第八章实数期末巅峰冲刺卷 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦实数核心概念与运算，通过概念辨析、几何应用、新定义探究等多元题型，构建从概念到应用的完整知识逻辑链，强化抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|第1、5题|无理数识别与性质判断|从实数分类到性质推导，夯实概念基础| |运算应用|第6、16题|平方根立方根计算与方程求解|运算规则→逆向应用，培养运算能力| |几何与实际应用|第3、4、19、22题|面积计算与数轴表示|几何直观→实际问题，体现应用意识| |新定义与探究|第7、10、12、21题|规律探究与新运算应用|抽象建模→推理验证，发展推理意识|

2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 第八章------实数期末巅峰冲刺卷（解析版） 一、单选题 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.1415926 C． D． 【答案】A 【详解】解：开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数． 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的y等于（    ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：当输入的时，取算术平方根为9，是有理数； ∴当输入的时，取算术平方根为3，是有理数； ∴当输入的时，取算术平方根为，是无理数． ∴输出的y等于． 3．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，则图中两块阴影部分面积的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，用右边长方形面积减去正方形面积即可． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴右边长方形面积为， ∴阴影部分的面积和为． 4．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出正方形对角线长，确定点表示的数，再根据的位置确定整数点表示的数，最后利用数轴上两点间距离公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，正方形的边长为1， 根据勾股定理，正方形的对角线长为， 点表示的数为， ∵，且是右侧最近的整数点， ∴点表示的数为2， ∴的长为． 5．下列说法正确的是（   ） A．是分数 B．如果，那么 C．若，那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 【答案】D 【分析】本题主要考查实数，逐一分析各选项的正误，结合数学定义及反例进行判断即可． 【详解】解：A、是无理数，不是分数，原说法错误，本选项不符合题意； B、如果，那么或或，原说法错误，本选项不符合题意； C、取反例，，满足，但，故原说法错误，本选项不符合题意； D、两个无理数的和不一定是无理数，说法正确，符合题意， 故选：D． 6．的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了平方根的意义．正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方根，且互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：∵，的平方根分别是，， ∴，互为相反数且都不为0， ∴， ∴， 故选：B 7．如图所示的图形都是由“”构成的，观察图形变化规律，若图中有361个“”，则的值为（   ）    A．13 B．12 C．19 D．18 【答案】D 【分析】 由图中可得规律得出图中的“”有个，令，进行计算即可得到答案． 【详解】解：由图可得： 图1中的“  ”有（个）； 图2中的“  ”有（个）； 图3中的“  ”有（个）； 图4中的“  ”有（个）； ……； 图中的“  ”有个， 图中有361个“  ”，， 解得：或（舍去）， 第18个图形有361个“  ”， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了图形类规律探索，解题的关键是根据图形找出一般规律：图中的“  ”有个． 8．如果一个比m小2的数的平方等于，那么m等于（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意得出，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 即， ∴， ∴或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，根据题意列出方程结合平方根的意义求解是关键． 9．在 与 之间有（   ）个立方数 A．9 B．10 C．57 D．58 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方数的概念，指数运算，立方根的概念，理解相关概念并估算立方数在给定范围内的个数是解题关键． 先确定与的范围，设某个整数的立方在这个范围内，推出，即可求解． 【详解】解：，， 且立方数是可表示为某个整数的三次幂的数， 设某个整数的立方在这个范围内， ， ， ， ， 的取值范围为， ． 故选：D． 10．对任意两个有理数有如下运算：，有下列四个结论：①；②；③对任意有理数，有；④若，则其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的运算，解题的关键是掌握新定义运算法则． 根据新运算定义，逐项计算或推理判断． 【详解】解：①  ， ①错误； ②  ， ， ②正确； ③  ，， ∴， ③正确； ④ ∵，， 若，则，即或， 或，不一定， ④错误 综上，正确结论的序号是②③， 故选：C． 二、填空题（每小题3分。共15分） 11．如图，无理数可以用数轴上点____________来表示．（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】利用夹逼法估算出的范围即可. 【详解】解：∵， ∴， 故无理数可以用数轴上点表示. 12．对于任意非零实数a，b，定义新运算“”：，，，，…，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，乘方运算，解题的关键是总结出新定义的运算法则． 通过观察给定的例子，发现运算“⊕”满足关系式 ，代入，即可求解． 【详解】解：由定义，， 代入，， 得， 故答案为：． 13．已知a、b都表示数、定义运算：“◇”“◆”，，解方程：．未知数x的值是________． 【答案】7 【分析】本题考查定义新运算，解方程，根据新定义将方程转化为，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7 14．小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，掌握平方数和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方数和绝对值的非负性可知，，即，，先求出的值，把的值代入，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 15．若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么_________． 【答案】11 【分析】本题考查平方根以及阅读信息取整符号等知识，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先计算出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解： ， ， ， … ， ∴原式， ∴， 故答案为：11． 三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的证明计算过程） 16．（9分）计算题 (1)计算： (2)若一个正数x有两个不同的平方根为和，求x和m的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算和正数的平方根的含义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先计算立方根，绝对值和二次根式的乘法运算，再进行加减运算即可； （2）根据正数的平方根的意义可得，求出m的值进而求出这个正数即可． 【详解】（1）解：原式 （2）由题意得， 解得 17．(9分)已知4的算术平方根是a，b的立方根是1， (1)求a，b的值； (2)求的平方根． (3)若一个正数的平方根是与，的立方根是求的平方根 【答案】(1)2；1 (2) (3) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，能熟记平方根，算术平方根，立方根的定义的内容是解此题的关键． （1）根据算术平方根，立方根的定义求出a，b即可； （2）求出的值，再求出平方根即可； （3）根据正数的平方根互为相反数，可得与的关系，根据解一元一次方程，可得的值，根据开立方运算，可得的值，根据有理数的加法运算，可得的值，根据开平方运算，可得答案． 【详解】（1）∵4的算术平方根是a，b的立方根是1， ； （2）∵， 的平方根是； （3）一个正数的平方根是与， 解得， ∵的立方根是2， ， 解得， ， 的平方根是． 18．（8分）已知在数轴上点A，点B所对应的数为a，b满足． (1)填空：______，______． (2)若点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，设运动时间为t秒． ①当，求点A到点B的距离． ②若点P所对应的数为7，当点A到点P的距离恰好为时，求点B所对应的数．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)，3 (2)①1；② 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值，算术平方根的，解题的关键是掌握数轴知识，非负数的性质，数轴上两点间的距离． （1）利用非负数的性质解答； （2）利用数轴知识和实数的意义解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①由(1)得， 当时， 点，点表示的数分别为：， 此时， 点到点的距离为1； ②点表示数，点所对应的数为7， 点移动向右移动个单位后，点位于点右侧， 移动后点表示的数为，移动了秒， 点移动了秒， 点所对应的数为：． 19．（8分）劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 【答案】(1) (2)故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地 【分析】（1）通过平移拼接，将含小路的草坪转化为边长的正方形，计算面积即可； （2）按长宽比设未知数，求出所需白菜地的实际长，与空地边长比较判断是否可行． 【详解】（1）解：根据题意可知，草坪种植的面积为． （2）解：设白菜地的长为，则宽为， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 则白菜地的长为，宽为， ，， ，则， 故在这块空地上不能修建出符合要求的白菜地． 20．（8分）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 【答案】（1）10；（2）见解析 【分析】（1）用大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得出阴影部分面积； （2）边长为的正方形，则面积为，则每个三角形的面积为，据此作图即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2）边长为的正方形，则面积为， 则每个三角形的面积为， 则作图如下： . 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用网格求出周围四个小三角形的边长． 21．（8分）阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． 解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得___________________． 答：该大正方形的边长是_________________． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 【答案】(1) (2)该大正方形的边长是 【分析】本题考查了算术平方根；熟练掌握图形的拆补是解题的关键． （1）拼成的正方形面积等于原2个小正方形的面积；进一步求边长即可； （2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可； 【详解】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得． 答：该大正方形的边长是 故答案为：． （2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则 由边长的实际意义，得 答：该大正方形的边长是． 22．（12分）综合与实践 课题 中山市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 计算结果 【任务驱动】某中学课外活动小组制做了精美的中山市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮． 【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形包装封皮 【解决问题】请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】正方形卡片能直接装进长方形封皮中 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设长方形的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程，，     即，     解得：， ， ，     由正方形卡片的面积为，得正方形卡片的边长为，     ，， ，     故正方形卡片能直接装进长方形封皮中． 23．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 【答案】(1)正方形的面积为，正方形的边长为，这个值在3与4之间 (2) (3) 【分析】（1）先求得正方形的面积，再开方求得正方形的边长为，再根据，可得，从而可得这个值在3与4之间； （2）先根据，得出，从而可得，再代入求值即可； （3）先写出前几个，再找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】（1）解：正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴这个值在3与4之间； （2）∵阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，， ∴， ∴， ∴ （3）∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为； ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， ∵点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为， ∴点表示的数为， … 以此类推， 点表示的数为． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，无理数整数部分的有关计算，图形类规律探索，实数与数轴等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 试卷第16页，共17页 试卷第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 第八章------实数期末巅峰冲刺卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B．3.1415926 C． D． 2．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的时，输出的y等于（    ） A．9 B．3 C． D． 3．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，则图中两块阴影部分面积的和是（    ） A． B． C． D． 4．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．是分数 B．如果，那么 C．若，那么 D．两个无理数的和不一定是无理数 6．的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 7．如图所示的图形都是由“”构成的，观察图形变化规律，若图中有361个“”，则的值为（   ）    A．13 B．12 C．19 D．18 8．如果一个比m小2的数的平方等于，那么m等于（　　） A． B． C． D．或 9．在 与 之间有（   ）个立方数 A．9 B．10 C．57 D．58 10．对任意两个有理数有如下运算：，有下列四个结论：①；②；③对任意有理数，有；④若，则其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 二、填空题（每小题3分。共15分） 11．如图，无理数可以用数轴上点____________来表示．（填“A”或“B”） 12．对于任意非零实数a，b，定义新运算“”：，，，，…，则__________． 13．已知a、b都表示数、定义运算：“◇”“◆”，，解方程：．未知数x的值是________． 14．小红同学在做题的时候不小心将墨水滴到了作业本上恰好遮住了一个数字，得到一个不完整的方程，则被遮住的“？”代表的数字为______． 15．若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么_________． 三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的证明计算过程） 16．（9分）计算题 (1)计算： (2)若一个正数x有两个不同的平方根为和，求x和m的值 17．(9分)已知4的算术平方根是a，b的立方根是1， (1)求a，b的值； (2)求的平方根． (3)若一个正数的平方根是与，的立方根是求的平方根 18．（8分）已知在数轴上点A，点B所对应的数为a，b满足． (1)填空：______，______． (2)若点A，点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，设运动时间为t秒． ①当，求点A到点B的距离． ②若点P所对应的数为7，当点A到点P的距离恰好为时，求点B所对应的数．（用含m的代数式表示） 19．（8分）劳动教育是发挥劳动的育人功能，对学生进行热爱劳动、热爱劳动人民的教育活动．昆明某中学准备在校园里整理一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的白菜地．在这块空地上能否修建出符合要求的白菜地？请说明理由． 20．（8分）已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 21．（8分）阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程． (1)如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长． 解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则 由边长的实际意义，得___________________． 答：该大正方形的边长是_________________． (2)如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长． 22．（12分）综合与实践 课题 中山市景点卡片及封皮制作 图示、数据及计算 图示 相关数据说明 正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为 计算结果 【任务驱动】某中学课外活动小组制做了精美的中山市景点卡片，并为每一张卡片制作了一个特色的包装封皮． 【实践操作】A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形包装封皮 【解决问题】请你通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 23．如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，如图所示，我们把点滚到与数轴上，记为第一次翻滚，点与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第三次翻滚，与数轴的交点记为；点翻滚到数轴上时，记为第四次翻滚，与数轴的交点记为，…，以此类推，请问点表示的数为多少？ 试卷第16页，共17页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $