精品解析：2025年河南省新乡市河南师范大学附属中学中考三模数学试题

2025年九年级学业水平第三次模拟测评 《数学》试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义； 根据相反数的定义，进行作答，即可求解； 【详解】解：的相反数是2， 故选：B； 2. 如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案，解题的关键是正确理解三视图． 【详解】解：其俯视图是： 故选：． 3. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是直线的性质在实际生活中的运用，根据直线的性质“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是：两点确定一条直线． 故选：A． 4. 如图所示，直线相交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的定义，角度的计算．根据互为邻补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意：， ∵， ， 故选：C． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、二次根式的减法．根据运算法则分别计算即可判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式组的解集“大大取大”的原则确定a的取值范围 【详解】解：由题意可得 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键． 7. 如图，、在上，连接，，．平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了垂径定理，根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的平分线交于点，是半径， ∴，，，，故A、B、D正确； 选项C不能证明， 故选：C． 8. 为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：用表示祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共16种等可能得结果，其甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的情况有4种， ∴． 故选D 9. 综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为，圆心角为的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式，一元一次方程的应用，设张亮裁出的圆的半径应该为，根据弧长公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：设张亮裁出的圆的半径应该为，根据题意得： ， 解得：， 故选：A． 10. 周末，甲、乙两人相约沿同一路线从地出发骑行前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③、两地相距74400米；④乙比甲晚12分钟到达地．其中正确的是（　　） A. ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②；求出甲的总路程判断③；求出甲到达地时，乙离地的距离，判断④． 【详解】解：由题意得，乙的速度为米分；故①正确； 设甲的速度为米分．则有： ， 解得， 即甲出发时速度是米分， 分钟后甲的速度为（米分）， （分） （分） ∴当乙出发50分钟时，甲追上乙；故②错误； 由题意得，、两地相距（米）故③错误； ∵分钟乙的路程为（米） （分钟） 即乙比甲晚分钟到达地，故正确． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是单项式的次数，根据单项式中所有的字母指数和是单项式的次数即可得到答案． 【详解】解：单项式的次数是（次）， 故答案为：． 12. 已知代数式的值为，则的值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． 把所求代数式变形，再将整体代入求解． 【详解】解：由题意知： ． 故答案为：． 13. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．若数据“0.0000002”用科学记数法表示为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， ∴． 故答案：． 14. 某学校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校2000名学生进行随机抽样调查，收集整理最喜爱的书籍类型（A．科普，B．名著， C．杂志，D．其他）数据，绘制出如图所示两幅不完整的统计图．由此估计该校最喜爱名著的学生有___________名． 【答案】600 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用样本估计总体，根据喜爱A类的学生的人数除以所占的比例求出调查的总人数，进而求出喜欢C类的人数所占的百分比，再利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：， （名）； 故答案为：600． 15. 如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了四点共圆的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，三角形三边关系，熟练掌握相关知识的是解题的关键． 由题先证明四点共圆，得到，在的延长线上取，连接，证明，得到，求出；连接，得到，即，得到的最小值为． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ， ， ，平分， ，四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四点共圆， 设的中点为， 为的直径， 如图，在的延长线上取，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ； 如图，连接， ，即， 最小值为； 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的运算，分式的减法运算： （1）先进行负整数指数幂，化简二次根式，去绝对值运算，再合并即可； （2）先通分，化成同分母，再进行减法运算即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 17. 甲乙两支篮球队进行了5场比赛，比赛成绩绘制成了如下统计表． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 82 86 95 91 96 乙 106 90 85 87 82 李教练对上表数据进行简单整理分析，得到下表： 平均数 中位数 方差 甲 90 91 乙 70.8 请你根据上述信息，完成下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）比较大小：___________70.8（填“>”“=”或“<”）； （3）如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计，你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩？并简要说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）选派甲球队参赛更能取得好成绩，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数的公式、方差的公式以及中位数的定义，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平均数的公式以及中位数的定义逐一进行作答即可； （2）根据方差的公式进行作答即可； （3）根据甲乙两队平均数相同、甲队方差小，乙队方差大等内容，即可作答． 【小问1详解】 解：乙的平均数：； 把乙队的数从小到大排列，为，中位数； 故答案为：90，87； 【小问2详解】 解：甲队的方差， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：从平均分来看，甲乙两队平均数相同；从方差来看甲队方差小，乙队方差大，说明甲队成绩比较稳定；因此选派甲球队参赛更能取得好成绩． 18. 某校为了丰富“阳光大课间”，准备开展花样跳绳活动．某班经过同学投票，决定选购两种型号的跳绳．已知购买根型跳绳和根型跳绳共需元；购买根型跳绳和根型跳绳共需元． （1）购买根型跳绳和根型跳绳各需多少元？ （2）若班级计划购买两种型号的跳绳共根，总费用不超过元，则最多购买多少根型跳绳？ 【答案】（1）购买根型跳绳需元，1根型跳绳需元； （2）最多购买根型跳绳． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，列出方程组和一元一次不等式是解题的关键． （）设购买根型跳绳需元，根型跳绳需元，根据题意得，然后解二元一次方程组即可； （）设购买型跳绳根，则购买型跳绳根，由题意得，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：设购买根型跳绳需元，根型跳绳需元， 根据题意得：， 解得：， 答：购买根型跳绳需元，1根型跳绳需元； 【小问2详解】 解：设购买型跳绳根，则购买型跳绳根， 由题意，得：， 解得：， 因为为整数，所以的最大值为， 答：最多购买根型跳绳． 19. 如图，夏宇家一段长的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” （1）夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为___________； （2）请利用所学函数知识，求出夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积． 【答案】（1）40 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）求出夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解； （2）设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为，由题意可得求出，再由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍的长为，宽为， 故夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为； 故答案为：40 【小问2详解】 解：设夏宇方法所围成的矩形鸡舍的宽为，则长为，夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， 由题意可得：，， 解得：， 此时夏宇方法所围成的矩形鸡舍的面积为， ∵， ∴当时，最大，为， 故夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积为． 20. 如图，直线与双曲线交于点，． （1）求的值； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集； （3）点是坐标平面内一点．若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为___________． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，熟悉反比例函数性质是解题的关键． （1）将点，代入直线中得，再点代入反比例函数中得到； （2）找到函数图像中直线在双曲线下方的图像对应的横坐标范围即可； （3）先求出，，，设点，再分三种情况，再结合菱形的性质解决问题． 【小问1详解】 解：将点代入直线中得：， ∴， 将点代入直线中得：， ∴， 将点代入反比例函数中得：． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 由图象可知，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：，，， 设点， 当是对角线时，是临边，应该相等，故不符合题意； 当是对角线时，是临边，应该相等，故不符合题意； 当对角线时，是临边，， 且，解得：， 故． 综上，若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为． 故答案为： 21. 如图，矩形，连接． （1）请用无刻度直尺和圆规作点关于的对称点，连接，，与的交点记为；（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，则的长为___________． 【答案】（1）见解析 （2）等腰三角形，理由见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）过点B作的垂线，以垂足为圆心，点B和垂足之间的线段长为半径画弧交垂线于点，连接，，与的交点记为即可； （2）根据轴对称的性质 、矩形的性质、等量代换证明，即可得到结论； （3）设，则，利用勾股定理得到，即，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：为等腰三角形，理由如下： ∵点关于对称， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问3详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∴， 即， 解得， 即的长为． 故答案为： 【点睛】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，准确作图是解题的关键． 22. 如图1，在中，．点在上，经过两点，与交于另一点． （1）求证：直线是的切线； （2）如图2，若，． ①求阴影部分的面积； ②连接，的面积是___________． 【答案】（1）见解析 （2）①；②6 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，求不规则图形的面积，相似三角形的判定和性质： （1）连接，圆周角定理，得到，根据，得到，进而得到，即可得证； （2）①连接，易得，进而求出的长，利用三角形的面积减去扇形的面积求出阴影部分的面积即可；②证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 ①连接， 由（1）知：直线是的切线； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； ②连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：6． 23. 在中考复习阶段，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，孙阳同学分享了自己的做法，然后赵虎和李乐两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）张老师的问题：如图1，在中，，，点，在边上，且，连接．若，求的长． 孙阳的做法：如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 任务1：请你根据孙阳的做法，直接写出的长为___________． （2）赵虎的变式：如图3，在等边中，点，在边上，且，，连接．若，求的长． 任务2：请你类比孙阳的做法，写出完整的求解过程． （3）李乐的变式：如图4，在中，，，点在边上且，点在直线上．若，求的长． 任务3：请你类比孙阳的做法，直接写出的长为___________． 【答案】（1） （2），见解析 （3）或7 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，，证明；推出，利用勾股定理求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，得到，，，，证明，推出，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求解即可； （3）分点在上，点在延长线上，两种情况，同理（2）即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∴， 又∵， ∴； ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，连接，如图，则，，，． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点A作于点H， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点在上时，如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 当点在延长线上时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交延长线于点，则，，，， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或7． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定等，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级学业水平第三次模拟测评 《数学》试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 4 2. 如图是物理学中经常使用的型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4. 如图所示，直线相交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，、在上，连接，，．的平分线交于点，交于点，连接．下列结论错误的是（　　） A B. C. D. 8. 为了加深学生对数学文化的了解，某校开展了讲数学家故事的活动．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成除内容外，其余完全相同的四张卡片，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，甲从中随机抽取一张，记下数学家名字，放回洗匀后，乙再从中随机抽取一张，记下数学家名字，则甲、乙两名同学恰好都抽到中国数学家的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为，圆心角为的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A. B. C. D. 10. 周末，甲、乙两人相约沿同一路线从地出发骑行前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达地，乙一直保持原速前往地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程（单位：米）与乙骑行的时间（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③、两地相距74400米；④乙比甲晚12分钟到达地．其中正确的是（　　） A ①② B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 单项式的次数是__________． 12. 已知代数式的值为，则的值是___________． 13. 气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，质量轻、隔热能力强，可应用于航天、军工、建筑等领域，气凝胶颗粒尺寸通常小于．若数据“0.0000002”用科学记数法表示为，则的值为___________． 14. 某学校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校2000名学生进行随机抽样调查，收集整理最喜爱的书籍类型（A．科普，B．名著， C．杂志，D．其他）数据，绘制出如图所示两幅不完整的统计图．由此估计该校最喜爱名著的学生有___________名． 15. 如图，四边形中，，且，连接．若，则四边形的面积为___________，的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 甲乙两支篮球队进行了5场比赛，比赛成绩绘制成了如下统计表． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 82 86 95 91 96 乙 106 90 85 87 82 李教练对上表数据进行简单整理分析，得到下表： 平均数 中位数 方差 甲 90 91 乙 70.8 请你根据上述信息，完成下列问题： （1）填空：___________，___________； （2）比较大小：___________70.8（填“>”“=”或“<”）； （3）如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计，你认选派哪支球队参赛更能取得好成绩？并简要说明理由． 18. 某校为了丰富“阳光大课间”，准备开展花样跳绳活动．某班经过同学投票，决定选购两种型号跳绳．已知购买根型跳绳和根型跳绳共需元；购买根型跳绳和根型跳绳共需元． （1）购买根型跳绳和根型跳绳各需多少元？ （2）若班级计划购买两种型号的跳绳共根，总费用不超过元，则最多购买多少根型跳绳？ 19. 如图，夏宇家一段长的墙的旁边有一片空地（足够大），夏宇爸爸想用这段墙和长的篱笆围一个矩形鸡舍．爸爸说：“如图1，若把墙和篱笆全部用上，墙作为矩形的一边，其他三边用篱笆，所围成的矩形鸡舍面积最大；”夏宇说：“如图2，若只用墙的一部分，篱笆全部用上，还可以围出面积更大的矩形鸡舍．” （1）夏宇爸爸方法所围成的矩形鸡舍面积为___________； （2）请利用所学函数知识，求出夏宇方法所围成的矩形鸡舍的最大面积． 20. 如图，直线与双曲线交于点，． （1）求的值； （2）根据图象，请直接写出不等式的解集； （3）点是坐标平面内一点．若以、、、为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为___________． 21. 如图，矩形，连接． （1）请用无刻度直尺和圆规作点关于的对称点，连接，，与的交点记为；（不写作法，保留作图痕迹） （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，，则的长为___________． 22. 如图1，在中，．点在上，经过两点，与交于另一点． （1）求证：直线是切线； （2）如图2，若，． ①求阴影部分的面积； ②连接，的面积是___________． 23. 在中考复习阶段，追梦小组在张老师指导下，对等腰三角形展开了一场特别的探究，张老师先给出一道题，孙阳同学分享了自己的做法，然后赵虎和李乐两位同学分别对张老师的问题进行了不同的变式，具体如下： （1）张老师的问题：如图1，在中，，，点，在边上，且，连接．若，求的长． 孙阳的做法：如图2，把绕点顺时针旋转得到，得且；连接，在中利用勾股定理可求出的长；易证，从而求出的长． 任务1：请你根据孙阳的做法，直接写出的长为___________． （2）赵虎的变式：如图3，在等边中，点，在边上，且，，连接．若，求的长． 任务2：请你类比孙阳的做法，写出完整的求解过程． （3）李乐的变式：如图4，在中，，，点在边上且，点在直线上．若，求的长． 任务3：请你类比孙阳的做法，直接写出的长为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$