精品解析：湖北省荆州中学2026届高三下学期模拟考试五数学试卷

2026年湖北省荆州中学模拟考试五 数 学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整，笔迹清楚. 4. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则A的真子集个数为（ ） A. 3 B. 8 C. 7 D. 6 2. 已知向量.若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 6. 已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. 15 D. 20 7. 已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ） A. B. 8 C. 12 D. 16 8. 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为8 B. 若，，，则 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 D. 在一组样本数据，，，，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 10. 等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的有（ ） A. 时，为等差数列 B. 时，中任意两项的差均不为0 C. 不存在，使得为常数列 D. 不存在，使得为等比数列 11. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面ABCD，则 B. 四棱锥的体积最大值为 C. 点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,若，则__________． 13. 已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且. （1）若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围； （2）设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 17. 已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，. （1）求证：； （2）已知，平面，且平面. ①求证：； ②求与平面所成角的正弦值. 18. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 19. 已知点是抛物线 上一点，且点N到点的距离是其到抛物线准线距离的倍. （1）求抛物线的方程； （2）若点在第二象限，过点 作斜率分别为 的直线 ，分别与抛物线交于点和，线段的中点分别为，若点到直线 的距离为. (i)求的最大值； (ii)若是坐标原点，当取最大值时，求四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖北省荆州中学模拟考试五 数 学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑;非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答;字体工整，笔迹清楚. 4. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则A的真子集个数为（ ） A. 3 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据真子集的定义求解即可. 【详解】因为集合，所以的真子集有共7个. 2. 已知向量.若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由向量,可得， 再由，则 所以，解得. 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，，则，又n⊥，所以； 反之，若，，则，又，所以， 则“”是“”的充要条件. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角关系，两角差正弦公式化简可得，由此可求，由配方，结合平方关系可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 5. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 6. 已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得的面积，依题意求出的值，利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】因，则， 则，于是， ，和的面积分别为1，，， ，，， ， 当且仅当时，即，等号成立， 的最小值是. 7. 已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ） A. B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 显然两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大，最大值为， 故选：B. 8. 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令可将方程变为，通过分析可确定，将问题转化为在上有解的问题，通过分离变量的方法，结合导数求得函数值域，进而得到所求范围. 【详解】与图象关于直线对称，， ，； 设，则由得：， 均在函数图象上； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； ，即在上有解，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，，，解得：， 即实数的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为8 B. 若，，，则 C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 D. 在一组样本数据，，，，（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 【答案】ABC 【解析】 【详解】原数据方差，设， 则，故A正确； ， 故 B 正确； 模型 取对数得 ， 令 ，则回归方程为 ， 已知 ，故 ，，即 ，，故C正确； 所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ， 直线斜率为负，故相关系数为 ，故D错误. 10. 等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足，则下列说法正确的有（ ） A. 时，为等差数列 B. 时，中任意两项的差均不为0 C. 不存在，使得为常数列 D. 不存在，使得为等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据或求出数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，即可判断AB；举出反例，如时，为常数列，即可判断C；通过考虑和两种情况，构造新数列，通过的值即可判断D. 【详解】已知等比数列满足，公比为，其前项和为，数列满足， 对于A，当时，，，代入的表达式得， ，因此是等差数列，故A正确； 对于B，当时，，， 代入的表达式得， 由于是单调递减的， 因此数列不存在相同的项，即中任意两项的差均不为，故B正确； 对于C，当时，，， 代入的表达式得， 因此存在，使得为常数列，故错误； 对于D，由，且， 当时，，，代入的表达式得，，显然不是等比数列； 当时，，则，得， 当时，由C选项可知，此时，则数列为零数列，不是等比数列，不符合条件， 当时，要使为等比数列，则对任意恒成立，其中是一个常数， 而，解得，当且仅当时恒成立，不符合条件， 因此不存在，使得为等比数列，故D正确. 11. 如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 若平面平面ABCD，则 B. 四棱锥的体积最大值为 C. 点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为 D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A：因为平面平面，平面平面， 因为是中点，，所以， 所以，所以，平面， 所以平面，平面，所以，故A正确； 对于B：由已知梯形的面积为， ，直角斜边上的高为， 当平面平面时，四棱锥的体积取最大值，故B错误； 对于C：如图1，取的中点，则，平行且相等，四边形是平行四边形， 所以点的轨迹与点的轨迹形状完全相同，过点作的垂线，垂足为，， 点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，从而的中点的轨迹长度为，故C错误； 对于D：如图2，的外接圆的半径为，是的中点，外接圆的半径为2， 是圆与圆的公共弦，，设三棱锥外接球心为O，半径为， 则， 因为，所以，所以的最小值为2， 所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知,若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法求得参数，再由二项式定理结合条件求. 【详解】令，得， ∴，, ∴， 故答案为：－5. 【点睛】方法点睛：在二项式定理中求展开式中的系数和通常用赋值法，例如，，，，等等，可根据表达式的形式确定所赋值. 13. 已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合和二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 可得是一个图象开口向上的关于k的二次函数， 所以函数在其图象的对称轴处取得最小值，即，所以． 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设的平分线与的平分线所在直线交于点，的平分线与轴交于点，得到，根据题意，求得，结合，联立方程组求得，求得，得到，结合双曲线的定义和离心率的定义，即可求解. 【详解】设的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， 的平分线所在直线与轴交于点，， 则， 因为， 且， 所以， 又因为且，所以， 联立方程组，解得， 所以， 因为，所以，所以， 在直角中，因为，所以， 又因为，所以， 所以双曲线的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数.已知的图象的两条相邻对称轴间的距离为，且. （1）若在区间上有最大值无最小值，求实数m的取值范围； （2）设l为曲线在处的切线，证明：l与曲线有唯一的公共点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据周期以及可求解，进而根据整体法即可求解， （2）求导，根据点斜式求解切线方程，进而构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得周期，故， ， 由于，故， 故， 当时，， 由于在区间上有最大值无最小值，故，解得， 故. 【小问2详解】 ，， ， 故直线方程为， 令，则， 故在定义域内单调递增，又， 因此有唯一的零点， 故l与曲线有唯一的交点，得证. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可. （2）结合题意确定，再得到，构造函数并求导得到单调性，结合求解参数范围即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 由，可得， 若，则在上恒成立， 则的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）可知，若存在最小值，则， 且的最小值为， 则，可得，即. 令，则. 因为恒成立， 所以恒成立，则在上单调递增. 又，令，解得，即， 故的取值范围为. 17. 已知三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，为的重心，. （1）求证：； （2）已知，平面，且平面. ①求证：； ②求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）连交于，由重心可得为的中点，由已知借助三角形全等证得，再由线面垂直的判定、性质推理即得. （2）①由给定条件，证得三棱锥为正四面体，进而证得平面，再得用线面垂直的性质得结论；②以的重心为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出，再由向量共线求出点，进而利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 在三棱柱中，连交于，连，由为的重心，得为的中点， 由，，，得，则， 因此，，又平面， 于是平面，而平面，则，又， 所以. 【小问2详解】 ①由，，得为正三角形；同理，也为正三角形， 则，从而三棱锥的所有棱长均为2，该四面体为正四面体， 由为的重心，得平面，又平面，显然不在直线上， 所以. ②设的重心为，则，在平面内，过作，连，有平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， 则，，，， ，则， 由，得， 由平面，则设，而，则存在实数，使， 即，解得，，， 即，，令， ，令，设与平面所成的角为， 因此， 所以与平面所成角的正弦值. 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 18. 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． （1）若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． （2）在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）（i）根据数学期望性质计算求解；（ii）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性，再应用累加法计算证明不等式. 【小问1详解】 甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同， 则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为． 【小问2详解】 （i）设表示在甲已获得第种类型的卡片后，获得第种类型卡片需要购买的玩具数，则． 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为， 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为， 依此类推，在甲已获得第种类型的卡片后，每次试验中获得第种类型卡片的概率为，则均服从几何分布， 所以． （ii）证明：． 设，则． 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，得，当且仅当时，等号成立． 令，得，则．① 设，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得， 当且仅当时，等号成立． 令，得，则．② 由①②得， 所以， 即 19. 已知点是抛物线 上一点，且点N到点的距离是其到抛物线准线距离的倍. （1）求抛物线的方程； （2）若点在第二象限，过点 作斜率分别为 的直线 ，分别与抛物线交于点和，线段的中点分别为，若点到直线 的距离为. (i)求的最大值； (ii)若是坐标原点，当取最大值时，求四边形的面积. 【答案】（1） （2）(i)；(ii) 【解析】 【分析】（1）根据题设条件可得关于的方程组，求出其解后可得抛物线方程； （2）(i)联立直线方程和抛物线方程后可得，结合题设条件可得直线过定点，从而可求的最大值； (ii)根据取最大值时确定、的坐标，从而可求四边形面积. 【小问1详解】 抛物线的准线为， 点在抛物线上，代入得， 根据抛物线定义，点到准线的距离为， 由题意，平方得：， 代入，化简得，解得， 因此抛物线方程为； 【小问2详解】 已知在第二象限，得， 设直线，联立得， 由中点坐标公式得中点，同理得， 故，所以直线：， 而，故， 故直线：即， 故恒过定点； (i)是到过定点的直线的距离， 则，当且仅当时取等号， 故， 当时，，故，而， 故，故存在相应的线段，使得即. (ii) 当最大时，，故此时， 而， 故，， 直线即，同理， 故点到直线的距离为， 同理到直线的距离为， 故四边形的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $