第四章三角形单元测试题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 北师大版七年级数学下册第四章三角形单元卷，120分钟120分，覆盖三角形性质、全等判定等核心知识，通过实际情境与动态问题设计，体现几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系、高的定义、全等判定（ASA、SSS等）|结合测量情境（第3题），动态动点问题（第10题）| |填空题|6/18|等腰三角形周长、全等条件添加、实际测量计算|开放性条件添加（第12题），多解动点全等（第16题）| |解答题|8/72|全等证明、网格作图、旋转综合、动点面积|分层设计（基础证明到综合旋转，23题），网格几何直观（20题）|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册第四章 三角形单元测试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在中，边上的高是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，为了测量点B到河正对面点A之间的距离，小明在与点B同侧的河岸上选择点C和点D，测得，（B，C，D三点共线），过点作，使得点A，C，E在同一直线上，得到，测得的长就是A，B两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，由作图可证，进而得到，说明的依据是（     ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，在中，，是高，平分交于点，过点作直线交于点F，交于点G，则下列结论一定成立的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在中，，于，于，和交于，的延长线交于，则图中全等的直角三角形有（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 7．（本题3分）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 8．（本题3分）如图，已知和的顶点、、、在同一直线上，已知，，下列哪个条件不能判定≌（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，把等腰Rt和等腰Rt放在一起，三点在一条直线上，其中，点在上，连接交于点．若，则的面积为（   ） A．27.9 B．28.7 C． D． 10．（本题3分）如图，在中，，，点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 12．（本题3分）如图，已知：，添加一个条件，使，你添加的条件是__________． 13．（本题3分）如图，点在一水池的两侧，相交于点E．若，则水池宽______． 14．（本题3分）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 15．（本题3分）如图，，平分，平分，点在上，且．若，则四边形的面积为_______ ． 16．（本题3分）如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）如图，与交于点O，，．求证：． 18．（本题8分）如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若，，，求证：． 19．（本题8分）已知：如图，，，． (1)请说明：． (2)与相等吗？请说明理由． 20．（本题8分）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，按要求作图： (1)请画出的高； (2)直接写出的面积是_____． 21．（本题9分）如图，，连接，交于点，点，在上，且 ． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（本题9分）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 23．（本题10分）在中，，直线经过点，且于．于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 24．（本题12分）如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 第6页，共7页 第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A B C D A D 1．A 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 2．B 【分析】根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可． 【详解】解：∵ 三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段， ∴在中，边上的高应是过点且垂直于所在直线的线段， 由图可知，的延长线于点， ∴ 边上的高是． 3．B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 4．C 【分析】根据尺规作图的痕迹，判断对应的判定定理即可． 【详解】解：由作图可知：，， 在和中 ， ， 5．A 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，根据相关的性质可证明 ，根据相关的性质逐一判断即可． 【详解】解：选项A：∵，是高， ∴，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ，且为公共边， ∴ （）， ∴，选项A正确，符合题意； 选项B:只有当是等腰直角三角形（）时，才有题目仅说明是直角三角形，未给出的条件，因此该结论不一定成立，不符合题意； 选项C：由 ，得，若，则，同样仅当是等腰直角三角形时成立，因此该结论不一定成立，不符合题意； 选项D： ， ，显然只有当二者相等时，不可能成立，因此该结论错误，不符合题意． 6．B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据全等三角形的判定证明相关三角形全等进而可得答案． 【详解】解：，， ， ， ∴， ①在和中 ∵ ∴ ，， ∵ ， ②在和中 ∵ ∴ ， ③在和中 ∵ ∴ ∴， ④在和中 ∵ ∴ ⑤在和中 ∵ ∴ ∴， ⑥在和中 ∵ ∴ ∴共有6对全等的直角三角形． 7．C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 8．D 【分析】根据已知条件结合各选项提供的条件，利用全等三角形的判定定理（、、、和）进行判断即可，注意“、”不能判定三角形全等． 【详解】解：已知， 对于A，添加，根据可判定，故不符合题意； 对于B，添加，，即，根据可判定，故不符合题意； 对于C，添加，，根据可判定，故不符合题意； 对于D，添加，此时为两边及其中一边的对角对应相等（），不能判定，故符合题意． 9．A 【分析】证明，得到，推出，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵等腰直角和等腰直角，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为. 10．D 【分析】设运动的时间为秒，则有，，从而可求，由，列方程，即可求解． 【详解】解：设运动的时间为秒，则有 ，， ， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得：． 11．11或13 【分析】本题考查非负性，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质求出，的值，再分类讨论腰长的不同情况，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，周长是11或13． 12．或或或 【分析】根据三角形全等的判定，结合已知选择添加条件即可． 【详解】解：线段相交于点O， ， ， 当再添加一个条件使得有以下四种情况： ①当添加条件，可以使得，理由如下： 在和中， ， ； ②当添加条件，可以使得，理由如下： 在和中， ， ； ③当添加条件，可以使得，理由如下： 在和中， ， ； ④当添加条件时，可以使得，理由如下： ， 在和中， ， ， 综上所述：再添加一个条件是或或或． 13．8 【分析】证明，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 14． 【分析】先根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ． 15． 【分析】连接，证明，，得到，进而可得，则可求. 【详解】解：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， 即：. 16．2 或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据的条件，再根据对应边的不同，分两种情况讨论：①，②，分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设运动的时间为t， ， 要使，根据对应边不同，分两种情况讨论： ①当时， ， ； ②当时， ， ； 综上所述， a的值为：2或． 17．证明：， ， ，， ， ． 【分析】根据得，根据对顶角相等得，即可证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】略 18．见解析 【分析】根据，，可得，根据可得，利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 19．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据等式的性质即可证明； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ∴． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据网格即可画出的高； （2）根据网格即可求出的面积． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积为． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得， ，结合即可论证结论； （2）通过论证 可得，进而可求. 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ； （2）解： ， 在和中， ， ， ， ， . 22．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 23．(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求证； （3）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．(1)，，秒时， (2) (3)2或 【分析】（1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为6秒，在线段上运动时间为4秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为2或时，． 答案第14页，共14页 答案第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $