周期公式及条件，可得的表达式，根据x的范围，可得，根据存在零点，可得的范围，即可得答案. 【详解】函数，设函数的最小正周期为T， 由可得，（）， 所以，即， 又函数在上存在零点， 且当时，，所以≥，解得， 综上，的最小值为4. 7. 已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线基本定理，结合图形求得，再由平面向量数量积的定义与运算律计算即得. 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 8. 已知摩天轮的半径为60m，其中心距离地面70m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．则在时刻t（min）时，点P离地面的高度h为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数的图象性质求出解析式. 【详解】点的初始位置在最低点，设点从最低点沿逆时针方向匀速转动， 在内所转过的角度为，则以为始边，为终边的角为， 因此点的纵坐标， 所以点离地面的高度. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列各式的值等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】逆用正弦、余弦、正切二倍角公式，结合两角差的正弦公式逐一判断即可. 【详解】对于，故A符合题意； 对于，故B符合题意； 对于C：，故C不合题意； 对于D：，故D不合题意. 故选：AB 10. 已知非零向量与共线，下列表述正确的有（ ） A. 存在唯一确定的实数，使得 B. C. 向量在上的投影向量为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由向量共线的定义可得；对于B，分与同向及反向即可判断；对于C，根据投影向量的概念判断；对于D，设，根据数量积的运算律即可求解． 【详解】已知非零向量与共线，则存在唯一确定的实数，使得，故A正确； 当与同向时，，当与反向时，，故B错误； 向量在上的投影向量为，故C错误； 对于D，设，则，， 即，故D正确． 11. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，向量在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直的坐标判定，向量夹角与数量积的关系，投影向量的计算，结合向量相关公式逐个分析选项即可. 【详解】对于A，若，则有，化简得，解得，故A正确； 对于B，若，则有，因此，故B正确； 对于C，若与夹角为钝角，则有，解得； 由于与共线反向时，需排除，因此的取值范围是且，并非，故C错误； 对于D，当时，，在方向上的投影数值为，方向的单位向量为， 因此投影向量为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 设、，点满足，则点到原点的距离为________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题可得，再求出，进而得到模长即可． 【详解】，， ． ，即点到原点的距离为5． 13. 已知函数，，且在区间上的最小值是，则_______，的一个可能的取值为_______． 【答案】 ①. ## ②. 4（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据给定的函数，结合特殊角的三角函数值求出，再利用正弦函数性质求出范围即可. 【详解】函数，由，得，而，因此； 函数，由，得， 显然， 由在上的最小值是，得， 即，解得，所以的一个可能的取值为4. 14. 已知，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】，， ，， ，， ， 又，．  四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且， （1）求的值； （2）求的值； （3）求角的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正切和角公式求解即可； （2）利用二倍角公式正余弦化简即可求解； （3）根据角的范围及正切和角公式求解即可． 【小问1详解】 由，， 所以． 【小问2详解】 由，所以． 【小问3详解】 由，，则， 又，则， 又，则， 又，，则， 所以． 16. 已知函数，． （1）求在的单调递减区间； （2）当时，求的最大值和最小值； （3）若，，求的值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据三角函数的性质即可求解最值； （3）由已知得出，结合及同角三角函数的平方关系得出，由两角和的正弦公式即可求解． 【小问1详解】 ， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． 【小问2详解】 因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，．满足． （1）求角的大小： （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可； （2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解． 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，， 可得， 因为，故，则， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由， 得， 解得，则， 则，， 由， 所以 所以. 18. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，同时测得． （1）分别求出A，M两点间的距离及A，N两点间的距离； （2）求山顶M，N之间的距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】 （1）求出各角度后，利用余弦定理与正弦定理计算即可得、； （2）借助余弦定理计算即可得. 【小问1详解】 在中，，， 故，则， 即， 在中， ， 由正弦定理可得，， 所以； 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得，， 代入数据有， 即．所以，之间的距离为． 19. 已知中，角、、的对边分别为、、.且. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式化简求出； （2）①利用面积公式、正弦定理、余弦定理求出边长即可； ②利用正弦定理求出，再利用两角差的正弦公式求得. 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 因为， 所以， 则， 因为，所以，得， 因为，所以； 【小问2详解】 ①因为的面积为，所以，得， 由及正弦定理可得，则， 由余弦定理得，得， 则的周长为； ②由正弦定理得，， 则， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $