期末巅峰冲刺核心考点深度解析与压轴题精讲------不等式与不等式组 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以“概念-性质-解法-应用”为逻辑主线，构建“原理+技巧+易错”三维训练体系，突出代数推理与模型应用的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式概念与性质|3题|定义辨析+性质3“变号”口诀|从不等关系到性质推导，奠定变形依据| |一元一次不等式解法|5题|五步解法（含去分母/括号要点）|类比方程解法，强化符号规则| |不等式组解法|4题|“同大取大”等四句口诀+数轴表示|解集公共部分的几何直观与代数判断| |实际应用|6题|“审设列解验答”六步模型|从关键词提取不等关系，建立数学模型| |含参问题|5题|分类讨论+解集边界分析|参数对解集的影响规律探究| |易错点分析|9题|13类错误归因+正解示范|针对性质应用/计算/表示等高频错误|

2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------不等式与不等式组 一、 不等式及其相关概念 1. 不等式的定义：用符号“<”（或“≤”）、“>”（或“≥”）、“≠”连接，表示大小或不等关系的式子，叫做不等式。 2. 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4. 解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 二、 不等式的性质（核心基础） 不等式有三条基本性质，是变形和解法的依据： · 性质1（加减性质）：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 如果 a > b，那么 a ± c > b ± c。 · 性质2（乘除正数性质）：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc（或 ）。 · 性质3（乘除负数性质）：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc（或 ）。 三、 一元一次不等式 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 解法步骤（五步，类比解方程，但需注意性质3）： 1. 去分母（注意每一项都乘，若乘负数，不等号方向改变）。 2. 去括号。 3. 移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，注意变号）。 4. 合并同类项。 5. 系数化为1（最关键一步：若系数为负数，必须改变不等号方向）。 3. 解集的表示： 代数表示：如 x > a，x ≤ b。 数轴表示：>或 <用空心圆圈表示不包含该点；≥或 ≤用实心圆点表示包含该点。方向向右表示大于，向左表示小于。 四、 一元一次不等式组 1. 定义：把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 2. 不等式组的解集：各个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 3. 解集的确定（口诀与图示）：为便于记忆，常用以下口诀确定解集（设 a < b）： 同大取大：x > a且 x > b→ 解集为 x > b。 同小取小：x < a且 x < b→ 解集为 x < a。 大小小大中间找：x > a且 x < b→ 解集为 a < x < b。 大大小小无处找（无解）：x < a且 x > b→ 无解。 五、 一元一次不等式（组）的简单应用 解决实际问题的基本步骤： 1. 审：审清题意，找出题目中的不等关系（关键词如“至少”、“不超过”、“不足”、“大于”等）。 2. 设：设出未知数。 3. 列：根据不等关系列出不等式（或不等式组）。 4. 解：解这个不等式（组），求出解集。 5. 验并答：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数需为非负整数等），并写出答案。 1. 不等式的性质 1．若实数x，y同时满足，，则的值为______． 2．成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头．如果愚公是第1代，那么到第_______代，这座大山可以搬完． 3．若为有理数，则下列结论正确的有_______．（只需填写序号） ①如果，则； ②如果，则的相反数小于的相反数； ③如果，则； ④如果，，则． 4．甲、乙、丙、丁玩接龙游戏，请戊猜： （1）甲告诉乙一个正整数； （2）乙将此数“”再平方后告诉丙； （3）丙将听到的数“”后，再加上他自己想的一个正数，告诉丁； （4）丁将她听到的数“”后公之于众：147． 问：甲告诉乙的数和丙自己想的数分别是多少？ 2. 一元一次不等式解法 5．阅读下列材料： 问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0 解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2， 又∵x＞1∴y+2＞1 ∴y＞﹣1 又∵y＜0 ∴﹣1＜y＜0① ∴﹣1+2＜y+2＜0+2 即1＜x＜2② ①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2 ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，则x的取值范围是　 　；x+y的取值范围是 　 　； （2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，根据上述做法得到-2＜3x-y＜10，求a、b的值． 6．阅读理解： 例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2． 例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x﹣2|＝3的解为 　 　； （2）解不等式：|x﹣2|≤1． （3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8． （4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围． 7．如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值x”到“判断结果是否大于等于1”为一次运算． 例如：开始输入x的值为，运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果为3. (1)当时，输出结果为_____；当时，输出结果为_____． (2)要使开始输入的x值只经过一次运行就能输出结果，求x的取值范围； (3)若经过两次运行后输出的结果为2.6，求出此时输入的x的值． 8．下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 y系数化成1，得．……第五步 (1)任务一：上述过程中，第一步的依据是 ； (2)任务二：小明第 步出现错误，这一步错误的原因是； (3)任务三：请帮助小明写出正确的解题过程，并把解集在数轴上表示出来． 3. 一元一次不等式的应用 9．根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方.为满足外地食客的需求，某土笋冻经销商与京东快递公司合作推出线上销售，产品有精品装和优惠装两种.以下是销售的相关素材信息，请根据素材完成后续任务. 素材二 精品装 优惠装 每盒100克，售价15元 每盒300克，售价35元 问题解决 (1)任务一：试营业期间，该经销商共卖出土笋冻320盒，销售总收入为9600元，请问精品装和优惠装各销售了多少盒？ (2)任务二：现在需要对7500克土笋冻进行分装，既有精品装也有优惠装，且恰好将这7500克土笋冻整盒分装完.精品装包装盒每个成本为2元，优惠装包装盒每个成本为1.8元.若要将购买包装盒的成本控制在55元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由. 10．如图，是某牛奶的“营养成分表”及相关说明．（注表示牛奶中相关营养的含量占一个人每日所需该种营养总量的百分比的参考值） 假设一个同学每日所需相关营养的含量恰好符合根据该牛奶“营养成分表”中的信息计算出的结果，请解决下列问题： (1)该同学每日所需碳水化合物是 ； (2)该同学的钙的吸收率为，求他每天喝多少毫升的该牛奶，才能恰好满足一天的钙的摄入？（不计其他渠道摄入的钙） (3)该同学某天早餐喝了该牛奶，吃了一个鸡蛋和一块牛排（每牛排中蛋白质含量为）．如果他在早餐中摄入的蛋白质全部吸收，且已经超过当日他所需蛋白质总量，那么这块牛排的质量至少是多少克？（用一元一次不等式解决问题，结果保留整数．） 11．【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 12．综合与实践：某班数学组对某商场进行调研后了解到如下信息： 市场调研 信息一 某体育用品商店新购进4个篮球和5个足球，共付款980元，已知每个篮球比每个足球贵20元． 信息二 该体育用品商店将足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个足球的利润仍不低于26元． 问题解决 (1)设每个篮球的进价为元，则每个足球的进价为__________元（用含的式子表示）； (2)求每个篮球和足球的进价； (3)求出信息二中的足球的最多打多少折． 4. 一元一次不等式组 13．解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 14．解不等式组，并写出所有整数解． 15．定义：若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值；若的解集中点值是不等式（组）的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）包含不等式组的解集中点值． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，证明不等式组包含不等式组的解集中点值； (2)已知关于的不等式组以及不等式组，若不等式组包含不等式组的解集中点值，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组和不等式组若不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围． 16．已知关于x、y的方程满足方程组，若x、y均为非负数． (1)求m的取值范围； (2)化简式子． 5. 一元一次不等式组的应用 17．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 18．3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 19．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 20．合肥公交公司计划购进新能源汽车，新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车2辆，共需280万元． (1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)若该公司为合肥文化园公交线路在（1）的基础上，准备购买A型和B型两种新能源公交车共计10辆，总费用不超过630万元，请你根据要求设计购买方案． 6. 不等式、不等式组中的含参问题 21．定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 22．已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 23．已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，则________； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，可化简为________． 24．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． (一)、 不等式性质理解与应用错误 这是最根本、最高频的错误来源。 易错点描述 典型错误示例 错因分析与正确做法 1. 乘除负数时，忘记改变不等号方向​ 由 -3x > 6，解得 x > -2。 错因：系数化为1时，两边同除以负数 -3，未改变不等号方向。 正解：x < -2。 口诀：负乘除，必变号。 2. 忽视未知数系数的符号（含参问题）​ 解关于 x的不等式 ax > b，直接得 x > 。 错因：未对系数 a的正、负、零进行分类讨论。 正解：需分 a > 0， a < 0， a = 0三种情况讨论解集。 3. 误用等式的性质​ 由 a > b， 推出 ac² > bc²。 错因：错误认为 c²一定为正。实际上 c² ≥ 0，当 c=0时，ac² = bc²。 正解：ac² ≥ bc²。 1．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 2．如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． (二)、 解一元一次不等式过程中的计算错误 在“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”五步中，每一步都可能出错。 易错点描述 典型错误示例 错因分析与正确做法 4. 去分母时，漏乘不含分母的项​ 解不等式> 3，去分母得 x-1 > 3。 错因：右边常数项 3没有乘以最简公分母 2。 正解：x-1 > 6，解得 x > 7。 5. 去括号时，符号或系数出错​ 解不等式 2 - (3x+1) > 5，去括号得 2 - 3x + 1 > 5。 错因：括号前是负号，去括号后第二项 +1未变号。 正解：2 - 3x - 1 > 5。 6. 移项时，忘记改变符号​ 解不等式 2x + 3 < 5x - 1，移项得 2x - 5x < -1 + 3。 错因：移项过程正确，但此步本身易错。需牢记：移项要变号（从一边移到另一边，符号改变）。 7. 合并同类项或系数化为1时，基本计算失误​ 解 -4x ≤ 8，得 x ≤ -2。 错因：两边同除以 -4后，不等号方向应改变，且 8 ÷ (-4) = -2。 正解：x ≥ -2。 3．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了4次才停止，则满足x的最小整数为______． 4．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． (三)、 不等式组的解集判断与表示错误 易错点描述 典型错误示例 错因分析与正确做法 8. 解集公共部分判断错误​ 解集为 x > 2且 x < 1，误认为有解。 错因：未利用数轴或口诀判断。x > 2与 x < 1没有公共部分。 正解：无解。口诀：大大小小无处找（无解）。 9. 数轴表示解集时，混淆“空心”与“实心”​ 将 x ≥ 2在数轴上表示为：在 2处画空心圈，向右画线。 错因：≥表示包含 2，应画实心点；>或 <才画空心圈。 10. 由不等式组的解集反求参数时，忽视等号​ 已知不等式组 {x > a, x < 3}的解集为 x < 3，求 a的范围，错误得出 a < 3。 错因：当 a = 3时，解集为 x > 3且 x < 3，无解，不满足题意。需检验边界。 正解：a ≥ 3。 5．若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_________． 6．已知关于x的一次方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若在（1）的条件下，m是最大整数且满足不等式，求该不等式的解集． （四）、 实际应用与综合问题中的错误 易错点描述 典型错误示例 错因分析与正确做法 11. 忽略未知数的实际意义​ 应用题求得人数 x = 3.5，直接作为答案。 错因：人数必须是正整数。解出不等式后，需从解集中筛选符合实际意义的解。 12. 列不等式时，抓不住关键不等词​ “至少”、“不超过”、“不足”等词与不等号的对应关系混淆。 关键：“至少”对应 ≥，“不超过”对应 ≤，“不足”对应 <。审题时务必圈出关键词。 13. 求特殊解（如整数解）时，遗漏端点值​ 解集为 -2 < x ≤ 3，求整数解，漏掉 -1或 3。 正解：在数轴上标出范围，逐一列举：-1, 0, 1, 2, 3。 7．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)取何值时，该不等式有解？并求出解集． 8．观察下列不等式及其解集的特征： ①的解集是 ②的解集是 ③的解集是， …… 根据观察得到的规律，解决下列问题． (1)第5个不等式为______ (2)第n个不等式为______，其解集为______ (3)根据上述规律，解关于x的不等式（a为正整数）． 9．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------不等式与不等式组（解析版） 一、 不等式及其相关概念 1. 不等式的定义：用符号“<”（或“≤”）、“>”（或“≥”）、“≠”连接，表示大小或不等关系的式子，叫做不等式。 2. 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4. 解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 二、 不等式的性质（核心基础） 不等式有三条基本性质，是变形和解法的依据： · 性质1（加减性质）：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 如果 a > b，那么 a ± c > b ± c。 · 性质2（乘除正数性质）：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc（或 ）。 · 性质3（乘除负数性质）：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc（或 ）。 三、 一元一次不等式 1. 定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 2. 解法步骤（五步，类比解方程，但需注意性质3）： 1. 去分母（注意每一项都乘，若乘负数，不等号方向改变）。 2. 去括号。 3. 移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，注意变号）。 4. 合并同类项。 5. 系数化为1（最关键一步：若系数为负数，必须改变不等号方向）。 3. 解集的表示： 代数表示：如 x > a，x ≤ b。 数轴表示：>或 <用空心圆圈表示不包含该点；≥或 ≤用实心圆点表示包含该点。方向向右表示大于，向左表示小于。 四、 一元一次不等式组 1. 定义：把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 2. 不等式组的解集：各个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。 3. 解集的确定（口诀与图示）：为便于记忆，常用以下口诀确定解集（设 a < b）： 同大取大：x > a且 x > b→ 解集为 x > b。 同小取小：x < a且 x < b→ 解集为 x < a。 大小小大中间找：x > a且 x < b→ 解集为 a < x < b。 大大小小无处找（无解）：x < a且 x > b→ 无解。 五、 一元一次不等式（组）的简单应用 解决实际问题的基本步骤： 1. 审：审清题意，找出题目中的不等关系（关键词如“至少”、“不超过”、“不足”、“大于”等）。 2. 设：设出未知数。 3. 列：根据不等关系列出不等式（或不等式组）。 4. 解：解这个不等式（组），求出解集。 5. 验并答：检验解集是否符合实际意义（如人数、物品数需为非负整数等），并写出答案。 1. 不等式的性质 1．若实数x，y同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，不等式，乘方，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过分析方程中的绝对值，确定y必须为负数，然后解方程组求得x和y的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得 ，故． 由得 ， 若，则，代入得 ， ∵， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为： ， ∴ 代入得： 验证：，，符合条件． 故． 故答案为：． 2．成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难．假设愚公家门口的大山有万吨石头，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，以此类推，愚公和他的子孙每人一生能搬运吨石头．如果愚公是第1代，那么到第_______代，这座大山可以搬完． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设到第n代时，总人数为等比数列前n项和，每人搬运吨，总搬运量需不小于万吨，即总人数不小于人，先求出，再求解． 【详解】解：设到第n代时，可搬完大山．从第1代到第n代，各代的人数依次为，，，…，，总人数为， 所以． 所以， 即， 总搬运量为吨， 需满足， 即， 所以． 已知，， 故，即到第13代时大山可以搬完． 故答案为：． 3．若为有理数，则下列结论正确的有_______．（只需填写序号） ①如果，则； ②如果，则的相反数小于的相反数； ③如果，则； ④如果，，则． 【答案】②④ 【分析】相反数的定义，绝对值，有理数加法运算，不等式的性质等知识点，对四个命题逐一分析每个命题的正确性． 【详解】解：①不正确：反例： 若，，则， 但，， 故，不满足 ． ②正确：若，则不等式两边同乘，不等号方向改变， 得， 即的相反数小于的相反数． ③不正确：反例：若，，则， 但，， 故，不满足． ④正确：若，，则，， 故，即． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了相反数的定义，绝对值，有理数加法运算，不等式的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 4．甲、乙、丙、丁玩接龙游戏，请戊猜： （1）甲告诉乙一个正整数； （2）乙将此数“”再平方后告诉丙； （3）丙将听到的数“”后，再加上他自己想的一个正数，告诉丁； （4）丁将她听到的数“”后公之于众：147． 问：甲告诉乙的数和丙自己想的数分别是多少？ 【答案】甲告诉乙的数为1，丙自己想的数为6 【分析】本题考查了列方程，不等式的性质，根据确定x的值是解题的关键；设甲告诉乙的数为，丙自己想的数为，根据题意列方程，再根据可得，再根据为正整数即可确定x的值，进而确定y的值． 【详解】解：设甲告诉乙的数为，丙自己想的数为， 由题意得， 整理得， 因为， 所以， 即， 又因为为正整数， 所以， 把代入， 答：甲告诉乙的数为1，丙自己想的数为6． 2. 一元一次不等式解法 5．阅读下列材料： 问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0 解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2， 又∵x＞1∴y+2＞1 ∴y＞﹣1 又∵y＜0 ∴﹣1＜y＜0① ∴﹣1+2＜y+2＜0+2 即1＜x＜2② ①+②得﹣1+1＜x+y＜0+2 ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2 请按照上述方法，完成下列问题： （1）已知x﹣y＝3，且x＞﹣1，y＜0，则x的取值范围是　 　；x+y的取值范围是 　 　； （2）已知x﹣y＝a，且x＜﹣b，y＞2b，根据上述做法得到-2＜3x-y＜10，求a、b的值． 【答案】（1）-1＜x＜3，-5＜x+y＜3；（2）a＝3，b＝-2． 【分析】（1）仿照阅读材料即可先求出-1＜x＜3，然后即可求出x+ y的取值范围； （2）先仿照阅读材料求出3x-y的取值范围，然后根据已知条件可列出关于a、b的方程组，解出即可求解． 【详解】解：（1）∵x-y＝3， ∴x＝y+3. ∵x＞-1， ∴y+3＞-1，即y＞-4. 又∵y＜0， ∴-4＜y＜0①， ∴-4+3＜y+3＜0+3， 即-1＜x＜3②， 由①+②得：-1-4＜x+y＜0+3， ∴x+y的取值范围是-5＜x+y＜3； （2）∵x-y＝a， ∴x＝y+a， ∵x＜-b， ∴y+a＜-b， ∴y＜-a-b. ∵y＞2b， ∴2b＜y＜-a-b， ∴a+b＜-y＜-2b①， 2b+a＜y+a＜-b， 即2b+a＜x＜-b， ∴6b+3a＜3x＜-3b② 由①+②得：7b+4a＜3x-y＜-5b， ∵-2＜3x-y＜10， ∴ ， 解得： 即a＝3，b＝-2． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解一元一次不等式和解二元一次方程组，理解阅读材料，列出不等式和方程组是解题的关键． 6．阅读理解： 例1．解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2． 例2．解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程|x﹣2|＝3的解为 　 　； （2）解不等式：|x﹣2|≤1． （3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8． （4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）x=-1或x=5；（2）1≤x≤3；（3）x＞5或x＜-3；（4）a<6 【分析】（1）利用在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数求解即可； （2）先求出|x-2|=3的解，再求|x-2|≤3的解集即可； （3）先在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解，即可得出不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集； （4）原问题转化为：a大于或等于|x+2|+|x-4|最大值，进行分类讨论，即可解答． 【详解】解：（1）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为-1或5， ∴方程|x-2|=3的解为x=-1或x=5； （2）在数轴上找出|x-2|=1的解． ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程|x-2|=1的解为x=1或x=3， ∴不等式|x-2|≤1的解集为1≤x≤3． （3）在数轴上找出|x-4|+|x+2|=8的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和-2对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或-2的左边． 若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3， ∴方程|x-4|+|x+2|=8的解是x=5或x=-3， ∴不等式|x-4|+|x+2|＞8的解集为x＞5或x＜-3． （4）原问题转化为：a小于|x+2|+|x-4|最小值． 当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2， 当-2＜x＜4，|x+2|+|x-4|=x+2-x+4=6， 当x≤-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2-x+4=-2x+2， 即|x+2|+|x-4|的最小值为6． 故a<6． 【点睛】本题主要考查了绝对值，方程及不等式的知识，是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目． 7．如图，这是一个计算程序示意图，规定从“输入一个值x”到“判断结果是否大于等于1”为一次运算． 例如：开始输入x的值为，运行第一次：．因为，所以需要运行第二次：．因为，则输出结果为3. (1)当时，输出结果为_____；当时，输出结果为_____． (2)要使开始输入的x值只经过一次运行就能输出结果，求x的取值范围； (3)若经过两次运行后输出的结果为2.6，求出此时输入的x的值． 【答案】(1)1，5 (2) (3) 【分析】（1）先代值计算出第一次运行的结果，再比较结果为1的大小，若结果大于等于1，则输出，若小于1，则把结果作为新数输入求解即可； （2）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （3）根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，运行第一次：， ∴输出结果为1， 当时，运行第一次：， ∵， ∴运行第二次：， ∵， ∴输出结果为5． （2）解：由题意得，， 解得． （3）解：由题意得，第一次运算后的结果为， ∵经过两次运行后输出的结果为2.6， ∴， 解得． 8．下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 y系数化成1，得．……第五步 (1)任务一：上述过程中，第一步的依据是 ； (2)任务二：小明第 步出现错误，这一步错误的原因是； (3)任务三：请帮助小明写出正确的解题过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)不等式的性质2 (2)二；去括号后括号中第二项没变号 (3)，数轴表示见解析 【分析】（1）根据不等式的性质分析即可； （2）根据小明的解题步骤逐步分析即可； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】（1）解：第一步不等式的两边同时乘以6，依据是不等式的性质2； （2）解：小明第二步出现错误，这一步错误的原因是去括号后括号中第二项没变号； （3）解：， 不等式两边同乘以6，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， y系数化成1，得， 在数轴上表示不等式的解集如下： 3. 一元一次不等式的应用 9．根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 泉州土笋冻是独具地方风味的特色小吃，以其独特口感享誉一方.为满足外地食客的需求，某土笋冻经销商与京东快递公司合作推出线上销售，产品有精品装和优惠装两种.以下是销售的相关素材信息，请根据素材完成后续任务. 素材二 精品装 优惠装 每盒100克，售价15元 每盒300克，售价35元 问题解决 (1)任务一：试营业期间，该经销商共卖出土笋冻320盒，销售总收入为9600元，请问精品装和优惠装各销售了多少盒？ (2)任务二：现在需要对7500克土笋冻进行分装，既有精品装也有优惠装，且恰好将这7500克土笋冻整盒分装完.精品装包装盒每个成本为2元，优惠装包装盒每个成本为1.8元.若要将购买包装盒的成本控制在55元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由. 【答案】(1)销售精品装80盒，优惠装240盒 (2)分装成3盒精品装，24盒优惠装（或分装成6盒精品装，23盒优惠装），理由见解析 【分析】（1）设销售精品装盒，优惠装盒，根据售价列方程求解即可； （2）设可以分装成精品装盒，则分装成优惠装盒，求出的取值范围，根据，均为正整数写出方案即可； 【详解】（1）解：设销售精品装盒，优惠装盒，依题意， 得， 解得， 则， 答：销售精品装80盒，优惠装240盒. （2）解：分装成3盒精品装，24盒优惠装（或分装成6盒精品装，23盒优惠装），理由如下： 设可以分装成精品装盒，则分装成优惠装盒， 根据题意，得 ， 解得：， 又∵，均为正整数， ∴可以为3，6， ∴共有2种分装方案， 方案1：分装成3盒精品装，24盒优惠装； 方案2：分装成6盒精品装，23盒优惠装． 答：分装成3盒精品装，24盒优惠装（或分装成6盒精品装，23盒优惠装）． 10．如图，是某牛奶的“营养成分表”及相关说明．（注表示牛奶中相关营养的含量占一个人每日所需该种营养总量的百分比的参考值） 假设一个同学每日所需相关营养的含量恰好符合根据该牛奶“营养成分表”中的信息计算出的结果，请解决下列问题： (1)该同学每日所需碳水化合物是 ； (2)该同学的钙的吸收率为，求他每天喝多少毫升的该牛奶，才能恰好满足一天的钙的摄入？（不计其他渠道摄入的钙） (3)该同学某天早餐喝了该牛奶，吃了一个鸡蛋和一块牛排（每牛排中蛋白质含量为）．如果他在早餐中摄入的蛋白质全部吸收，且已经超过当日他所需蛋白质总量，那么这块牛排的质量至少是多少克？（用一元一次不等式解决问题，结果保留整数．） 【答案】(1)275 (2) (3)241 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用，关键是： （1）根据表格中给出数据直接计算即可； （2）设该同学每天喝毫升的该牛奶，根据该同学喝的牛奶的含钙量钙的吸收率营养表中的含钙量列方程即可； （3）这块牛排的质量是克，根据他摄入蛋白质的总量之和营养表中的蛋白质量，列出不等式即可． 【详解】（1）解：该同学每日所需碳水化合物为：， 故答案为：275； （2）设该同学每天喝毫升的该牛奶， 根据题意得：， 解得， 答：该同学每天喝毫升的该牛奶，才能恰好满足一天的钙的摄入； （3）这块牛排的质量是克， 根据题意得：， 解不等式得：， 取整数， 的最小值为241， 答：这块牛排的质量至少是． 11．【问题背景】 某校筹备“卧龙岗文化节”知识竞赛，计划采购文创盲盒作为奖品，分为「武侯祠款」和「医圣祠款」两种． 素材1（无促销价） 购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元； 购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元． 素材2（促销活动） 商店推出两种采购方案： 方案一（线下会员）：花35元激活联名会员卡，所有盲盒按标价7折购买； 方案二（线上商城）：所有盲盒直接8折包邮． 【问题解决】 (1)无促销时，「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买两种盲盒共40个，其中「武侯祠款」盲盒个（）． 选择方案一购买，共需______________元； 选择方案二购买，共需______________元； （用含的代数式表示） (3)在（2）的条件下，请你帮学校算一算，当「武侯祠款」盲盒的购买数量在什么范围内时，选择方案一更划算？ 【答案】(1)无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元 (2)； (3)当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算 【分析】（1）设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元，根据“购买15个「武侯祠款」、10个「医圣祠款」，共需220元；购买25个「武侯祠款」、25个「医圣祠款」，共需425元”，列出方程组进行求解即可； （2）根据两种方案，列出代数式即可； （3）根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设「武侯祠款」与「医圣祠款」盲盒的单价分别为元，元， 由题意，得：， 解得． 答：无促销时，「武侯祠款」单价10元，「医圣祠款」单价7元． （2）解：选择方案一购买，共需元； 选择方案二购买，共需元． （3）解：由题意，得， 解得：， 又因为，且为整数，所以（为整数）． 答：当「武侯祠款」盲盒购买数量在（为整数）时，选择方案一更划算． 12．综合与实践：某班数学组对某商场进行调研后了解到如下信息： 市场调研 信息一 某体育用品商店新购进4个篮球和5个足球，共付款980元，已知每个篮球比每个足球贵20元． 信息二 该体育用品商店将足球按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个足球的利润仍不低于26元． 问题解决 (1)设每个篮球的进价为元，则每个足球的进价为__________元（用含的式子表示）； (2)求每个篮球和足球的进价； (3)求出信息二中的足球的最多打多少折． 【答案】(1) (2)每个篮球的进价为120元，每个足球的进价为100元 (3)七折 【分析】（1）根据每个篮球比每个足球贵20元，列出代数式，即可求解； （2）根据购进4个篮球和5个足球，共付款980元，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据每个足球的利润仍不低于26元，列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每个篮球的进价为元，每个篮球比每个足球贵20元，则每个足球的进价为元； （2）根据题意得，解得， 所以（元）， 答：每个篮球的进价为120元，每个足球的进价为100元； （3）设信息二中的足球打折， 由题意可得， 解得， 答：信息二中的足球最多打七折． 4. 一元一次不等式组 13．解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示解集如图： 14．解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后找出解集内的所有整数即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以，不等式组的解集为， 所以，不等式组的所有整数解为． 15．定义：若一个不等式组有解且解集为，则称为的解集中点值；若的解集中点值是不等式（组）的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）包含不等式组的解集中点值． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，证明不等式组包含不等式组的解集中点值； (2)已知关于的不等式组以及不等式组，若不等式组包含不等式组的解集中点值，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组和不等式组若不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为9，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的取值范围为或 【分析】（1）先求解不等式组的解集，在求取中点值，即可确定不等式（组）包含不等式组的解集中点值． （2）先求解不等式组，由不等式组必须有解，可确定，确定不等式组的解集中点值，的解集中点值是不等式（组）的解，得到，解得，结合，即可确定的取值范围． （3）由不等式组的解集，确定不等式组的解集中点值，求解不等式组的解集，不等式组包含不等式组的解集中点值，得到，解得，此时存在两种情况，若取正整数值，仅可取，此时；可取负整数，则仅可取，此时． 【详解】（1）解：解不等式组得， 的解集中点值为． 不等式组包含不等式组的解集中点值． （2）解不等式组，得 显然不等式组必须有解， 故，即， 不等式组的解集中点值为． 由不等式组知， 即解得即． 又， （3）由不等式组，得，其解集中点值为 由不等式组，得． ， 即解得 存在两种情况 ①取正整数值，即仅可取， 则显然，此时； ②可取负整数，则仅可取， 此时， 此时． 综上所述，的取值范围为或． 不等式组包含不等式组的解集中点值，且所有符合要求的整数之和为， 【点睛】本体考查新定义、求解不等式组解、求不等式组的参数、整数解等问题，理解不等式解集中点值、分情况讨论是解题关键． 16．已知关于x、y的方程满足方程组，若x、y均为非负数． (1)求m的取值范围； (2)化简式子． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）先判断和的正负，然后根据绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：， 解得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 5. 一元一次不等式组的应用 17．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 18．3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 【答案】(1)A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元； (2)商家共有3种进货方案． 【分析】（1）设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元，利用表格信息建立方程组解题即可； （2）设采购A种围棋m套．则采购B种围棋套，利用商家准备购进A，B两种围棋共40套，获利不低于1280元，再建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 19．某工厂计划生产A、B两种产品共15件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 3 4 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利23万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元，问工厂有哪几种生产方案？ (3)在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【答案】(1)A种产品应生产件，B种产品生产件； (2)有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； (3)生产A种产品4件，B种产品11件的方案获利最大，最大利润为37万元 【分析】（1）设A产品应生产x件，则B产品应生产件，根据“工厂计划获利23万元”及两种产品的利润列方程求解即可； （2）设A产品应生产a件，则B产品应生产件，根据“工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元”列出不等式组，求出，即可得到答案； （3）分别求出三种方案获利，比较即可． 【详解】（1）解：设A产品应生产x件，则B产品应生产件， ∵工厂计划获利23万元， ∴， 解得：， ∴， 即A种产品应生产件，B种产品生产件； （2）解：设A产品应生产a件，则B产品应生产件， ∵工厂计划投入资金不多于56万元，且获利多于31万元， ∴， 解得： ∴， 可知有三种生产方案：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件；第二种A种产品应生产件，B种产品生产件；第三种A种产品应生产件，B种产品生产件； （3）解：第一种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第二种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 第三种A种产品应生产件，B种产品生产件获利（万元）； 可知第一种获利最大，最大利润为37万元． 20．合肥公交公司计划购进新能源汽车，新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车2辆，共需280万元． (1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)若该公司为合肥文化园公交线路在（1）的基础上，准备购买A型和B型两种新能源公交车共计10辆，总费用不超过630万元，请你根据要求设计购买方案． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需60万元，购买型新能源公交车每辆需80万元 (2)一共有2种购买方案：方案1：购买A型公交车9辆，B型公交车1辆；方案2：购买A型公交车10辆，B型公交车0辆 【分析】（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元，根据购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；购买A型公交车2辆，B型公交车2辆，共需280万元建立方程组求解即可； （2）设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆，根据购买费用不超过630万元，且非负求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元， 由题意得，，解得， 答：购买型新能源公交车每辆需60万元，购买型新能源公交车每辆需80万元； （2）解：设购买A型公交车m辆，则购买B型公交车辆， 由题意得， ，解得， ， ， ，且为整数， 当时，，当时，， 答：一共有2种购买方案： 方案1：购买A型公交车9辆，B型公交车1辆； 方案2：购买A型公交车10辆，B型公交车0辆． 6. 不等式、不等式组中的含参问题 21．定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （3）根据新定义可得不等式组，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集为即可求出m的值． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵解集为， ， 解得． 22．已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出方程组的解，再根据“为负数，为非正数”列不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质得到，进而求出的取值范围，再求整数解即可． 【详解】（1）解：解方程组得 ∵为负数，为非正数， （2）解：∵ ∴ ∵的解集为 当为或时，不等式的解集为． 23．已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，则________； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，可化简为________． 【答案】(1)2 (2) (3)3 【分析】本题考查二元一次方程组的解的应用、由二元一次方程组的解的符号求参数范围、绝对值的化简，解题的关键是先解方程组，用参数的代数式表示、，再结合条件列方程或不等式求解； （1）先解方程组，用含的代数式表示、，再代入列方程求的值； （2）先解方程组，再根据，列不等式组，求解的取值范围； （3）解题核心是根据（2）中得到的的取值范围，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号化简． 【详解】（1）解： ， 得， 解得， 把代入①得， 方程组的解为， 把代入得， 解得； （2）该方程组的解满足为正数，为负数， ，解得； （3）， ． 24．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：，如． (1)若，求的值； (2)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义建立方程，解一元一次方程即可得； （2）根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得． （2）解：由题意得：， ， ∵， ∴， 解得， 所以不等式的最大整数解为． (一)、 不等式性质理解与应用错误 这是最根本、最高频的错误来源。 易错点描述 典型错误示例 错因分析与正确做法 1. 乘除负数时，忘记改变不等号方向​ 由 -3x > 6，解得 x > -2。 错因：系数化为1时，两边同除以负数 -3，未改变不等号方向。 正解：x < -2。 口诀：负乘除，必变号。 2. 忽视未知数系数的符号（含参问题）​ 解关于 x的不等式 ax > b，直接得 x > 。 错因：未对系数 a的正、负、零进行分类讨论。 正解：需分 a > 0， a < 0， a = 0三种情况讨论解集。 3. 误用等式的性质​ 由 a > b， 推出 ac² > bc²。 错因：错误认为 c²一定为正。实际上 c² ≥ 0，当 c=0时，ac² = bc²。 正解：ac² ≥ bc²。 1．已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 2．如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式组无解即两个不等式的解集没有公共部分，据此确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：当时，不存在x同时满足和，不等式组无解， 因此m的取值范围是． (二)、 解一元一次不等式过程中的计算错误 在“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”五步中，每一步都可能出错。 易错点描述 典型错误示例 错因分析与正确做法 4. 去分母时，漏乘不含分母的项​ 解不等式> 3，去分母得 x-1 > 3。 错因：右边常数项 3没有乘以最简公分母 2。 正解：x-1 > 6，解得 x > 7。 5. 去括号时，符号或系数出错​ 解不等式 2 - (3x+1) > 5，去括号得 2 - 3x + 1 > 5。 错因：括号前是负号，去括号后第二项 +1未变号。 正解：2 - 3x - 1 > 5。 6. 移项时，忘记改变符号​ 解不等式 2x + 3 < 5x - 1，移项得 2x - 5x < -1 + 3。 错因：移项过程正确，但此步本身易错。需牢记：移项要变号（从一边移到另一边，符号改变）。 7. 合并同类项或系数化为1时，基本计算失误​ 解 -4x ≤ 8，得 x ≤ -2。 错因：两边同除以 -4后，不等号方向应改变，且 8 ÷ (-4) = -2。 正解：x ≥ -2。 3．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了4次才停止，则满足x的最小整数为______． 【答案】2 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第一次，，此时不满足，不能输出，作为新值重新输入计算， 当输入时，第二次，此时，此时不满足，不能输出，作为新值重新输入计算， 当输入时，第三次，此时，此时不满足，不能输出，作为新值重新输入计算， 当输入时，第四次，此时，此时满足， 解得， 故满足x的最小整数为2． 4．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】根据不等式的解集为，判断的符号，得到与的数量关系和的符号，再求解不等式即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 不等式的解集为，不等号方向发生改变， ， 根据不等式的性质，不等式两边同除以得， ， 整理得， ，即， ， 对于不等式， 根据不等式的性质，不等式两边同除以（，不等号方向不变），得， 将代入得． (三)、 不等式组的解集判断与表示错误 易错点描述 典型错误示例 错因分析与正确做法 8. 解集公共部分判断错误​ 解集为 x > 2且 x < 1，误认为有解。 错因：未利用数轴或口诀判断。x > 2与 x < 1没有公共部分。 正解：无解。口诀：大大小小无处找（无解）。 9. 数轴表示解集时，混淆“空心”与“实心”​ 将 x ≥ 2在数轴上表示为：在 2处画空心圈，向右画线。 错因：≥表示包含 2，应画实心点；>或 <才画空心圈。 10. 由不等式组的解集反求参数时，忽视等号​ 已知不等式组 {x > a, x < 3}的解集为 x < 3，求 a的范围，错误得出 a < 3。 错因：当 a = 3时，解集为 x > 3且 x < 3，无解，不满足题意。需检验边界。 正解：a ≥ 3。 5．若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解每个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①，移项得，系数化为得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 不等式组恰有个整数解，整数解为， 的取值范围是． 6．已知关于x的一次方程． (1)若该方程的解满足，求m的取值范围； (2)若在（1）的条件下，m是最大整数且满足不等式，求该不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键． （1）先求出方程的解，再根据得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可； （2）先求出m的值，再代入不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 依题意得， 解得． （2）解：由（1）知， 的最大整数为1． 把代入不等式，得． 解得， 不等式的解集为． （四）、 实际应用与综合问题中的错误 易错点描述 典型错误示例 错因分析与正确做法 11. 忽略未知数的实际意义​ 应用题求得人数 x = 3.5，直接作为答案。 错因：人数必须是正整数。解出不等式后，需从解集中筛选符合实际意义的解。 12. 列不等式时，抓不住关键不等词​ “至少”、“不超过”、“不足”等词与不等号的对应关系混淆。 关键：“至少”对应 ≥，“不超过”对应 ≤，“不足”对应 <。审题时务必圈出关键词。 13. 求特殊解（如整数解）时，遗漏端点值​ 解集为 -2 < x ≤ 3，求整数解，漏掉 -1或 3。 正解：在数轴上标出范围，逐一列举：-1, 0, 1, 2, 3。 7．已知关于x的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)取何值时，该不等式有解？并求出解集． 【答案】(1) (2)当时有解；解集：或 【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键． （1）将代入不等式，进行求解即可； （2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，不等式化为：， ∴， 解得：； （2）， ∴， ∴当，即：时，不等式有解集； 当时，，即：； 当时，，即：． 8．观察下列不等式及其解集的特征： ①的解集是 ②的解集是 ③的解集是， …… 根据观察得到的规律，解决下列问题． (1)第5个不等式为______ (2)第n个不等式为______，其解集为______ (3)根据上述规律，解关于x的不等式（a为正整数）． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据所给不等式，类比出第五个不等式即可解答； （2）根据所给不等式，归纳出第n个不等式及其解集即可解答； （3）根据规律运用（2）中的结论求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：①的解集是 ②的解集是 ③的解集是， ④的解集是， ⑤的解集是． 故答案为：． （2）解：解：①的解集是 ②的解集是 ③的解集是， …… n.的解集是． 故答案为，． （3）解： ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式、找规律等知识点，根据题意找出不等式的解集规律是解答本题的规律． 9．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围； （2）根据不等式的解集为，结合不等式的性质得到，求解得到的范围，再结合（1）的结论，找出范围内的整数即可． 【详解】（1） 解： ， 得， 两边同除以，得， ， ，解得； （2）解：不等式的解集为， ，解得， 结合（1）的结论，得， 该范围内的整数为． 三、 易错终结 二、 压轴题精讲 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $