作业考试化03（范围：复数、向量、解三角形）专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数、向量、解三角形三大模块，通过基础题型与综合应用结合，培养数学抽象、运算能力和几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|6题|几何意义（距离/向量）、方程根、运算|从复数概念（几何表示）到运算，再到方程应用| |向量|2题|数量积（夹角）、线性运算（中线分解）|从向量基本运算到几何应用（夹角、中线）| |解三角形|5题|正弦/余弦定理应用（形状/面积/边长）、综合几何条件|从边角关系定理到面积计算，再到几何综合应用|

永年二中高一数学必修二作业考试化03 考试范围：复数+向量+解三角形 班级 姓名 1. 复数对应的两点之间的距离为（ ） A． B． C． D． 2．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形 3.在△ABC中,若c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(　　) A. B. C.3 D.3 4．已知点，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5、在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（ ） A． B． C． D． 6．在中，若为边上的中线，点在上，且，则 （ ） A． B． C． D． 7.(多选题)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=2,cos C=,面积S=14,则(　　) A.a=7 B.b=5 C.B=45° D.△ABC的外接圆半径为2 8. 在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为 . 9. 已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则实数 ． 10. 已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为 ． 11. 在复数范围内，方程的解为 ． 12. 计算：（1）； （2）； （3）. 13.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=,求PA; (2)若∠APB=150°,求tan∠PBA. 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化03 考试范围：复数+向量+解三角形 班级 姓名 一、单选题 1. 复数对应的两点之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】即为复平面上点到的距离，求的模即可. 【详解】。 2．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理可得，因为，所以，整理可得. 3.在△ABC中,若c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(　　) A. B. C.3 D.3 【答案】B 【详解】∵C=180°-30°-120°=30°,∴a=c=2,∴面积S=acsin B=×2×2×sin 120°=. 4．已知点，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意写出、,带入即可算出答案. 【详解】由题意知：，.所以：. 5、在中，，，分别为内角，，的对边，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得，则，，又，则. 6．在中，若为边上的中线，点在上，且，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，在中，因为为边上的中线，所以为的中点，所以由平行四边形法则有：，又点在上，且所以，所以 。 7.(多选题)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=2,cos C=,面积S=14,则(　　) A.a=7 B.b=5 C.B=45° D.△ABC的外接圆半径为2 【答案】ABC 【详解】在△ABC中,由cos C=,得sin C=,因为S=absin C=14,所以ab=35.由解得a=7,b=5.故AB正确;由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=72+52-2×7×5×=32,得c=4.由余弦定理的推论,得cos B=,且0°<B<180°,得B=45°,故C正确;由正弦定理=5=2R(R为△ABC外接圆半径),得R=,故D不正确. 8. 在复平面内，复数对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为 . 【答案】 【分析】根据复数写出它在复平面对应点的坐标，从而知道向量的坐标表示，利用平面向量减法的几何意义求出平面的坐标表示，最后求出对应的复数. 【详解】由题意得，所以，故对应的复数为. 9. 已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数 ． 【答案】 【详解】∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0 即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.∴，解得。 10. 已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为 ． 【答案】3＋5i 【分析】法一：设的坐标为，则对应的复数为，根据平行四边形的性质，对角线互相平分，即可求解的值，即可得到点对应的复数． 法二：设的坐标为，由于，可得，求出的值，即可得到点对应的复数； 【详解】方法一　设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)，则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)． ∴AC中点为，BD中点为.∵平行四边形对角线互相平分， ∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i. 方法二　设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)．则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，由于＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i. ∴，∴.即点D对应的复数为3＋5i. 11. 在复数范围内，方程的解为 ． 【答案】（1） 【分析】先判断一元二次方程根的判别式，再利用求根公式求解即可； 【详解】,∴方程的根为，即. 12. 计算：（1）； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2）；（5） 【分析】运用复数乘法运算法则、加减法的运算法则直接运算即可. 【详解】（1）因为， ，所以原式=。 （2）； （3）因为，，所以原式。 13.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA. 解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°. 在△PBA中,由余弦定理,得PA2=3+-2×cos 30°=.故PA=. (2)设∠PBA=α,则∠PCB=∠PBA=α,由已知得PB=sin α. 在△PBA中,由正弦定理,得,化简得cos α=4sin α.即tan α=,故tan∠PBA=. 学科网（北京）股份有限公司 $