河北衡水中学2025-2026学年高一下学期综合素质评价三数学试题

2025-2026学年度高一年级下学期综合素质评价三 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分） 1．复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B．2 C．-2 D． 2．直径为6的球的表面积与体积（ ） A．， B．， C．， D．， 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．4 D． 4．直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．3 5．如图，圆柱的侧面积为，体积为，则以圆柱的底面为底面的圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 6．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米． A．80 B．120 C． D． 7．如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（ ） A．2 B． C． D．1 8．在三棱柱中，，，，点在平面的射影为点，若点在平面上运动，则线段长度的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 二、多项选择题（每题6分，少选部分分，错选不得分） 9．已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A．共轭复数 B．模长 C．复数在复平面内对应的点位于第三象限 D． 10．设a、b为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，在长方体中，，，点是平面上的动点，满足，以下说法正确的是（ ） A．长方体各棱、体对角线所在的16条直线中，共有48对异面直线 B．点在底面上的轨迹是一条直线 C．若角是直线和平面所成角，则的最大值是 D．不存在点，使得 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（每题5分，共15分） 12．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是_____． 13．已知，是半径为2的的两条直径，且与成角，现将沿直径折成直二面角，此时线段的长为_____． 14．已知正方体的棱长为3，点在棱上，，点在棱上（点异于，两点），若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段长的取值范围为_____． 四、解答题 15．（本题13分） 如图，在正方体中，、、、分别为、、中点． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面． 16．（本题15分） 在中，内角，，对应的边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 17．（本题15分） 如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点． （1）求证：平面． （2）求异面直线与所成的角． 18．（本题17分） 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本题17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $