解三角形：距离、高度、角度测量问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

解三角形：距离测量问题、高度测量问题、角度测量问题专项训练 解三角形：距离测量问题、高度测量问题、角度测量问题专项训练 考点目录 距离测量问题 高度测量问题 角度测量问题 考点一 距离测量问题 例1．（24-25高一下·广东深圳·月考）如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向． (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 例2．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，求红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要多少小时？    例3．（24-25高一下·福建厦门·月考）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． (1)求大学与站的距离； (2)求铁路段的长度． 变式1．（24-25高一下·浙江温州·月考）某人在M汽车站的北偏西方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶．公路的走向是M汽车站的北偏东．开始时，汽车到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A处的距离缩短了10千米．问：汽车还需行驶多远才能到达M汽车站？（注：） 变式2．（24-25高一下·江西赣州·月考）如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离（注：，）． 变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 考点二 高度测量问题 例1．（24-25高一下·上海·月考）如图10-3-20，小河的一侧有一条笔直的道路l，对岸有电塔AB，已知其高为h．现只有小平板仪（可用于测量水平的角度）和皮尺作为测量工具，请说明还需测量的数据，然后运用三垂线定理给出求电塔顶A与道路l的距离d的公式． 例2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． (1)求铜像连同底座的高度； (2)若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ (3)在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） 例3．（24-25高一下·江苏常州·期末）在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 变式1．（24-25高一下·湖南湘潭·月考）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）. (1)求两地的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高度. 变式2．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 变式3．（24-25高一下·广东佛山·期中）佛山电视塔位于文华公园内，是佛山地标性建筑．某位高中生想运用所学知识测量验证一下高度，通过查阅资料获取了两种测量方案． 方案一（两次测角法）：如图一，在电视塔附近广场上的点测得电视塔顶部的仰角为，正对电视塔前进米后，到达点，在点测得电视塔顶部的仰角为，然后计算出电视塔的高度． 方案二（镜面反射法）：如图二，在电视塔附近广场上，进行两个操作步骤：①将平面镜（大小合适，厚度忽略不计）置于地面上，人后退至从镜子中恰能看到电视塔的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对电视塔，将镜子后移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出电视塔的高度． 实际操作中，方案一测量数据为米，，测得电视塔高度为；方案二测量数据为米，米，米，测得电视塔高度为；假设测量者的“眼高”都用1.6米． (1)用表示； (2)计算的实际测量值（参考数据：，结果保留整数）． 考点三 角度测量问题 例1．（24-25高一下·云南昭通·月考）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 例2．（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 例3．（24-25高一下·河北秦皇岛·月考）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 变式1．（24-25高一下·辽宁大连·月考）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 变式2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图所示，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进米后到达点，又从点测得斜度为，建筑物的高为米.求此山对于地平面的倾斜角的余弦值. 变式3．（24-25高一下·广西南宁·月考）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解三角形：距离测量问题、高度测量问题、角度测量问题专项训练 解三角形：距离测量问题、高度测量问题、角度测量问题专项训练 考点目录 距离测量问题 高度测量问题 角度测量问题 考点一 距离测量问题 例1．（24-25高一下·广东深圳·月考）如图，某段海岸线可近似看作一条曲线，该曲线由线段和四分之一圆弧构成，为一海岛，在的正北方向，且、相距千米，在的北偏西方向，在的北偏东方向，在的南偏东方向． (1)若沿修建观光道，计算该观光道的长度(精确到千米)； (2)现规划在该海岸线上选取一处，修建从直通的公路桥．已知、相距千米，求公路桥的最短长度(精确到千米)． 【答案】(1)千米； (2)千米 【详解】（1）在中，， ． 由所在圆的半径为，得的长度为千米． （2）在中，． 在中，由正弦定理，得， 于是，可得，． 过作的垂线，垂足为，在Rt△中，． 因为，且到上任意一点的距离均大于等于， 所以到海岸线的最短距离为千米． 例2．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，求红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要多少小时？    【答案】2小时 【详解】设红方侦察艇经过小时后在处追上蓝方的小艇， 结合题意得，，，， 在中，利用余弦定理：， 解得：，或（舍去）， 红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要2小时．      例3．（24-25高一下·福建厦门·月考）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． (1)求大学与站的距离； (2)求铁路段的长度． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）在中，，且，， 由余弦定理得， ． 所以，即大学与站的距离为． （2）因为，且为锐角， 所以， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 由题意知，所以， 所以，因为， 所以，， 所以， 又， 所以， 在中，， 由正弦定理得，， 即，所以， 即铁路段的长为． 变式1．（24-25高一下·浙江温州·月考）某人在M汽车站的北偏西方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶．公路的走向是M汽车站的北偏东．开始时，汽车到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A处的距离缩短了10千米．问：汽车还需行驶多远才能到达M汽车站？（注：） 【答案】15千米 【详解】画出示意图如图．设汽车前进20千米后到达B处．在中，千米，千米，千米，由余弦定理，得， 则， （负值舍去）． ． 在中，由正弦定理，得（千米）， 从而有（千米）． 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站． 变式2．（24-25高一下·江西赣州·月考）如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距的C，D两点，并测得，，，（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离（注：，）． 【答案】． 【详解】在中，，， ． ． 在中，． 在中，由正弦定理，得 ． 则在中，由余弦定理，得 ． ． ∴两目标A，B之间的距离为． 变式3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 考点二 高度测量问题 例1．（24-25高一下·上海·月考）如图10-3-20，小河的一侧有一条笔直的道路l，对岸有电塔AB，已知其高为h．现只有小平板仪（可用于测量水平的角度）和皮尺作为测量工具，请说明还需测量的数据，然后运用三垂线定理给出求电塔顶A与道路l的距离d的公式． 【答案】 【详解】在道路l上取一点C，使，再用小平板仪在l上另取一点D，使，用皮尺测得． 因为BC是AC在地面上的投影，且，由三垂线定理，得，从而斜线AC的长度就是电塔顶A与道路l的距离d． 在直角三角形BCD中，，，，故． 而在直角三角形ABC中，由勾股定理，得，故， 即电塔顶A与道路l的距离是，其中h是电塔的高度，a是道路l上所取两个点C与D之间的距离． 例2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）镇江句容茅山风景名胜区有一座闻名遐迩的老子像，是世界上最大、最高的露天老子铜像．某数学兴趣小组在铜像底座中心正东方向处测得铜像顶的仰角为，从处沿直线走38米到达南偏东的处，测得铜像顶的仰角为，点，，在同一平面内． (1)求铜像连同底座的高度； (2)若铜像底座的高度为3米，组员甲用相机给铜像拍照，已知相机镜头到地面的距离为1.5米，为使拍照的视角最大，请问组员甲应在距离铜像底座中心多远处？ (3)在（2）的条件下，若组员甲在区域内以最大视角拍照，则他站位的轨迹长度为多少？ （参考数据：，，所有答案精确到小数点后1位） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题可知，， 设，在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得，， 解得，所以铜像连同底座的高度为． （2）设距离铜像底座中心时，拍照的视角最大，设该处为点，相机镜头为点，过点作平行线，交于点，设，如图所示， 则，， 在中，，在中，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故组员甲应在距离铜像底座中心处拍照的视角最大． （3）以点为圆心，7.4为半径画弧，交于点，如图所示， 则他站位的轨迹为，轨迹长度为． 例3．（24-25高一下·江苏常州·期末）在地平面上有一竖直的旗杆（在地平面上），为了测得它的高度，在地平面上取一基线，测得其长为20m.在处测得点的仰角为30°，在处测得点的仰角为45°，又测得. (1)求旗杆的高度； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，而，， 所以由余弦定理有，即，解得； （2）如图所示，过点作于点， 由题意平面，又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面， 故所求为线段的长度， 由（1）可知， 所以. 变式1．（24-25高一下·湖南湘潭·月考）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，、、三地位于同一水平面上，这种仪器在地进行弹射实验，观测点两地相距.在地听到弹射声音的时间比地晚.在地测得该仪器至最高点处的仰角为（已知声音的传播速度为）. (1)求两地的距离； (2)求这种仪器的垂直弹射高度. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，设，因为在地听到弹射声音的时间比地晚，所以. 在中，由余弦定理得， 即，解得. 故两地的距离为. （2）在中，， 所以， 故该仪器的垂直弹射高度为. 变式2．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 在中，，由正弦定理得 ， . （2）由（1）知， 中， 变式3．（24-25高一下·广东佛山·期中）佛山电视塔位于文华公园内，是佛山地标性建筑．某位高中生想运用所学知识测量验证一下高度，通过查阅资料获取了两种测量方案． 方案一（两次测角法）：如图一，在电视塔附近广场上的点测得电视塔顶部的仰角为，正对电视塔前进米后，到达点，在点测得电视塔顶部的仰角为，然后计算出电视塔的高度． 方案二（镜面反射法）：如图二，在电视塔附近广场上，进行两个操作步骤：①将平面镜（大小合适，厚度忽略不计）置于地面上，人后退至从镜子中恰能看到电视塔的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对电视塔，将镜子后移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出电视塔的高度． 实际操作中，方案一测量数据为米，，测得电视塔高度为；方案二测量数据为米，米，米，测得电视塔高度为；假设测量者的“眼高”都用1.6米． (1)用表示； (2)计算的实际测量值（参考数据：，结果保留整数）． 【答案】(1) (2)238；256 【详解】（1）在中，，所以． 在中，，所以． 所以． 于是． 所以． （2）代入数据，可得． 在中，由镜面反射可知，所以，于是． 在中，由镜面反射可知，所以，于是． 因为，于是． 考点三 角度测量问题 例1．（24-25高一下·云南昭通·月考）如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【答案】(1)30（海里） (2)救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°，1.75小时． 【详解】（1）在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． （2）在中，，由余弦定理 ， ，（小时）， ，D为锐角， 所以，， 救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°． 例2．（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，某公司要在 、 两地连线上的定点 处建造广告牌 ，其中 为顶端， 长 35 米， 长 80 米. 设 、 在同一水平面上，从 、 看 的仰角分别为 、 .    (1)设计中 是铅垂方向，若要求 ， 求 的长 (结果精确到 0.01 米): (2)施工完成后 与铅垂方向有偏差，现实际测得 ，求 的长和 的大小 (结果精确到 0.01 米和 ). 【答案】(1)的长为米. (2)的长为米，. 【详解】（1）设的长为米，则 ，， 因为，所以，则， 即，解得：米. 故的长为米. （2）由题设， 由正弦定理得，即米， 所以，则米， 又，则， 故的长为米，. 例3．（24-25高一下·河北秦皇岛·月考）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 变式1．（24-25高一下·辽宁大连·月考）如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务. (1)求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m） (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， 设，，则，， 由题意得. 在中，由余弦定理得 ， 解得或（舍去）， ∴ （2）由（1）知，，. ∴. 变式2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图所示，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进米后到达点，又从点测得斜度为，建筑物的高为米.求此山对于地平面的倾斜角的余弦值. 【答案】. 【详解】在中，，米，. 根据正弦定理，即，∴， 又在中，，，，， 根据正弦定理，即， 即，解得. 其中 ， 所以此山对于地平面的倾斜角的余弦值为. 变式3．（24-25高一下·广西南宁·月考）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． (1)小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． (2)小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米； ．大屏幕的高度是2米； ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【答案】(1)10米 (2)ND为米 【详解】（1）由题意知，⊥，由勾股定理得， 且可知， ， 由正弦定理可得， 则体育馆的高度为10米. （2）设，则，， ， 当且仅当时，取到最大值，即米时，观看效果最佳． 2 学科网（北京）股份有限公司 $