精品解析：2026年广东省深圳市南山区教育科学研究院附属学校教育集团南头城学校 中考数学第三次学情自测试卷

2025-2026学年度第二学期九年级第三次模拟考试 数学试卷 （总分：100分 考试时长：90分钟） 一．选择题（每小题3分，共8小题，共24分） 1. 下列图形中，为轴对称的图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列互为倒数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 7. 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为，休闲平台DE的长是（）米 A. 20 B. 15 C. D. 二．填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 9. 若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 10. 如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为__________． 11. 如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为________． 12. 如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为________________． 13. 如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告 数据收集 八年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 九年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，90，80，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 80 80 九年级 82 90 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数______； 任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 17. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： （1）求出篮球和足球的单价． （2）求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． （3）制定花费最少的购买方案． 18. 如图，，，，是上的四点，是直径，，延长到点，使得． （1）线段和的数量关系为________． （2）求证：为的切线． （3）若，，求的半径． 19. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 20. 【定义】：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“半隅三角形”． 【初步感知】 （1）如图1，在矩形中，、分别是、的中点，若是直角三角形，，即是矩形的半隅三角形．若，求的长． （小轩同学由题目中所给三个“垂直”的条件，发现，从而轻松解决了这个问题；小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中点”这个条件联想到“倍长中线”解决了这个问题，请你参考这两个同学的方法解决这个问题．） 【深入探究】 （2）如图2，是的半隅三角形，，对角线交于点．若，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，以为半隅三角形的平行四边形的一组邻边记为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级第三次模拟考试 数学试卷 （总分：100分 考试时长：90分钟） 一．选择题（每小题3分，共8小题，共24分） 1. 下列图形中，为轴对称的图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形． 2. 下列互为倒数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可． 【详解】解：A．因为，所以3和是互为倒数，因此选项符合题意； B．因为，所以与2不是互为倒数，因此选项不符合题意； C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意； D．因为，所以和不是互为倒数，因此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”． 3. 深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，故A不符合题意； ∵，故B不符合题意； ∵，故C不符合题意； ∵，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、完全平方公式和幂的乘方的运算法则，熟练掌握相关法则是解题的关键． 5. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，中，，，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可得垂直平分，平分，由此即可判断AB选项正确；求出，，由此即可判断C选项正确，D选项错误． 【详解】解：由作图可得：垂直平分，平分， ∴，，故AB选项正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴不平分，故D选项错误，符合题意． 7. 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 8. 如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为，休闲平台DE的长是（）米 A. 20 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：作DP⊥AC，垂足为点P，延长DE交BC于点F， ∵FD∥CA， ∴∠BDF=∠BAC=45°， ∵斜坡AB长60米，D是AB的中点， ∴BD=30米， ∴DF=BD•cos∠BDF=30×=30（米），BF=DF=30米， ∵斜坡BE的坡比为3：1， ∴， 解得：EF=10（米）， ∴DE=DF-EF=30-10=20（米）． 故选A. 二．填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 9. 若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，将代入方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， 即， 解得：． 故答案为：1． 10. 如图，将无人机沿着轴向右平移3个单位，若无人机上一点的坐标为，则平移后点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 根据点的平移规律即可求解． 【详解】解：由题意得：将点沿着轴向右平移3个单位， ∴平移后点的坐标为，即， 故答案为：． 11. 如图，在矩形中，，O为中点，，则扇形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得，，得到，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵O为中点， ∴， ∵， 在中，， ∴， 同理， ∴， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 12. 如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得． 【详解】解：连接，作轴于点， 由题意知，是中点，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13. 如图，在四边形中，与相交于点O，，，，则的值为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定．设，通过作辅助线，得到，，，进而得出对应边成比例，再根据，，得出对应边之间关系，先后用表示，，，的长，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M，延长交于点N， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据零次幂及特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关键． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先根据分式通分计算括号里的，同时运用把除法转化为乘法并因式分解，进而约分即可，最后把字母的值代入计算即可得到答案． 【详解】解： ． 当时，原式． 16. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）： 主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告 数据收集 八年级学生成绩 80，80，100，90，80， 70，70，80，70，90， 70，80，100，90，60， 80，90，80，90，90 九年级学生成绩 90，90，100，80，80， 60，70，80，60，100， 60，70，90，80，90， 90，90，70，100，90 数据整理与分析 八、九年级学生成绩分析表 统计量 年级 平均数 中位数 众数 八年级 82 80 80 九年级 82 90 任务1 ①补全条形统计图； ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数______； 任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数； 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：①图见解析；②；③ 85 ；任务人；任务 3 ：我认为九年级成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人即可补全条形统计图； ②“80 分”所在扇形的圆心角的度数为乘以占比即可； ③根据中位数定义进行求解即可； 任务二：用样本估计总体即可； 任务三：比较中位线，众数，平均数进行分析即可． 【详解】解：任务一：①由数据收集得到八年级 80 分的有 7 人， 故补全条形统计图，如图所示： ②“80 分”所在扇形的圆心角的度数为： ； ③将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为 80，90， 则中位数为； 任务二：九年级学生成绩不低于 80 分的人数为：人； 任务三：我认为九年级成绩更好． 理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数和众数高于八年级，所以九年级的成绩更好． 17. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： （1）求出篮球和足球的单价． （2）求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． （3）制定花费最少的购买方案． 【答案】（1）篮球和足球的单价分别为元和元 （2） （3）花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个 【解析】 【分析】（1）设一个篮球价格元，一个足球价格元，根据素材一列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据素材一的结论、素材二，利用总价单价数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求和即可列出与的函数关系式； （3）根据素材三可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设一个篮球价格为元，一个足球价格为元， 依题意得， 解得， 答：篮球和足球的单价分别为元和元． 【小问2详解】 解：购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍，购买篮球个， 气排球个数是个，足球个数是个， 依题意得： ． 【小问3详解】 解：由素材三得， 解得， ，， 随的增大而减小， 当时，最小，此时，， 花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个． 18. 如图，，，，是上的四点，是直径，，延长到点，使得． （1）线段和的数量关系为________． （2）求证：为的切线． （3）若，，求的半径． 【答案】（1）； （2）证明：连接并延长交于点，如图， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （3）的半径为． 【解析】 【分析】（）连接并延长交于点，证明垂直平分，所以，，然后证明四边形为矩形，所以，则，从而求解； （）连接并延长交于点，证明垂直平分，所以，，然后证明四边形为矩形，所以，然后通过切线的判定方法即可求证； （）连接并延长交于点，由上得垂直平分，四边形为矩形，所以，，由勾股定理可得，设的半径为，则，，在中，，再求出的值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接并延长交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：连接并延长交于点，如图， 由上得：垂直平分，四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为． 19. 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】（1）11.25， （2） （3）她当天的比赛不能成功完成此动作 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴米 对于， 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴ ∵ ∴； 【小问3详解】 解： ∴点坐标为 ∴ ∴ 当时， ∵ 即她在水面上无法完成此动作 ∴她当天的比赛不能成功完成此动作 20. 【定义】：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“半隅三角形”． 【初步感知】 （1）如图1，在矩形中，、分别是、的中点，若是直角三角形，，即是矩形的半隅三角形．若，求的长． （小轩同学由题目中所给三个“垂直”的条件，发现，从而轻松解决了这个问题；小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中点”这个条件联想到“倍长中线”解决了这个问题，请你参考这两个同学的方法解决这个问题．） 【深入探究】 （2）如图2，是的半隅三角形，，对角线交于点．若，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，以为半隅三角形的平行四边形的一组邻边记为，求的值． 【答案】（1）的长为 （2） （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）设，利用矩形的性质，直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）延长，，分别交的延长线于点M，的延长线于点N，利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质得到，，则，，同理：，；利用平行线分线段成比例定理得到，，利用勾股定理解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①如图3，过点C作于点G，过点B作，交的延长线于点H，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得到，设，，则，，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用线段的中点的意义得到，则，利用线段的中点的意义和勾股定理得到用y的代数式表示的a，b值，代入化简运算即可得出结论；②如图4，过点C作于点G，过点B作，交的延长线于点H，类比①的解法解答即可． 【小问1详解】 解：设， 四边形为矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， 是矩形的半隅三角形，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的长为； 【小问2详解】 解：延长，，分别交的延长线于点，的延长线于点，如图， 四边形为平行四边形， ，，，， ， 是的半隅三角形，， ，， 在和中， ， ，， ， ， 同理：，． ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：①如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， 是的半隅三角形，， ，， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ． ②如图4，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， 是的半隅三角形，， ，， ， ， ， ， ， 设，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ． 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $