第八章 平面向量、解三角形的应用举例 基础通关训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦平面向量与解三角形的综合应用，通过实际问题与几何图形载体，构建从模型抽象到运算推理的知识逻辑链，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形应用|4（如1,3,4,7题）|实际测量（航海、山高）、面积与中线计算|正余弦定理→三角形度量→实际问题建模| |平面向量几何应用|5（如2,5,6,8,9题）|几何图形（菱形、正方形、六芒星）中的向量运算与最值|向量数量积→投影与模长→动态几何问题| |综合应用|3（如10,11,12题）|多知识点结合的解答题|向量与解三角形融合→综合推理与运算|

第八章 平面向量、解三角形的应用举例·基础通关 1. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（    ） A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【详解】由题意可知：， 由余弦定理可得， 所以甲船到达处需要的时间为小时. 2. 在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用、相等向量、向量在几何中的其他应用 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形也为菱形即为正方形即可求解． 【详解】如图所示， ，四边形是平行四边形， 分别表示的单位向量， ，平方可得， ，， 四边形是矩形， 又平分，四边形是菱形， 四边形是正方形，且，此四边形的面积等于5， 故选：D．    3. 在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、用向量解决夹角问题、数量积的运算律 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 4. 三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】用向量解决线段的长度问题、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】先求出三边边长，再根据中线向量可求中线的长度. 【详解】由正弦定理有， 设，其中，则， 故，故， 所以，设边上的中线为，则， 则 ， 故. 5. 如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【分析】利用数量积的几何意义可得点与点或点重合时，取最大值，结合数量积公式计算即可得，再利用对称性可得其最小值，即可得其范围. 【详解】如图，作， 则， 由，为在上的投影， 故当点与点或点重合时，取最大值， 即， 又，所以， 由对称性可知. 所以的取值范围是． 6. 已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用向量解决夹角问题、求投影向量 【分析】根据题意B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解. 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 7. （多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度，先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得.在点后移至点，测得仰角为，则山高的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】先设出，并表示出其他相关边长，再利用余弦定理建立方程求解得到A，利用建立方程得到C，D即可. 【详解】设，因为，所以； 因为，所以； 在中，， 由余弦定理得， 解得，故A正确， 因为，所以，同理可得， 因为，所以， 解得或，故C，D正确. 故选：ACD 8. （多选）四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），则（    ） A． B．当时，为CD中点 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.62 【知识点】向量与几何最值、数量积的坐标表示、用定义求向量的数量积、向量加法法则的几何应用 【分析】通过建立平面直角坐标系分别表示出各点的坐标，结合向量的坐标运算逐一分析选项即可． 【详解】以为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如下图所示   ， 因为四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D）， 所以，设， 选项A：，所以； 选项B：， 当时，可得，解得，即为CD中点； 选项C：，则， 所以，当时，的最小值为2； 选项D：当或1时，的最大值为. 9. 如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 【答案】 3 / 【难度】0.6 【知识点】向量与几何最值、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】取中点，连接，由条件得到是等边三角形，进而求出，在中，由余弦定理求出，即可求出；取中点，连接，交半圆于点，将转化为，分析出即点与点重合时，取到最大值1，即可求出的最大值. 【详解】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，. 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值. 10. 如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、由向量线性运算结果求参数、几何图形中的计算 【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，由正弦定理求出大小正三角形的面积，即可求得的值；然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果. 【详解】由，设，则，， 如图 由题可知：， 在中，由余弦定理可得， 即，则， 可得小三角形面积，大三角形面积， 所以； 因为， 在中，由正弦定理可得， 且为锐角，则，可知， 可得，， 若，则，解得， 所以. 11. 已知菱形的边长为2，，为边中点，且，为线段的中点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律、用基底表示向量 【分析】（1）由向量基本定理，再用向量数量积求解； （2）由向量基本定理和向量的线性运算得到， ，再由向量的数量积运算得到，最后利用二次函数求解即可. 【详解】（1）依题意，； 由， 则， 所以. （2）因为，所以 又因为，所以， 因为为的中点， 所以 因为，在上单调递减， 所以的最小值为. 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． (1)求c． (2)设平分，且与交于点D． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求的长． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【难度】0.48 【知识点】余弦定理解三角形、用向量解决线段的长度问题、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用余弦定理求解边长即可； （2）（ⅰ）要证明线段相等，可转化为证明对应角相等.结合角平分线性质、二倍角公式，分别推导与的余弦值，利用锐角三角函数唯一性证明两角相等，进而根据等角对等边证得线段相等；（ⅱ）先通过向量关系式变形，利用向量中点公式判定点为线段中点，得到长度；再结合三角形角平分线定理求出的长度，最后根据线段位置关系，通过作差运算求得的长度. 【详解】（1）因为，，， ， 所以. （2）（ⅰ）如图，作出符合题意的图形， ， 平分，， ， ，即，. （ⅱ）如图，作出符合题意的图形， ，， 是 边上的中点，, 而平分，由角平分线定理得到， 且 ， 由（ⅰ）知，故. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面向量、解三角形的应用举例·基础通关 1. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（    ） A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 2. 在四边形ABCD中，，，，，则四边形ABCD的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3. 在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 4. 三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 5. 如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6. 已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7. （多选）已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度，先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得.在点后移至点，测得仰角为，则山高的高度为（    ） A． B． C． D． 8. （多选）四边形ABCD是边长为1的正方形，是线段CD上的动点（包括端点C、D），则（    ） A． B．当时，为CD中点 C．的最小值为 D．的最大值为 9. 如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 10. 如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则______． 11. 已知菱形的边长为2，，为边中点，且，为线段的中点． (1)若，求的值； (2)求的最小值． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． (1)求c． (2)设平分，且与交于点D． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求的长． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $