精品解析：广东封开县广信中学 2025-2026学年八年级数学下学期期中卷

2025-2026学年八年级数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各式中为二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，把形如的式子叫二次根式，据此判断即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二次根式，该选项符合题意； 、无意义，该选项不符合题意； 、不是二次根式，该选项不符合题意； 、是整数，属于整式，该选项不符合题意； 故选：． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并，∴A错误． 选项B：，∴B正确． 选项C：，∴C错误． 选项D：，∴D错误． 3. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为和，第三边为斜边， ∴根据勾股定理，第三边长为． 4. 下列选项的命题中，是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 正方形的四边相等 C. 矩形的四个角相等 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、正方形、矩形和直角三角形的性质，逐一判断命题真假即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等， ∴该命题是假命题； B、正方形的四条边都相等， ∴该命题是真命题； C、矩形的四个角都是直角， ∴四个角相等， ∴该命题是真命题； D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是直角三角形的重要性质， ∴该命题是真命题． 5. 如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长． 【详解】解：∵▱ABCD的周长为36， ∴2（BC＋CD）＝36，则BC＋CD＝18． ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12， ∴OD＝OB＝BD＝6． 又∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD， ∴OE＝BC， ∴△DOE的周长＝OD＋OE＋DE＝BD＋（BC＋CD）＝6＋9＝15， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质．解题时，利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质． 6. 如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 7. 如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．根据中位线定理可得对角线 的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：∵E，F分别是、边上的中点，， ∴， 又∵， ∴菱形的面积， 故选：C． 8. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天．星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得，身高，，，则风筝离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：，， 根据勾股定理得：， ∴风筝离地面的高度为： ， 故选：C． 9. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 10. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A. 20 B. C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可． 【详解】解：如图1， ∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点， ∴BM＝18﹣6＝12，BN＝10+6＝16， ∴MN＝＝20； 如图2， ∵AB＝18，BC＝GF＝12，BF＝10，点N是FG的中点， ∴PM＝18﹣6+6＝18，NP＝10， ∴MN＝＝＝2． ∵20＜2， ∴蚂蚁需要爬行的最短路程为20． 故选：A． 【点睛】本题考查平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 【答案】 8 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，利用外角和除以单个外角的度数，即可得到多边形的边数． 【详解】解：根据多边形外角和定理可得，该多边形外角和为， 已知该多边形每一个外角都是，因此边数． 12. 计算的结果等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算、平方差公式，利用平方差公式进行计算是解题的关键．先利用平方差公式化简，再利用二次根式的性质计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：1． 13. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据刻度尺刻度求出的长度，再利用直角三角形斜边中线的性质求出的长度． 【详解】解：由题意可知，． 在中，，是斜边上的中线， ． 14. 如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB的长即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作 ∵ ∴四边形矩形 ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：10． 15. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BDA=∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BDA=∠ADC=×120°=60°， ∵AB=AD（菱形的邻边相等）， ∴△ABD是等边三角形， 连接DE，∵B、D关于对角线AC对称， ∴DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB， ∵菱形ABCD周长为16， ∴AD=16÷4=4， ∴DE=． 故答案为：2． 【点睛】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根、绝对值、乘方、负整指数幂，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则对式子化简，再代入x的值，根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可． 【详解】证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质． （1）根据矩形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出矩形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据矩形性质，，且对角线互相平分， 即， ，在中，， ； 【小问2详解】 解：∵在中，， ， 根据勾股定理得：． 矩形面积为：． 20. 一架云梯长13m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙5m． （1）这个梯子AC的顶端A距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了3m，如图到达DE位置，那么梯子的底部在水平方向滑动的距离CE是多少米？ 【答案】（1）梯子的高为12 m；（2）(-5)m 【解析】 【分析】（1）直接根据勾股定理求出AB的长即可； （2）先根据梯子的顶端下滑了3米求出AD的长，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得出结论． 【详解】解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形， ∵BC＝5m AC＝13m． ∴由勾股定理得：AB＝＝12（m）， ∴梯子的高为12 m； （2）由题意可知DE＝AC＝13m， ∵AD＝3m， ∴BD＝12﹣3＝9（m）， 在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE＝＝＝2（m）， ∴﹣5）（m）． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解这在几何的计算问题中是经常用到的，请同学们熟记并且能熟练地运用它． 21. 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点A，B，他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画的的三边长分别是________，________，________，的面积为________； （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积； 【继续探究】 第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：，其中； 秦九韶公式：． （3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）． 【答案】（1），，，；（2）图见解析；的面积为3；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理计算的三边长；利用所在正方形的面积减去周围直角三角形的面积可求其面积； （2）仿照第一小组的方法利用勾股定理在正方形网格中画出，并利用割补法求其面积即可； （3）利用秦九韶公式，代入求值即可． 【详解】解：（1），，， 的面积， 故答案为，，，； （2）如图所示， 的面积； （3）将，，代入秦九韶公式， 得 ． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用以及二次根式的运算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【解析】 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ， ， ， 则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E， ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点， 设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 23. 中，，，点D在直线上运动，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． （1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段和线段的数量关系； （2）点D在线段上（不与点B，C重合）时，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的面积． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3）的面积为或 【解析】 【分析】（1）由旋转得， 当点D与点B重合时，则再说明，即可得出四边形是正方形，则此题可解； （2）如图2，作交于点F，则，先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而得出，然后根据勾股定理得，则此题可证； （3）分两种情况：当点D在线段上，作交于点F，交的延长线于点G，先由（2）得，可得，再结合已知条件得，然后求出，最后根据得出答案； 当点D在线段的延长线上，作交的延长线于点F，交的延长线于点G，先根据“边角边”证明，可得，再根据勾股定理得，进而得出，然后求出，最后根据得出答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 由旋转得， 当点D与点B重合时，则 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图2，作交于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，点D在线段上，作交于点F，交的延长线于点G， 由（2）得， ∴ ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图4，点D在线段的延长线上，作交的延长线于点F，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各式中为二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 4. 下列选项的命题中，是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 正方形的四边相等 C. 矩形的四个角相等 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5. 如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 24 6. 如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天．星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得，身高，，，则风筝离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A. 20 B. C. D. 18 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个多边形的每一个外角都是，则这个多边形的边数_____． 12. 计算的结果等于______． 13. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点，，对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则的长度为________． 14. 如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米． 15. 如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． （1）求的度数； （2）求矩形的面积． 20. 一架云梯长13m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙5m． （1）这个梯子AC的顶端A距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了3m，如图到达DE位置，那么梯子的底部在水平方向滑动的距离CE是多少米？ 21. 综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点A，B，他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画的的三边长分别是________，________，________，的面积为________； （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积； 【继续探究】 第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：，其中； 秦九韶公式：． （3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 23. 中，，，点D在直线上运动，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． （1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段和线段的数量关系； （2）点D在线段上（不与点B，C重合）时，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $