第八章 平面向量、解三角形的应用举例 能力提升训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量与解三角形的实际应用及动态问题，通过多样化题型培养几何直观、运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形应用|3题（如第1、7、11题）|实际测量、周长范围、角平分线计算|从实际问题抽象为三角形模型，运用正弦定理、余弦定理解决长度与角度问题| |平面向量综合|3题（如第2、5、6题）|中点分比、奔驰定理、最值问题|向量线性运算与数量积结合三角形性质，体现向量工具性| |动态几何与范围|6题（如第3、4、8-10、12题）|动点轨迹、勒洛三角形、正八边形动态问题|结合几何直观分析动态变化，通过函数思想或不等式求范围|

第八章 平面向量、解三角形的应用举例·能力提升 1. 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 2. 在中，已知，，，点是的中点，点是线段上一点，且，连接并延长交边于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 3. 如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 4. 勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知的边长为1，P为弧上任意一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 5. 已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 7. （多选）如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则（    ） A．此山的高 B．小车从A到的行驶过程中观测点的最小仰角为 C． D．小车从A到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值为 8. （多选）如图，正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的取值范围 D．的最大值为 9. 在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 10. 如图在直角梯形中，已知，，，．以为圆心，为半径作圆弧，点在图中扇形区域内（包含边界）运动．若，其中，，则的取值范围是_________． 11. 在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 12. 已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，O为的外心，、、的面积分别记、、满足 (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的最大值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面向量、解三角形的应用举例·能力提升 1. 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】高度测量问题 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 2. 在中，已知，，，点是的中点，点是线段上一点，且，连接并延长交边于点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、用基底表示向量、已知数量积求模 【分析】首先根据平面向量基本定理的推论求得与的关系，即可利用基底表示，再两边平方，利用平面向量数量积公式，即可求解. 【详解】因为点是的中点， 所以， 因为在上，故可设，， 所以, 因为点三点共线，所以，得， 即，故， 所以， 两边平方， ， 所以. 故选：B 3. 如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】向量与几何最值、三角形面积公式及其应用 【分析】根据三角形面积公式化简得到，再利用向量的运算表示出，再利用基本不等式求解即可. 【详解】已知，，所以，化简得. 由是中点，，所以， 化简得，进而. 因为，所以. 由基本不等式，且，所以，当且仅当， 即，最小值为. 4. 勒洛三角形是一种特殊的曲边三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知的边长为1，P为弧上任意一点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】向量与几何最值、数量积的坐标表示 【详解】以为原点建立如图所示坐标系 则，设则，， 所以， 因为P为弧上任意一点，为边长为1的等边三角形，所以， 所以，即的范围为. 5. 已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】设点，以边中点为原点，建立直角坐标系，利用等边三角形的性质得出相应点的坐标，进而得出的坐标，再运用向量坐标运算计算，求最小值． 【详解】设点，以边中点为原点，建立如图所示直角坐标系， 是边长为的等边三角形，，， ， ， ， 当时，即点为中点时，取最小值，最小值为． 故选：A 6. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】向量在几何中的其他应用、三角形的心的向量表示 【分析】延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 7. （多选）如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则（    ） A．此山的高 B．小车从A到的行驶过程中观测点的最小仰角为 C． D．小车从A到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题、高度测量问题、距离测量问题 【分析】分别求出、的值判断AC；由等面积法可得到的距离，再求最大仰角的正切，可判断D;由判断B. 【详解】由题意可得，， 设，，， 则,． 因为， 所以由余弦定理可知，， 解得，从而． 因为， 所以由等面积法可得到的距离， 则最大仰角的正切值为． 又，所以最小仰角为． 故选：BCD. 8. （多选）如图，正八边形的边长为是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的取值范围 D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】对于AB，根据向量的线性运算即可判断；对于C，根据向量数量积的定义，易知当点在线段上时，取得最大值，当点在线段上时，取得最小值，求出最值即可判断；对于D，设中点为，由极化恒等式得，则当在点或点时，取得最大，据此计算出最值即可． 【详解】解：对于A，根据题意，，则，故A正确； 对于B，连接交于， 由题知，则， 由对称性可知，若为中点，则， ，则， ，故B正确； 对于C，过点作直线的垂线，垂足为， 易知正八边形内角， 因此， 易知当点在线段上时，，， 取得最大值， 当点在线段上时，取得最小值，故C错误； 对于D，设中点为， ， 记，则，所以， 所以， 由图可知，当在点或点时，取得最大， 此时， 所以的最大值为，故D正确． 9. 在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 【答案】2 【难度】0.62 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、用基底表示向量 【分析】先通过向量加法法则用、和参数表示与，再根据向量数量积分配律展开并结合已知条件得到关于的二次函数，最后利用二次函数性质求出最小值. 【详解】为上一点，设，， ，， ， 根据二次函数性质，当时，. 10. 如图在直角梯形中，已知，，，．以为圆心，为半径作圆弧，点在图中扇形区域内（包含边界）运动．若，其中，，则的取值范围是_________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】向量与几何最值、平面向量基本定理的应用、根据线性规划求最值或范围 【分析】根据题意构造等和线，结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】如图2易得， 其中为的靠近的四等分点，． 作直线，过点作的平行线，交直线于点， 因为，又，故，，三点共线， 则， 显然，当点位于点时，为最小值， 当点位于点（圆弧与平行于的切线的切点）时，为最大值． 11. 在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用向量解决线段的长度问题 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值； （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 所以， 又因为，所以， 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以， 则， 又，则，即， 所以，，即， 所以，即周长的取值范围是， （2）因为，由角平分线定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 ． 12. 已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，O为的外心，、、的面积分别记、、满足 (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【难度】0.42 【知识点】向量在几何中的其他应用、向量与几何最值 【分析】(1)根据题意得三个等式，再代入原等式结合角度化简即可证明结论. (2)延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果. (3)由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得； 【详解】（1）因为O为的外心，所以外接圆半径，圆心角为圆周角的两倍，所以： ， 由于 所以， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，则 所以， ， 所以由化简得： 所以. （2）延长至，使得，则，以为邻边作矩形， 则，且， 延长至，使得，则，如图： 所以， 所以当三点共线时， 取最小值，最小值为， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得， 所以， 当时， ， 当时， ， 所以，即的取值范围是. （3）因为， 因为点为的外心，所以，即，， 因为，所以， 所以， 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 得，得或. 因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内， 由可知， 再由可知， 所以应舍去，所以， 所以的最大值为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $