期末巅峰冲刺核心考点深度解析与压轴题精讲------二元一次方程组 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以“概念-解法-应用-探究”为逻辑主线，构建“方法提炼+易错警示+素养提升”三维训练体系，突出消元思想的系统性迁移与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3个定义|方程解与方程组解的辨析|从“二元”到“一元”的转化思想| |核心解法|2类方法|代入消元“五步流程”、加减消元“系数化同”技巧|解法选择与方程特征的匹配| |实际应用|6类题型|“审设列解验答”六步模型|实际问题数学化的抽象过程| |知识延伸|8道压轴题|参数问题整体代入法、新定义问题迁移策略|概念拓展与逻辑推理的结合| |错误分析|3类典型错例|符号处理“全变法则”、检验“双重标准”|错误归因与解题规范的强化|

2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------二元一次方程组 一、 基础概念：方程与解 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax + by = c（其中a、b、c为常数，且a≠0，b≠0）。 2. 二元一次方程组 定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。 3. 方程（组）的解 二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值。一个二元一次方程有无数个解。 二元一次方程组的解：方程组中两个方程的公共解。通常一个方程组有唯一解、无解或无穷多解三种情况。 二、 核心解法：消元法 解方程组的基本思想是 “消元”​ —— 将“二元”转化为“一元”。主要方法有两种： 方法 关键步骤与技巧 适用情况 代入消元法​ 1. 变：从一个方程中，用一个未知数表示另一个未知数（如 y = ax + b）。 2. 代：将表达式代入另一个方程，消去一个元。 3. 解：解所得的一元一次方程。 4. 回：将解代回表达式，求另一个未知数。 5. 写：联立写出解 {x = p, y = q}。 某个方程中未知数系数为1或-1，易于变形。 加减消元法​ 1. 化：将两个方程变形，使同一个未知数的系数相反或相等。 2. 加减：将两式相加或相减，消去一个元。 3. 解：解所得的一元一次方程。 4. 回：将解代入任一原方程，求另一个未知数。 5. 写：联立写出解。 两个方程中，同一未知数的系数相等、相反或成整数倍关系。 三、 实际应用：列方程组解应用题 核心是将实际问题转化为数学模型（方程组）。 1. 一般解题步骤： 审：分析题意，找出已知量和未知量。 设：用字母表示两个关键未知数。 列：找出两个等量关系，列出两个方程，组成方程组。 解：选择合适的方法解方程组。 验答：检验解是否符合题意和实际，并写出完整答案。 2. 常见题型与等量关系： 和差倍分问题：总量=部分量之和；倍数关系。 行程问题：路程=速度×时间；相遇问题（路程和）、追及问题（路程差）。 工程问题：工作量=工作效率×工作时间；常设总工作量为“1”。 配套问题：甲部件数量:乙部件数量 = 配套比例。 销售利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%。 四、 知识延伸与探究 1. 已知解求参数：将方程组的解代入原方程，得到关于参数的方程求解。 2. 方程组解的情况初步判断（拓展）： 在将方程组化简后，若得到一个恒等式（如 0=0），则方程组有无穷多解。 若得到一个矛盾等式（如 0=5），则方程组无解。 1. 二元一次方程及解 1．A、B、C三人到某饭店就餐，该饭店有若干种配菜可供选择，每种配菜有大份、中份、小份三种，且每种配菜大、中、小份的价格分别为8元、m元、n元，其中3≤n<m<8，m，n均为整数，三人每种配菜都选择了一种份量，对于每一种配菜，三人选择的份量也各不相同．结账时，B和C两人共花费了106元，A花费了89元，则A在大份量的配菜上共花费__________元． 2．七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． （1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是________分． （2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问（1）班有多少人得满分？ ②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 3．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 4．在下边的的方格图中，已经有3格分别填入11、18、20三个数，如果中心方格填入的数为，且每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于．试用和的代数式填在相应的空格内，并求出、的值． 11 18 20 2. 二元一次方程组核心解法 5．我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． （1）若关于、的方程组，为共轭方程组，则_____，_____； （2）若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是____________； （3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）； 的解为______；的解为_____；的解为______． （4）发现：若共轭方程组的解是则、之间的数量关系是______． 6．在综合与实践活动中，活动小组的同学对网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的数据进行了编号，并对脚长的数据bn定义为[bn]如表： 序号n 1 2 3 4 5 6 … 鞋号an 22 23 24 25 26 27 … 脚长bn 160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 … 脚长[bn] 160 165 170 175 180 185 … 定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，则m﹣2≤bn≤m+2．如：[b5]＝180表示180﹣2≤b5≤180+2，即178≤b5≤182． （1）通过观察表，猜想出an与序号n之间的关系式，[bn]与序号n之间的关系式； （2）用含an的代数式表示[bn]，计算鞋号为44的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为261毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？ 7．仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 (1)仿照上述方法解方程组： (2)已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 8．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 3. 二元一次方程组实际应用 9．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 (1)若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 (3)连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，此时的度数？ 10．长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足．     (1)直接写出点的坐标：，； (2)如图1，若点在轴上，，求满足条件的点的坐标；（注：表示三角形的面积，表示三角形的面积） (3)如图2，过点作交轴于点，点是线段上一动点（不与端点和重合），连接，．在直线的上方有一点，连接，，平分，平分，在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 12．根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元 素材二 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 问题解决 (1)任务1：求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)任务2：某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 4. 二元一次方程组含参问题 13．解答下列各题： (1)的平方根为 ，的立方根为，c为的整数部分，求的算术平方根； (2)甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙由于看错了，得方程组的解为，试求出原方程组中的，，的值． 14．在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：________； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 15．如图1，，点A，B分别在直线上，射线绕点从射线顺时针旋转至射线后便立即回转，这样不停来回旋转；射线绕点从射线逆时针旋转至射线后停止．若两条射线同时转动45秒，则射线与射线恰好成一直线．射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且a，b是方程的正整数解． (1)__________，__________；__________． (2)如图2，两条射线同时转动，在射线到达之前，若两条射线交于点，且，求此时的度数． (3)若射线先转动20秒，射线才开始转动，在射线到达之前，射线转动几秒时与射线互相平行？ 16．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． （一）、 概念理解错误 1. 混淆“方程的解”与“方程组的解” 错误：认为 {x=1, y=2}和 {x=2, y=1}都是方程组 的解。 辨析：一个二元一次方程有无数个解。而方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程。上例中 {x=2, y=1}只满足第一个方程，不满足第二个，因此不是方程组的解。 避坑：检验是否为方程组的解时，必须代入所有方程进行验证。 1．已知方程：①，②． (1)根据方程①填写下表： x 2 1 ______ ______ y ______ ______ 2 (2)根据方程②填写下表： x 3 ______ ______ y ______ ______ 2 (3)根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解． 2．已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？（二）、 解法过程错误（核心失分区） 1. 代入消元时，忘记“加括号” 错误示例：解方程组 。 将 y=2x-3代入第二式时写成：3x+2 2x-3=8（错误！）。 正确做法：代入的式子是一个整体，必须加括号：3x+2(2x-3)=8。 2. 加减消元时，符号处理出错 错误示例：消元 。 用①-②时，误以为 2y - (-4y) = 2y - 4y。 正确做法：①-② 得：(3x-3x) + [2y - (-4y)] = 7-1→ 0 + (2y+4y)=6→ 6y=6。 口诀：减式各项符号要全变，然后相加。 3. 系数变形时，漏乘常数项 错误示例：用加减法解 ，为使x系数相等，①×3，②×2。 错误写成：6x+9y=12， 6x+8y=17。 正确做法：①×3 得：(2x3)+(3y3)=12 3→ 6x+9y=36。等式两边每一项都要乘。 3．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 4．已知二元一次方程组． (1)求的值； 甲，乙两位同学分别给出下列思路，请补全乙的思路； 甲的思路：先解方程组，求出、的值，再代入，计算求值； 乙的思路：将，得______． (2)求的值．请根据丙的思路完成解答． 丙的思路：设(其中m，n是常数)，先求m，n的值，再求的值． （三）、 实际应用错误 1. 设未知数时，单位不明确或意义不清 错误：“设甲为x，乙为y”。 正确：“设甲的速度为x km/h，乙的时间为y小时”。未知数应带单位或明确含义。 2. 找错等量关系，列错方程 典型陷阱：行程问题中，混淆“相遇时间”与“各自运动时间”；利润问题中，混淆“利润”与“利润率”公式。 避坑：仔细审题，抓住关键语句，必要时通过画线段图、列表格来梳理数量关系。 3. 解出答案后，忽略“双重检验” 检验1：数学检验。将解代入原方程组，看是否成立。 检验2：实际意义检验。检查解是否符合现实（如人数为正整数、速度不为负等）。这是最容易被忽略的一步。 5．按要求完成下列问题： 项目 内容 背景 某农副产品集散中心以4000元/吨的价格收购散装果蔬，经过精细化加工，分装成优质礼盒果蔬对外以6400元/吨批发销售（仅按果蔬净重计，礼盒重量不计入计价重量）． 素材1 加工流程与消耗： 1．第一道程序（分拣清洗）：每处理1吨散装果蔬，需要消耗“专用内衬保鲜袋”10个，“等级标识卡”5张． 2．第二道程序（精美包装）：每产出1吨优质礼盒果蔬（净重），需要消耗“精品礼盒箱”20个，“食品安全追溯码”20张． 素材2 数据统计与成本说明： 1．当日消耗：全程合计消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”共3500个；消耗“等级标识卡”与“追溯码”共2750张． 2．成本：所有包装耗材（袋子、箱子、卡片等）的平均采购单价为1．5元/个（或张）． 3．收支平衡：分拣产生普通果蔬的销售收入，恰好用于支付当日的人工、水电、场地租金等所有其他开支． (1)若设该集散中心当日收购散装果蔬x吨，加工出优质礼盒果蔬（净重）y吨，请填写下表， x吨当日收购散装果蔬 y吨礼盒果蔬（净重） 消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”数量 消耗“等级标识卡”与“追溯码”数量 (2)任务1：求该集散中心当日收购散装果蔬多少吨？加工出优质礼盒果蔬净重多少吨？ (3)任务2：求当日这批优质果蔬礼盒全部销售完毕后的利润是多少元？（利润=优质礼盒果蔬销售额-原果收购成本-包装物料成本） 6．某体育用品商店销售、两款足球，售价和进价如下表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 该商店第一次购进10个款足球和20个款足球，共花费2000元；第二次购进20个款足球和30个款足球，共花费3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，恰好花费3600元． 甲同学认为：购买A款足球的数量越多，商场获得的利润越高； 乙同学认为：购买B款足球的数量越多，商场获得的利润越高． 请你通过计算判断：甲、乙两名同学的观点是否正确，并说明理由． （四）、 书写与习惯错误 1. 解的表达不规范 正确格式是用大括号联立两个未知数的值：。 2. 只写答案，没有关键过程 在考试中，关键的“变形”、“代入”、“加减”步骤是得分点，必须清晰呈现。 7．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 8．已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------二元一次方程组 （解析版） 一、 基础概念：方程与解 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax + by = c（其中a、b、c为常数，且a≠0，b≠0）。 2. 二元一次方程组 定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程。 3. 方程（组）的解 二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值。一个二元一次方程有无数个解。 二元一次方程组的解：方程组中两个方程的公共解。通常一个方程组有唯一解、无解或无穷多解三种情况。 二、 核心解法：消元法 解方程组的基本思想是 “消元”​ —— 将“二元”转化为“一元”。主要方法有两种： 方法 关键步骤与技巧 适用情况 代入消元法​ 1. 变：从一个方程中，用一个未知数表示另一个未知数（如 y = ax + b）。 2. 代：将表达式代入另一个方程，消去一个元。 3. 解：解所得的一元一次方程。 4. 回：将解代回表达式，求另一个未知数。 5. 写：联立写出解 {x = p, y = q}。 某个方程中未知数系数为1或-1，易于变形。 加减消元法​ 1. 化：将两个方程变形，使同一个未知数的系数相反或相等。 2. 加减：将两式相加或相减，消去一个元。 3. 解：解所得的一元一次方程。 4. 回：将解代入任一原方程，求另一个未知数。 5. 写：联立写出解。 两个方程中，同一未知数的系数相等、相反或成整数倍关系。 三、 实际应用：列方程组解应用题 核心是将实际问题转化为数学模型（方程组）。 1. 一般解题步骤： 审：分析题意，找出已知量和未知量。 设：用字母表示两个关键未知数。 列：找出两个等量关系，列出两个方程，组成方程组。 解：选择合适的方法解方程组。 验答：检验解是否符合题意和实际，并写出完整答案。 2. 常见题型与等量关系： 和差倍分问题：总量=部分量之和；倍数关系。 行程问题：路程=速度×时间；相遇问题（路程和）、追及问题（路程差）。 工程问题：工作量=工作效率×工作时间；常设总工作量为“1”。 配套问题：甲部件数量:乙部件数量 = 配套比例。 销售利润问题：利润=售价-进价；利润率=利润/进价×100%。 四、 知识延伸与探究 1. 已知解求参数：将方程组的解代入原方程，得到关于参数的方程求解。 2. 方程组解的情况初步判断（拓展）： 在将方程组化简后，若得到一个恒等式（如 0=0），则方程组有无穷多解。 若得到一个矛盾等式（如 0=5），则方程组无解。 1. 二元一次方程及解 1．A、B、C三人到某饭店就餐，该饭店有若干种配菜可供选择，每种配菜有大份、中份、小份三种，且每种配菜大、中、小份的价格分别为8元、m元、n元，其中3≤n<m<8，m，n均为整数，三人每种配菜都选择了一种份量，对于每一种配菜，三人选择的份量也各不相同．结账时，B和C两人共花费了106元，A花费了89元，则A在大份量的配菜上共花费__________元． 【答案】80 【分析】由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以106+89=195应是每一种菜品的总价的整数倍，即（8+m+n)×a=195，根据题意求出整数倍，可得n=3,m=4,a=13，再设A选了大份量的x份，中份量的y份，构造方程求解即可． 【详解】解：由题意知，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了， 则有106+89=195应是每一种菜品的总价的整数倍 设该饭店一共有a种配菜，则（8+m+n)×a=195 ∵3≤n<m<8，m，n均为整数 ∴n=3,m=4,a=13 设A选了大份量的x份，中份量的y份，则有 8x+4y+3×(13-x-y）=89 ∴5x+y=50 ∴x=10，y=0 则A在大份量配菜上共花费了8×10=80元 故答案为：80 【点睛】本题考查列代数式，二元一次方程的整数解等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考题中填空的压轴题． 2．七年（1）（2）两班各40人参加垃圾分类知识竞赛，规则如图．比赛中，所有同学均按要求一对一连线，无多连、少连． （1）分数5，10，15，20中，每人得分不可能是________分． （2）七年（1）班有4人全错，其余成员中，满分人数是未满分人数的2倍；七年（2）班所有人都得分，最低分人数的2倍与其他未满分人数之和等于满分人数． ①问（1）班有多少人得满分？ ②若（1）班除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等，问哪个班的总分高？ 【答案】（1）15；（2）①七年级（1）班有24人得满分；②七年级（2）班的总分高． 【分析】（1）分别对连正确的数量进行分析，即可得到答案； （2）①设七年（1）班满分人数有x人，则未满分的有人，然后列出方程，解方程即可得到答案； ②根据题意，先求出两个班各分数段的人数，然后求出各班的总分，即可进行比较． 【详解】解：（1）根据题意， 连对0个得分为0分； 连对一个得分为5分； 连对两个得分为10分； 连对四个得分为20分； 不存在连对三个的情况，则得15分是不可能的； 故答案为：15． （2）①根据题意， 设七年（1）班满分人数有x人，则未满分的有人，则 ， 解得：， ∴（1）班有24人得满分； ②根据题意，（1）班中除0分外，最低得分人数与其他未满分人数相等， ∴（1）班得5分和10分的人数相等， 人数为：（人）； ∴（1）班得总分为：（分）； 由题意，（2）班存在得5分、得10分、得20分，三种情况， 设得5分的有y人，得10分的有z人，满分20分的有人， ∴， ∴， ∴七（2）班得总分为： （分）； ∵， ∴七（2）班的总分高． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握题目的等量关系，列出方程进行解题． 3．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 4．在下边的的方格图中，已经有3格分别填入11、18、20三个数，如果中心方格填入的数为，且每行、每列、每条对角线上的3个数之和都等于．试用和的代数式填在相应的空格内，并求出、的值． 11 18 20 【答案】见解析， 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的解法，先根据每行、每列、每条对角线的和都等于，用和表示空格中的数；再利用中心数与和的关系及某条线的和建立方程，求解和的值． 【详解】解：由题意可得第一行第三个数为， 由题意可得第二行第三个数为， 由题意可得第三行第一个数为， 由题意可得第三行第三个数为， 由题意可得第三行第三个数为， 根据对角线3个数之和为，列出方程可得， 整理得：， 解得： 2. 二元一次方程组核心解法 5．我们把关于、的两个二元一次方程与（）叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． （1）若关于、的方程组，为共轭方程组，则_____，_____； （2）若二元一次方程中、的值满足下列表格： 1 0 0 2 则这个方程的共轭二元一次方程是____________； （3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）； 的解为______；的解为_____；的解为______． （4）发现：若共轭方程组的解是则、之间的数量关系是______． 【答案】（1），1；（2）；（3），，；（4） 【分析】（1）根据共轭二元一次方程组定义可得解答1-a=2，b+2=3，解方程即可得到答案； （2）将x与y的对应值代入x+ky=b中，得到二元一次方程组，求出k与b的值，即可得到此方程的共轭二元一次方程； （3）分别根据代入法或是加减法解方程组； （4）观察（3）中x与y的关系即可得到答案. 【详解】（1）由题意得1-a=2，b+2=3， 解得a=-1，b=1，； （2）由题意得， 解得， ∴原方程为：， ∴这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解方程组， 由①得x=3-2y③， 将③代入②得，2（3-2y）+y=3， 解得y=1， 将y=1代入③得x=3-2=1， ∴原方程组的解为； 解方程组， ①-②得x-y=0， ∴x=y， 将x=y代入①得x=-2， ∴y=-2， ∴原方程组的解是； 解方程组， 由①得y=2x-4③， 将③代入②得-x+2（2x-4）=4， 解得x=4， 将x=4代入③得y=4， ∴原方程组的解是； （4）由（3）可知，解方程组的解是中与的数量关系是m=n. 【点睛】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键. 6．在综合与实践活动中，活动小组的同学对网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的数据进行了编号，并对脚长的数据bn定义为[bn]如表： 序号n 1 2 3 4 5 6 … 鞋号an 22 23 24 25 26 27 … 脚长bn 160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 … 脚长[bn] 160 165 170 175 180 185 … 定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[bn]＝m，则m﹣2≤bn≤m+2．如：[b5]＝180表示180﹣2≤b5≤180+2，即178≤b5≤182． （1）通过观察表，猜想出an与序号n之间的关系式，[bn]与序号n之间的关系式； （2）用含an的代数式表示[bn]，计算鞋号为44的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为261毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？ 【答案】（1）an＝21+n，[bn]＝5n+155；（2）鞋号为44的鞋适合的脚长范围是268mm～272mm；（3）应购买42号的鞋． 【分析】（1）由表格信息可得：鞋号比序号大 从而可归纳出an与序号n之间的关系式，再由时，当时，当时，从而可归纳出[bn]与序号n之间的关系式； （2）联立与消去可得答案，再求解当时，的值，从而可得答案； （3）由可得能被5整除，而，从而可得[bn]＝260，再将[bn]＝260代入中，可得答案． 【详解】解：（1）由表格信息可得：鞋号比序号大 则， 当时， 当时， 当时， 总结规律为： （2） 由①得： 整理为： 把代入得， 所以 则： 即． 答：鞋号为44的鞋适合的脚长范围是268mm～272mm； （3） 能被5整除， ∵， ∴由定义可得：[bn]＝260， 将[bn]＝260代入中 故应购买42号的鞋． 【点睛】本题考查的是关系式的规律探究，新定义的理解，构建二元一次方程组解决问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． 7．仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 整体代入法解方程组 在解方程组时，若方程组中未知数的系数关系比较复杂，直接代入会使计算繁琐，这时可以通过对方程进行变形，找到合适的整体间接代入． 例如：解方程组： 解：将方程②变形为，③ 把方程①代入方程③，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 (1)仿照上述方法解方程组： (2)已知x，y，z满足方程组，直接写出z的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 将②变形为 ③ 把①代入③，得， 解得 把代入①，得 解得 即原方程组的解为； （2）解： 将②变形为③ 把①代入③，得 整理得 解得． 8．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用“整体换元”法解二元一次方程组，读懂材料是解题的关键． （1）令，，根据方程组的解为，可得，进而可解； （2）令，，仿照材料中的作法，通过“整体换元”求解． 【详解】（1）解：令，， 关于的方程组的解为， ， 解得， 故答案为：； （2） 解：令，， 则原方程组可化为， 解得，即， 解得． 3. 二元一次方程组实际应用 9．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 (1)若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 (2)在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 (3)连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，此时的度数？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设的“系数补角”是，由“系数补角”定义列方程即可得出； （2）过作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据、的位置（异侧 / 同侧），结合平行线性质，用、表示和，代入“系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【详解】（1）解：设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是； （2）解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴； （3）解：由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上，的度数为或． 10．长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； (2)租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 【分析】（1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再设租用45座客车m辆，60座客车n辆，列出二元一次方程，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：， 解得：， 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； （2）解：由题意得：， 解得：， 所以七年级共人， 设租用45座客车m辆，60座客车n辆，满足： ， 化简得：， 因为m、n为正整数， 当时，，总租金为； 当时，，总租金为； ∵， ∴租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足．     (1)直接写出点的坐标：，； (2)如图1，若点在轴上，，求满足条件的点的坐标；（注：表示三角形的面积，表示三角形的面积） (3)如图2，过点作交轴于点，点是线段上一动点（不与端点和重合），连接，．在直线的上方有一点，连接，，平分，平分，在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)的值不会变化，的值为． 【分析】（1）根据非负数的性质建立关于的方程组，求解即可； （2）先求出，得到，进而求出，设，则可得，即可解答； （3）过点作，过点作，设，则，求出，，即可解答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）知， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， ∴， ∴或， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）解：过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， 设，则， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值不会变化，的值为． 12．根据以下素材，探索完成任务． 素材一 某体育用品商场销售A、B两款足球，A款、B款足球的进价分别为60元、80元，售价分别为90元、120元．若该商场在3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元 素材二 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案（两种方案不可叠加使用）； ①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球； ②A款、B款足球均打九折销售 问题解决 (1)任务1：求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？ (2)任务2：某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？ 【答案】(1)3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个 (2)选择促销方案①更合适，理由见解析 【分析】（1）设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个，根据“3月份购进A款、B款两种足球共60个，进货共用4400元”建立二元一次方程组求解即可； （2）分别计算两个方案的费用，再比较即可． 【详解】（1）解：设3月份该商场购进A款足球个，B款足球个． 根据题意得， 解得． 答：3月份该商场购进A款足球20个，B款足球40个； （2）解：选择促销方案①所需费用为（元）； 选择促销方案②所需费用为（（元）， 因为，所以选择促销方案①更合适． 4. 二元一次方程组含参问题 13．解答下列各题： (1)的平方根为 ，的立方根为，c为的整数部分，求的算术平方根； (2)甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙由于看错了，得方程组的解为，试求出原方程组中的，，的值． 【答案】(1)2 (2)，， 【分析】（1）先根据平方根定义，立方根定义，无理数的估算方法，求出a、b、c的值，再代入求出的值，最后求出其算术平方根即可； （2）把甲的结果代入方程组求出的值，得到关于与的方程，将乙结果代入第二个方程得到与的方程，联立求出与的值即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为 ，的立方根为， ∴，， 解得：，， ∵，即， 又∵c为的整数部分， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为2； （2）解：把代入方程组得：， 解得：， 把代入方程组中第二个方程得：，即， 联立得：， 整理得：得：， 把代入②得：． 综上：，，． 14．在现代高等代数领域中，可以将关于x，y的二元一次方程组的系数排成一个表，这种由数排成的表叫做矩阵．例如：二元一次方程组可以写成矩阵的形式． 【知识应用】 (1)将二元一次方程组写成矩阵形式为：________； (2)若矩阵所对应的二元一次方程组的解为，求a与b的值； (3)若矩阵对应的二元一次方程组的解为，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据矩阵的定义即可得出答案． （2）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，即可得出a，b的值． （3）根据矩阵的定义得出二元一次方程组，然后代入二元一次方程组的解，然后得出，，然后代入式子求值即可． 【详解】（1）解：二元一次方程组写成矩阵形式为：， （2）解：∵矩阵所对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：． 解得：． （3）解：∵矩阵对应的二元一次方程组为， 把代入方程组可得出：， 则， ∴． 15．如图1，，点A，B分别在直线上，射线绕点从射线顺时针旋转至射线后便立即回转，这样不停来回旋转；射线绕点从射线逆时针旋转至射线后停止．若两条射线同时转动45秒，则射线与射线恰好成一直线．射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且a，b是方程的正整数解． (1)__________，__________；__________． (2)如图2，两条射线同时转动，在射线到达之前，若两条射线交于点，且，求此时的度数． (3)若射线先转动20秒，射线才开始转动，在射线到达之前，射线转动几秒时与射线互相平行？ 【答案】(1)3；1； (2) (3)射线转动或或时， 【分析】（1）根据a，b是方程的正整数解，即可求解； （2）利用平行线的性质求得，利用三角形内角和定理列式计算即可求解； （3）分三种情况讨论，利用平行线的性质分别列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵a，b是方程的正整数解， ∴，， 当转动45秒时，， ∵两条射线同时转动45秒，则射线与射线恰好成一直线， ∴； （2）解：如图，交于点，设转动的时间为秒， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：由题意得， ①若到达前，， 又∵， ∴， 即， 解得；     ②若到达后返回，， 又∵， ∴， 即， 解得；     ③若到达后返回，， 又∵， ∴， 即， 解得．     ∴综上，射线转动或或时，． 16．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． （一）、 概念理解错误 1. 混淆“方程的解”与“方程组的解” 错误：认为 {x=1, y=2}和 {x=2, y=1}都是方程组 的解。 辨析：一个二元一次方程有无数个解。而方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程。上例中 {x=2, y=1}只满足第一个方程，不满足第二个，因此不是方程组的解。 避坑：检验是否为方程组的解时，必须代入所有方程进行验证。 1．已知方程：①，②． (1)根据方程①填写下表： x 2 1 ______ ______ y ______ ______ 2 (2)根据方程②填写下表： x 3 ______ ______ y ______ ______ 2 (3)根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解决本题的关键是要理解二元一次方程解的定义． （1）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值； （2）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值； （3）根据（1）（2）表格中的值找出满足方程①又满足方程②的公共解． 【详解】（1）解：填表如下： x 2 1 0 y 10 6 2 （2）解：填表如下： x 3 2 y 4 2 （3）解：根据表格可得方程组的解是． 2．已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． （二）、 解法过程错误（核心失分区） 1. 代入消元时，忘记“加括号” 错误示例：解方程组 。 将 y=2x-3代入第二式时写成：3x+2 2x-3=8（错误！）。 正确做法：代入的式子是一个整体，必须加括号：3x+2(2x-3)=8。 2. 加减消元时，符号处理出错 错误示例：消元 。 用①-②时，误以为 2y - (-4y) = 2y - 4y。 正确做法：①-② 得：(3x-3x) + [2y - (-4y)] = 7-1→ 0 + (2y+4y)=6→ 6y=6。 口诀：减式各项符号要全变，然后相加。 3. 系数变形时，漏乘常数项 错误示例：用加减法解 ，为使x系数相等，①×3，②×2。 错误写成：6x+9y=12， 6x+8y=17。 正确做法：①×3 得：(2x3)+(3y3)=12 3→ 6x+9y=36。等式两边每一项都要乘。 3．下面是小林同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得，        第一步 把③代入②，得．      第二步 整理，得．      第三步 解得．          第四步 把代入③，得．所以该方程组的解为      第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了___________消元法．（填“代入”或“加减”） ②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________． 任务二： 请你用合适的方法求出该方程组的解． 【答案】任务一：①代入；②三；应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2；任务二：． 【分析】本题考查了二元一次方程组． 任务一：①由解析过程可知为代入消元法； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：根据代入消元法计算即可． 【详解】解：任务一：①由解析过程可知为代入消元法； 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 故答案为：三，应用乘法对加法的分配律时，括号内的第二项没有乘2； 任务二：③， 把③代入②，得． 整理，得． 解得． 把代入③，得． 所以该方程组的解为． 4．已知二元一次方程组． (1)求的值； 甲，乙两位同学分别给出下列思路，请补全乙的思路； 甲的思路：先解方程组，求出、的值，再代入，计算求值； 乙的思路：将，得______． (2)求的值．请根据丙的思路完成解答． 丙的思路：设(其中m，n是常数)，先求m，n的值，再求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意计算，即可求解； （2）根据题意得出，求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】（1）解：将，得 （2）解： 解得 （三）、 实际应用错误 1. 设未知数时，单位不明确或意义不清 错误：“设甲为x，乙为y”。 正确：“设甲的速度为x km/h，乙的时间为y小时”。未知数应带单位或明确含义。 2. 找错等量关系，列错方程 典型陷阱：行程问题中，混淆“相遇时间”与“各自运动时间”；利润问题中，混淆“利润”与“利润率”公式。 避坑：仔细审题，抓住关键语句，必要时通过画线段图、列表格来梳理数量关系。 3. 解出答案后，忽略“双重检验” 检验1：数学检验。将解代入原方程组，看是否成立。 检验2：实际意义检验。检查解是否符合现实（如人数为正整数、速度不为负等）。这是最容易被忽略的一步。 5．按要求完成下列问题： 项目 内容 背景 某农副产品集散中心以4000元/吨的价格收购散装果蔬，经过精细化加工，分装成优质礼盒果蔬对外以6400元/吨批发销售（仅按果蔬净重计，礼盒重量不计入计价重量）． 素材1 加工流程与消耗： 1．第一道程序（分拣清洗）：每处理1吨散装果蔬，需要消耗“专用内衬保鲜袋”10个，“等级标识卡”5张． 2．第二道程序（精美包装）：每产出1吨优质礼盒果蔬（净重），需要消耗“精品礼盒箱”20个，“食品安全追溯码”20张． 素材2 数据统计与成本说明： 1．当日消耗：全程合计消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”共3500个；消耗“等级标识卡”与“追溯码”共2750张． 2．成本：所有包装耗材（袋子、箱子、卡片等）的平均采购单价为1．5元/个（或张）． 3．收支平衡：分拣产生普通果蔬的销售收入，恰好用于支付当日的人工、水电、场地租金等所有其他开支． (1)若设该集散中心当日收购散装果蔬x吨，加工出优质礼盒果蔬（净重）y吨，请填写下表， x吨当日收购散装果蔬 y吨礼盒果蔬（净重） 消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”数量 消耗“等级标识卡”与“追溯码”数量 (2)任务1：求该集散中心当日收购散装果蔬多少吨？加工出优质礼盒果蔬净重多少吨？ (3)任务2：求当日这批优质果蔬礼盒全部销售完毕后的利润是多少元？（利润=优质礼盒果蔬销售额-原果收购成本-包装物料成本） 【答案】(1)；；； (2)当日收购散装果蔬150吨，加工出优质礼盒果蔬净重100吨 (3)利润为30625元 【分析】（1）根据题目给出的各工序耗材消耗规则，用含，的代数式表示对应耗材数量； （2）根据总耗材数量列出二元一次方程组，求解得到，的值； （3）根据题目给出的利润公式，代入，的值计算得到最终利润． 【详解】（1）解：由题意可得x吨散装果蔬，消耗内衬保鲜袋数量为，y吨礼盒果蔬，消耗精品礼盒箱数量为，x吨散装果蔬，消耗等级标识卡数量为，y吨礼盒果蔬，消耗追溯码数量为，因此表格从左到右从上到下依次填入；；；． x吨当日收购散装果蔬 y吨礼盒果蔬（净重） 消耗“内衬保鲜袋”与“精品礼盒箱”数量 消耗“等级标识卡”与“追溯码”数量 （2）解：根据总耗材数量，列方程组 解得 答：该集散中心当日收购散装果蔬150吨．加工出优质礼盒果蔬净重100吨． （3）解：各项成本与收入总耗材数量： 包装物料成本：（元） 优质礼盒销售额：（元） 原果收购成本：（元） 利润：（元） 答：当日这批优质果蔬礼盒全部销售完毕后的利润是30625元． 6．某体育用品商店销售、两款足球，售价和进价如下表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 该商店第一次购进10个款足球和20个款足球，共花费2000元；第二次购进20个款足球和30个款足球，共花费3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商店一次性购买A款足球x个和B款足球y个，恰好花费3600元． 甲同学认为：购买A款足球的数量越多，商场获得的利润越高； 乙同学认为：购买B款足球的数量越多，商场获得的利润越高． 请你通过计算判断：甲、乙两名同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)总利润恒为1200元，与无关，甲、乙同学观点都错误 【分析】（1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再根据总利润=单件利润×数量，计算总利润即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意可列方程组，得 解得， 所以，． （2）解：款单个利润：（元），款单个利润：（元） 由题意得， ∴． ∴商场获得的利润（元） 综上所述，总利润恒为1200元，与无关，甲、乙同学观点都错误． （四）、 书写与习惯错误 1. 解的表达不规范 正确格式是用大括号联立两个未知数的值：。 2. 只写答案，没有关键过程 在考试中，关键的“变形”、“代入”、“加减”步骤是得分点，必须清晰呈现。 7．小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，，0 【详解】解：将代入②，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 故 8．已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把x与y的值代入中，求出的值； （2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由（1）知， 当时，． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $