第4章《三角形》单元试卷 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 北师大版七年级数学下册《三角形》单元卷，通过10选择+6填空+7解答的题量，覆盖全等判定、稳定性、中线高角平分线等核心知识，以情境化问题（如玻璃碎片还原、桃李湖测距）和动态探究（如动点全等）实现基础巩固与思维提升，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|全等判定（SAS/ASA）、稳定性、角平分线作图|第1题结合生活情境考查全等应用，第6题通过尺规作图痕迹培养几何直观| |填空题|6题|三边关系、全等条件、网格角度计算|第15题以“U形框架”动点模型，融合方程思想与推理能力| |解答题|7题|尺规作图、全等证明、动态几何|22题“模型呈现-应用-探究”三阶设计，23题动点等腰三角形分类讨论，发展创新意识与推理能力|

北师大版2025-2026七年级数学下第4章《三角形》单元试卷 一．选择题（共10小题） 1．一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　） A．带1，2或2，3去就可以了 B．带1，4或3，4去就可以了 C．带1，4或2，4或3，4去均可 D．带其中的任意两块去都可以 2．下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△ADC的理由是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 4．将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 5．如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为20，则△ABC的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 6．在如图三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　） A．图1 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 7．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝（　　） A．118° B．119° C．120° D．121° 8．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，△ABC中，AB＝AC＝14厘米，BC＝10厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．或 B．或2 C．或2 D．或 10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC平分∠BAD，E是CB延长线上一点，F是DC延长线上一点，∠EAF＝∠BAD，AD＝4，BC＝2，S△ACE＝16，则DF的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二．填空题（共6小题） 11．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为 　 　 ，周长为 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD并延长到点E，连接BE．若要使△ACD≌△EBD，应添上的条件是 　 　 ． 13．如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则∠1+∠2+∠3＝　 　 ． 14．如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝12，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为 　 　 ． 15．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝40cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 　 　 cm． 16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，连接AE，AF．延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．若∠EAF＝55°，则∠FAG的度数为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝2a，（使用直尺和圆规，不写画法，保留作图痕迹）． 18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝10°，∠B＝50°，求∠C的度数． 19．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：∠EAC＝∠DEB． 20．如图，已知：AC，BD相交于E点，且AC＝BD，AB＝CD． 求证：∠B＝∠C． 21．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线，求证：∠3＝∠1+∠2． 22．【模型呈现】 （1）如图1，C、A、E在一条直线上，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC＝AE． 【模型应用】 （2）如图2，EA⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积． 【深入探究】 （3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G． ①求证：DG＝GE； ②若BC＝21，AF＝12，求△ADG的面积． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　 °，∠AED＝　 　 °； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 北师大版2025-2026七年级数学下第4章《三角形》单元试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．一块三角形玻璃样板不慎被张字同学碰破，成了四片完整碎片（如图所示），聪明的他经过仔细地考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板，你认为下列四个答案中考虑最全面的是（　　） A．带1，2或2，3去就可以了 B．带1，4或3，4去就可以了 C．带1，4或2，4或3，4去均可 D．带其中的任意两块去都可以 【分析】带1、4可以用“角边角”确定三角形；带3、4也可以用“角边角”确定三角形． 【解答】解：带3、4可以用“角边角”确定三角形， 带1、4可以用“角边角”确定三角形， 带2、4可以用“边边边”确定三角形， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形判定的应用；确定一个三角形的大小、形状，可以用全等三角形的几种判定方法．做题时要根据实际问题找条件． 2．下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】过A点作BC的垂线，垂足为D，则线段AD是△ABC的高，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：线段AD是△ABC的高的是． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此类问题的关键． 3．如图，为测量桃李湖两端AB的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C，测得∠ACB的度数，在AC的另一侧测得∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，再测得AD的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△ADC的理由是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【分析】利用∠ACD＝∠ACB，CD＝CB，加上公共边可根据“SAS”判断△ABC≌△ADC． 【解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SAS）． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 4．将空调安装到墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的数学原理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间线段最短 【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性． 【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性， 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，线段的性质，对顶角、邻补角，垂线段最短，正确掌握三角形的稳定性这一性质是解题的关键． 5．如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为20，则△ABC的面积为（　　） A．30 B．32 C．34 D．36 【分析】根据三角形中线平分三角形面积推出，，再根据四边形ABDF的面积为20，得到，据此求解即可． 【解答】解：∵AF是△ADE的中线， ∴S△ADE＝2S△ADF， 同理可得S△ADC＝2S△ADE， 同理可得， ∴， ∵四边形ABDF的面积为20， ∴S△ABD+S△ADF＝20， ∴， ∴S△ABC＝32， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 6．在如图三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　） A．图1 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可． 【解答】解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线． 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A＝60°，则∠BFC＝（　　） A．118° B．119° C．120° D．121° 【分析】根据角平分线的定义可得出∠CBF∠ABC、∠BCF＝∠ACB，再根据内角和定理结合∠A＝60°即可求出∠BFC的度数． 【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F， ∴∠CBF∠ABC，∠BCF∠ACB， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠CBF+BCF）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝120°． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键． 8．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据全等三角形的对应边相等判断即可． 【解答】解：如图， △ABP4≌△ABC， △ABP3≌△ABP1， △ABP4≌△ABP1， 则符合条件的点P有3个， 故选：C． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 9．如图，△ABC中，AB＝AC＝14厘米，BC＝10厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【分析】分两种情况讨论：①△BPD≌△CQP，②△BPD≌△CPQ，继而可解． 【解答】解：设两点所用的时间为t，则BP＝2t，CQ＝vt，PC＝BC﹣BP＝10﹣2t， ∵△ABC中，AB＝AC＝14厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝7厘米， 根据题意，分情况讨论得， 若△BPD≌△CQP，则CP＝BD，BP＝CQ（全等三角形对应边相等）， 则2t＝vt， 解得v＝2； 若△BPD≌△CPQ，则BD＝CQ，BP＝PC（全等三角形对应边相等）， 则vt＝7，2t＝10﹣2t， 解得， 综上所述，v的值为或2， 故选：C． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC平分∠BAD，E是CB延长线上一点，F是DC延长线上一点，∠EAF＝∠BAD，AD＝4，BC＝2，S△ACE＝16，则DF的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据AC平分∠BAD，得出∠BAC＝∠DAC，进而得出△ACB≌△ACD（AAS），则AD＝AB＝4，BC＝CD＝2，再根据S△ACE＝16，求出CE＝8，则BE＝CE﹣BC，通过∠EAF＝∠BAD，得出∠EAB＝∠FAD，即可证明△ABE≌△ADF（ASA），即可求解． 【解答】解：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ACB和△ACD中， ， ∴△ACB≌△ACD（AAS）， ∴AD＝AB＝4，BC＝CD＝2， ∵S△ACE＝16， ∴，即， 解得：CE＝8， ∴BE＝CE﹣BC＝8﹣2＝6， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠EAF+∠BAF＝∠BAD+∠BAF，即∠EAB＝∠FAD， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴BE＝DF＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 二．填空题（共6小题） 11．已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为 　等腰三角形　 ，周长为 　7　 ． 【分析】根据非负项和为0，则每一项都为0，即可求出b和c的值；利用绝对值的性质化简|a﹣4|＝2，即可求出a的值；利用“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”对a的值进行取舍，即可求出三角形的周长，判断三角形的形状． 【解答】解：因为（b﹣2）2+|c﹣3|＝0， 所以b﹣2＝0，c﹣3＝0， 所以b＝2，c＝3． 因为|a﹣4|＝2， 所以a﹣4＝2或a﹣4＝﹣2， 所以a＝6或a＝2． 当a＝6时，2+3＜6，即b+c＜a，不满足三角形任意两边之和大于第三边，舍去； 当a＝2时，2，2，3三条线段长可以组成三角形， ∴△ABC的周长是2+2+3＝7． ∵b＝a， ∴该三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形，7． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键． 12．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，连接AD并延长到点E，连接BE．若要使△ACD≌△EBD，应添上的条件是 AD＝DE ． 【分析】求出BD＝DC，根据全等三角形的判定定理SAS推出即可． 【解答】解：AD＝DE， 理由是：点D是BC中点， ∴BD＝DC， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：AD＝DE． 【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 13．如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1、∠2和∠3，则∠1+∠2+∠3＝　135°　 ． 【分析】根据图形判断出∠1、∠3是全等直角三角形的两个互余的锐角，∠2为等腰直角三角形的锐角，然后求解即可． 【解答】解：如图，在△ABC和△EGA中， ， ∴△ABC≌△EGA（SAS）， ∴∠1＝∠BAC， 在Rt△ABC中，∠BAC+∠3＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， 由图可知，△ABD是等腰直角三角形， ∴∠2＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°． 故答案为：135°． 【点评】本题考查了全等图形，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，AB＝17，AC＝12，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为 　5　 ． 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差． 【解答】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴BD＝DCBC， ∴△ABD与△ACD的周长之差 ＝（AB+BD+AD）﹣（AC+DC+AD） ＝AB﹣AC ＝17﹣12 ＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法． 15．在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝40cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 　16或30　 cm． 【分析】设BM＝2tcm，则BN＝3tcm，使△ACM与△BMN全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况： 情况一：当BM＝AC，BN＝AM时，列方程解得t，可得AC； 情况二：当BM＝AM，BN＝AC时，列方程解得t，可得AC． 【解答】解：设BM＝2tcm，则BN＝3tcm，因为∠A＝∠B＝90°，使△ACM与△BMN全等，可分两种情况： 情况一：当BM＝AC，BN＝AM时， ∵BN＝AM，AB＝40cm， ∴3t＝40﹣2t， 解得：t＝8， ∴AC＝BM＝2t＝2×8＝16cm； 情况二：当BM＝AM，BN＝AC时， ∵BM＝AM，AB＝40cm， ∴2t＝40﹣2t， 解得：t＝10， ∴AC＝BN＝3t＝3×10＝30cm， 综上所述，AC＝16cm或AC＝30cm， 故答案为：16或30． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质并利用分类讨论思想是解答此题的关键． 16．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E，F分别是BC，CD上的点，且EF＝BE+FD，连接AE，AF．延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．若∠EAF＝55°，则∠FAG的度数为 　55°　 ． 【分析】利用SAS证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出结论． 【解答】解：∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE与△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵EF＝BE+DF，FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝FG， 在△AEF与△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝55°， 故答案为：55°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△ADG． 三．解答题（共7小题） 17．如图，已知线段a和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝2a，（使用直尺和圆规，不写画法，保留作图痕迹）． 【分析】先作∠α的平分线得到，再作，接着在射线AM上截取AB＝a，在射线AN上截取AC＝2a，连接BC，则△ABC满足条件． 【解答】解：如图所示，△ABC为所求作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，掌握作一个三角形的尺规作图是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD＝10°，∠B＝50°，求∠C的度数． 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD＝10°， ∴∠AED＝80°， ∵∠B＝50°， ∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝80°﹣50°＝30°， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠BAC＝2∠BAE＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 19．如图，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，点E在BC上． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：∠EAC＝∠DEB． 【分析】（1）用“SSS”证明即可； （2）借助全等三角形的性质及角的和差求出∠DAB＝∠EAC，再利用三角形内角和定理求出∠DEB＝∠DAB，即可说明∠EAC＝∠DEB． 【解答】解：（1）∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE， ∴△ABC≌△ADE（SSS）； （2）由△ABC≌△ADE， 则∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC． ∴∠DAE﹣∠ABE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC． 设AB和DE交于点O，∵∠DOA＝∠BOE，∠D＝∠B， ∴∠DEB＝∠DAB． ∴∠EAC＝∠DEB． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质求出相等的角，体现了转化思想的运用． 20．如图，已知：AC，BD相交于E点，且AC＝BD，AB＝CD． 求证：∠B＝∠C． 【分析】如图，连接AD．构建全等三角形：△ABD≌△DCA，则全等三角形的对应角相等，由此可以证得结论． 【解答】证明：如图，连接AD． 在△ABD与△DCA中， ， ∴△ABD≌△DCA（SSS）， ∴∠B＝∠C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 21．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线，求证：∠3＝∠1+∠2． 【分析】由△ABD≌△ACE，可得∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，由∠3＝∠BAD+∠ABD，可得∠3＝∠1+∠2． 【解答】证明：在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE， ∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2， ∵∠3＝∠BAD+∠ABD， ∴∠3＝∠1+∠2． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．【模型呈现】 （1）如图1，C、A、E在一条直线上，∠BAD＝90°，AB＝AD，BC⊥CA于点C，DE⊥AE于点E．求证：BC＝AE． 【模型应用】 （2）如图2，EA⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积． 【深入探究】 （3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC、DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G． ①求证：DG＝GE； ②若BC＝21，AF＝12，求△ADG的面积． 【分析】（1）证明△ABC≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等得到BC＝AE； （2）根据全等三角形的性质得到AP＝BG＝3，AG＝EP＝6，CH＝DH＝4，CG＝BG＝3，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）①过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q，推导出DP＝EQ，∠DPG＝∠EQG＝90°，利用AAS推导出△DPG≌△EQG，进而得证； ②根据全等三角形的性质推导出BC＝BF+FC＝AP+AQ＝21，AP+AQ＝21，AP+AP+PG+GQ＝21，进而求出AG，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝90° ∴∠BAC+∠DAE＝90°， ∵BC⊥AC，DE⊥AC， ∴∠ACB＝∠DEA＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠DAE， 在△ABC和△DAE中， ， ∴△ABC≌△DAE（AAS）， ∴BC＝AE； （2）解：由【模型呈现】可知，△AEP≌△BAG，△CBG≌△DCH， ∴AP＝BG＝3，AG＝EP＝6，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3， 则S实线围成的图形ABCDE（4+6）×（3+6+4+3）3×63×63×43×4＝50； （3）①证明：过点D作DP⊥AG于P，过点E作EQ⊥AG交AG的延长线于Q， 由【模型呈现】可知，△AFB≌△DPA，△AFC≌△EQA， ∴DP＝AF，EQ＝AF， ∴DP＝EQ， ∵DP⊥AG，EQ⊥AG， ∴∠DPG＝∠EQG＝90°， 在△DPG和△EQG中， ， ∴△DPG≌△EQG（AAS）， ∴DG＝GE； ②解：由①可知，BF＝AP，FC＝AQ， ∴BC＝BF+FC＝AP+AQ， ∵BC＝21， ∴AP+AQ＝21， ∴AP+AP+PG+GQ＝21， 由①△DPG≌△EQG得： ∴PG＝GQ， ∴AP+AP+PG+PG＝21， ∴AP+PG＝10.5， ∴AG＝10.5， ∴S△ADG10.5×12＝63． 【点评】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E． （1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　25　 °，∠AED＝　65　 °； （2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD＝25°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE； （3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°， ∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°， ∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°， 故答案为：25；65； （2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE， 理由：∵AB＝2，DC＝2， ∴AB＝DC， ∵∠C＝40°， ∴∠DEC+∠EDC＝140°， ∵∠ADE＝40°， ∴∠ADB+∠EDC＝140°， ∴∠ADB＝∠DEC， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形， ①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°， ∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°； ②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°， ∴∠DAE＝100°， 此时，点D与点B重合，不合题意； ③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°， ∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝40°+40°＝80°； 综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/3 22:43:46；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $