精品解析：河北新乐市第一中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

新乐市第一中学高二下学期月考 数学试题 2026.6 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图是根据的观测数据得到的散点图，可以判断变量，具有线性相关关系的图是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 360 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机事件、满足，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为（ ） A. B. C. 240 D. 60 8. 设函数，则关于的方程的实数根的个数不可能为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若不等式对恒成立，则实数的值可能为（ ） A. -2 B. -1 C. D. 2 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 回归直线恒过点，且至少过一个样本点； B. 随机变量，若方差，则； C. 若的展开式中二项式系数的和为64，则系数最大的项为第4项； D. 某项测量结果服从正态分布，，则． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 此函数的最大值为（为自然对数的底数） B. C. ，使 D. 若，有两个不等实根，则（为自然对数的底数） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：________ 13. 设，，若，则实数的值可以为_____． 14. 设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最值. 16. 河北省石家庄市某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下： 制作模型数（个） 花费时间（分钟） 参考数据：，． （1）请根据以上数据，求关于的线性回归方程； （2）若要制作个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间． 附：回归直线方程，其中，. 17. 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 18. 某社区对随机抽取的120名居民进行“安全卫生服务满意度”问卷调查，其中对社区“安全卫生服务”满意的男性居民占抽取调查人数的． 满意 不满意 合计 男性居民 60 女性居民 20 60 合计 120 （1）请根据调查结果将上面的列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验分析居民对“安全卫生服务”的满意程度是否有差异； （2）用分层随机抽样方法，从对社区“安全卫生服务”满意的居民中随机抽取9人，再从9人中随机抽取4人到其他社区交流学习，记这4人中女性居民的人数为，求的分布列与期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乐市第一中学高二下学期月考 数学试题 2026.6 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解对数不等式得到，再利用集合的交集、补集运算，计算即得解 【详解】由题意， 故， 故选：B 2. 如图是根据的观测数据得到的散点图，可以判断变量，具有线性相关关系的图是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下即可. 【详解】根据变量具有线性相关关系，则散点在某条直线附近，从左下至右上或从左上至右下， 所以③④图的变量具有线性相关关系. 故选：B 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将绝对值不等式化简，即可得到结果. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】根据场馆安排，对6名同学依次分组，利用分步乘法原则即可求得结果. 【详解】首先安排C场馆的3名同学，即； 再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即； 最后安排2名同学到丙场馆，即. 所以不同的安排方法有：种. 故选：B 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】，则， 故曲线在点处的切线方程为，即， 故选：B． 6. 已知随机事件、满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式，结合和事件概率公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以有， 因此， 故选：A 7. 已知随机变量，且，则的展开式中常数项为（ ） A. B. C. 240 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求出，再写出二项式展开式的通项，令，求出，再代入计算可得； 【详解】解：因为，所以所对应的正态曲线关于对称， 因为，所以，所以， 其中展开式的通项为， 令，解得，所以， 即展开式的常数项为； 故选：D 8. 设函数，则关于的方程的实数根的个数不可能为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数确定函数的单调性，进而得出函数的图象，数形结合得出方程实数根的个数. 【详解】 ， 即函数在上单调递减，在上单调递增 当时，，， 则函数与的图象如下图所示 平移直线可知，函数与的交点个数可能为 则关于的方程的实数根的个数可能为 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若不等式对恒成立，则实数的值可能为（ ） A. -2 B. -1 C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出不等式的解集为，根据不等式对恒成立，利用二次函数的性质，由求解. 【详解】不等式的解集是， 因为不等式对恒成立， 所以， 所以， 解得 ， 所以 实数的值可能为-1， 故选：BC 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，集合的基本关系的应用以及恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10. 下列说法中，正确的有（ ） A. 回归直线恒过点，且至少过一个样本点； B. 随机变量，若方差，则； C. 若的展开式中二项式系数的和为64，则系数最大的项为第4项； D. 某项测量结果服从正态分布，，则． 【答案】BD 【解析】 【分析】根据回归直线的几何性质判断A；先根据二项分布的方差公式求出，再根据二项分布求概率即可判断B；先根据二项式系数的和求出，再利用不等式组法即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D. 【详解】对于A，回归直线恒过样本中心，但未必经过其他样本点，故A错误； 对于B，由， 得，解得， 所以，故B正确； 对于C，因为的展开式中二项式系数的和为64， 所以，解得， 展开式的通项公式为， 令，解得， 又，故，所以系数最大的项为第5项，故C错误； 对于D，因为服从正态分布， 所以，故D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 此函数的最大值为（为自然对数的底数） B. C. ，使 D. 若，有两个不等实根，则（为自然对数的底数） 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性、零点情况，结合即可分析判断ABC；将题设等价转换为，令，则，即与有两个不交点，利用导数研究函数的单调性，作出的图像，利用数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以函数的最大值为，故A正确， 对于B，因为，且当时，单调递减， 所以，故B正确； 对于C，因为，当时，单调递减且，当时，单调递增， 所以函数有唯一零点， 因此由，由于函数的最大值为， 所以方程无实数解，不C错误； 对于D，有两个不等实根，则有两个不等的解， ，令，则， 由，所以，所以， 令有，由， 所以在单调递增，在单调递减，， 作出的图像： 由图可知， 所以有两个不等的解，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：________ 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的公式进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 13. 设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【解析】 【分析】由，得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. 14. 设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意只需，对函数求导，判断单调性求出最小值，对函数讨论对称轴和区间的关系，得到函数最小值，利用即可得到实数的取值范围. 【详解】若对于，，使成立，只需， 因为，所以， 当时，，所以在上是减函数， 所以函数取得最小值． 因为， 当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立； 当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，此时无解； 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最值. 【答案】（1）函数递增区间为和，递减区间为 （2）最大值，最小值． 【解析】 【分析】（1）根据f(x)导数的正负即可求其单调区间； （2）根据f(x)在上的单调性即可求其最值． 【小问1详解】 函数，． 当或时，；当， 故函数递增区间为和，递减区间为. 【小问2详解】 由(1)可得函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 则在上的最大值，最小值． 16. 河北省石家庄市某模具厂新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了次试验，收集数据如下： 制作模型数（个） 花费时间（分钟） 参考数据：，． （1）请根据以上数据，求关于的线性回归方程； （2）若要制作个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间． 附：回归直线方程，其中，. 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将数据代入最小二乘法公式，求出、的值，即可得出回归直线方程； （2）将代入回归直线方程，即可得出结果. 【小问1详解】 由数据得，， 因为，， 所以， 则， 所以关于的线性回归方程为． 【小问2详解】 当时，（分钟）， 因此可以预测制作个这种模型需要花费分钟． 17. 已知函数，. （1）若，求函数的极值； （2）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】（1）极大值为：；无极小值. （2）2 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可得函数极值的情况. （2）先把不等式化为在上恒成立.在利用，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可求的取值范围，进而确定的最小值. 【小问1详解】 当时，，. 所以，. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数有极大值，为；无极小值. 【小问2详解】 不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立. 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以的最小值为. 18. 某社区对随机抽取的120名居民进行“安全卫生服务满意度”问卷调查，其中对社区“安全卫生服务”满意的男性居民占抽取调查人数的． 满意 不满意 合计 男性居民 60 女性居民 20 60 合计 120 （1）请根据调查结果将上面的列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验分析居民对“安全卫生服务”的满意程度是否有差异； （2）用分层随机抽样方法，从对社区“安全卫生服务”满意的居民中随机抽取9人，再从9人中随机抽取4人到其他社区交流学习，记这4人中女性居民的人数为，求的分布列与期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表见解析，有差异 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）根据分层抽样的方法确定抽取男生、女生的人数，结合已知条件，得到的可能取值，再求出对应的概率即可求出分布列，利用求期望公式求期望即可. 【小问1详解】 因为对社区“安全卫生服务”满意的男性居民占抽取调查人数的， 所以对社区“安全卫生服务”满意的男性居民有（人）， 所以列联表如下： 满意 不满意 合计 男性居民 50 10 60 女性居民 40 20 60 合计 90 30 120 零假设为：居民对“安全卫生服务”满意程度无差异． 根据题表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立， 因此可以认为不成立， 即认为居民对“安全卫生服务”的满意程度有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05． 【小问2详解】 由（1）知对社区“安全卫生服务”满意的男性居民有50人，女性居民有40人， 用分层随机抽样的方法随机抽取9人， 则男性居民应抽取5人，女性居民应抽取4人， 再从9人中随机抽取4人到其他社区交流学习，记这4人中女性居民的人数为， 所以的所有可能取值为， 所以，， ，， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 所以． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1） 的定义域为（0，+），. 若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增. 若a＜0，则当时，时；当x∈时，. 故f（x）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为. 所以等价于，即. 设g（x）=lnx-x+1，则. 当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即. 【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $