精品解析：湖南长沙铁路第一中学2025-2026学年高一下学期五月质检数学试题

2026年上学期高一五月质检 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的概念，由题中条件，直接得出结果. 【详解】因为，， . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题. 2. 已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】等式两边同乘，得到，然后得到在复平面对应的点，得到答案. 【详解】解：复数， ， ， 则复数在复平面内对应的点位于第三象限． 故选C． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于简单题． 3. 若，那么下列不等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，，所以， 因为，，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：B 4. 《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（ ）（取：，，） A. 12小时后 B. 24小时后 C. 28小时后 D. 30小时后 【答案】B 【解析】 【分析】先判断时酒精含量均高于合法阈值，再对的情况列不等式，通过对数运算求解时间范围即可. 【详解】将、代入函数： 当时，， 该函数在上单调递增，因此，不符合合法驾驶要求； 当时，， 令，化简得： ，两边取自然对数， 所以  ， 代入，， 得： ， 即，因此最少需在24小时后合法驾驶. 5. 现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆锥侧面沿母线展开，利用弧长公式计算出展开图扇形的圆心角，再在展开图中利用勾股定理求得灯光带的最小长度. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为. 由题意可知，，即，. 根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，可得， 即，解得. 将圆锥侧面沿母线展开，得到如图所示的扇形， 其中与重合于圆锥的母线，点与点在圆锥上重合. 因为是母线的一个三等分点（靠近点）， 所以. 从点到点绕屋顶侧面一周的最短路径，即为展开图中线段的长度. 在中，，，， 由勾股定理得. 故灯光带的最小长度为. 6. 在三棱锥中，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】为中点，由题意可得，可证平面平面，作，垂足为，则与平面所成角为，勾股定理求各边的边长，证得，由，求值即可. 【详解】中，， 由余弦定理，有， 为中点，连接， 由，有， ，平面，则有平面， 平面，所以平面平面， 平面平面，作，垂足为， 平面，得平面，则与平面所成角为， ，，则有，得， 则. 故选：A. 【点睛】方法点睛： 利用已知条件证得平面平面，结合面面垂直的性质由得平面，则与平面所成角为，证明为直角三角形，可求. 7. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解. 8. 在边长为2的正方体中，取3条棱的中点构成平面，平面截正方体的截面面积为，从剩余9条棱的中点在平面的投影为，记，当最大时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】截面为过棱中点的正六边形，投影为两个正六边形的顶点，在平面中逐类分析的取值情况，找出最小值. 【详解】 如图：由正方体的对称性知，过3条棱的中点的平面截正方体的截面面积最大时为过棱中点的正六边形，其边长为， 设截面与6条棱交点分别为， 由正方体知体对角线，又，所以平面， 延长交棱延长线于E，设此棱中点为B，则， 作交平面于，所以平面 ， 则为B在截面的投影，且为正边的中线， 又，所以是的重心， 同理可得其余5条棱的中点在截面的投影到O的距离也为， 由对称性知，六边形为棱长为的正六边形， 如图在平面中建立直角坐标系， 则 可得四点共线，由对称性知也共线,也共线， 由正六边形性质知为正三角形，为边长的正三角形，边长的正三角形， 所以， 求的最小值先考虑为负值的情况， 当时，不妨令， 在中，则，其余结果都非负. 当时，则，其余结果都非负. 当，时，不妨令， 与夹角不超过，故， 当，时，不妨令， ， ， 所以为钝角，为锐角， ， 由对称性知的取值情况同上， ， 综上：的最小值为. 【点睛】关键点点睛：此题关键是找出各棱中点在截面的投影，根据两个正六边形的特点求出的所有可能取值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足：（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的运算性质，即可作出判断. 【详解】由得：， 所以的虚部是，故A是错误的； 由，故B是错误的； 由，故C是正确的； 由，故D是正确的； 故选：CD. 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式可得，由周期得，进而代入验证即可求解AB，利用整体法即可求解CD. 【详解】，由于最小正周期为，故，故， 对于A, ,故的图像关于点对称，A错误， 对于B，，的图像关于直线对称，故B正确， 对于C，当时，，故在上单调递增，C正确， 对于D，时，，故，故，D正确， 故选：BCD 11. 已知正四棱台的所有顶点都在体积为的球的球面上，，，G为内部（含边界）的动点，则（ ） A. 正四棱台存在内切球 B. C. 直线AG与平面所成角的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出图形的示意图，由已知可得外接球半径，进而可得可判断A；求得体积判断B；作，则面，可得线面角的最大角与最小角判断C；易得，求得最大值与最小值可判断D. 【详解】如图， 设外接球球心为，外接球半径为， 由球的体积，解得， 所以， 由已知，， 所以， ， 设，则， 所以或（舍）， ∴O为球心，即在AC和BD的中点，且， 由等腰梯形的性质可求得棱台高为，斜高为， 因为，∴正四棱台不存在内切球，故A错误； 所以，B正确； 作，为正四棱台上底面的中心， 所以底面，又底面，所以，又， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，平面平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 所以，故最大时最小， 当G在时，最大， 由四边形是等腰梯形，且， 所以四边形，四边形为菱形，且可求得， 可得，，所以此时直线AG与平面BDG所成角最小为30°， 当G在O时，最小，直线AG与平面BDG所成角最大为60°，故C正确； 对于D，连接，因为四边形为菱形，所以， 又平面平面，又平面平面， 所以平面， 所以关于平面对称，所以， 所以， 当动点G或落在或D上，最大值，最大值是， 当动点G落在O时，有最小值，最小值为， 所以的范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知i是虚数单位，若复数，则z的虚部是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据推出，再根据复数的除法运算直接计算以及结合复数虚部的定义即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，故z的虚部是. 故答案为：. 13. 若，且，则的值为______． 【答案】或. 【解析】 【分析】由二倍角公式及两角差的正弦公式得到，再分与两种情况讨论，分别求出即可. 【详解】由， 得， 即， 当时，，即，由，得； 当时，，所以， 即，由，得， 所以，所以． 故的值为或． 故答案为：或. 14. 如图，半圆的直径为半圆弧上的两个三等分点，则向量在向量上的投影的数量为______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在中计算，因为为半圆弧的三等分点，得出，利用投影的定义直接计算可得出空一结果；由等分关系可得出，又有，代入所求可得到，代入向量数量积的公式即可求出空二结果. 【详解】由题可得， 如图，连接，则，在中，，所以， 所以向量在向量上的投影为； 如图，连接，，因为，为半圆弧上的两个三等分点， 所以，， . 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：（1）向量在向量上的投影为； （2）求向量的数量积经常利用向量的线性运算将向量转化为其他向量，然后再利用向量数量积的定义计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计本次数学测试成绩的平均分和中位数．（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】（1） （2）平均分约为分，中位数约为分 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知每组频率依次为：，，，，，， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知每组频率依次为：，，，，，， 估计本次数学测试成绩的平均分为（分）； 因为，所以估计本次数学测试成绩的中位数为分. 16. 已知向量，满足，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直可得，再结合向量的夹角公式运算求解； （2）根据模长关系结合数量积的运算律分析求解. 【小问1详解】 因为，， 若，则，可得， 所以与的夹角的余弦值. 【小问2详解】 由题意可得：， 所以. 17. 复数 （1）若是虚数，求实数的取值范围： （2）若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围： 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数类型为虚数得到不等式，从而求解； （2）根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知：是虚数，则，解得：且， 所以实数的取值范围且. 【小问2详解】 因为所对应的点在第四象限，则，解得：， 所以实数的取值范围是. 18. 在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. （1）求证：； （2）当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，，根据线面垂直的判定定理证明平面，据此即可证明； （2）①过点作于，连，，令，在中利用勾股定理求出，据此即可求出点到平面的距离； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，据此即可求解. 【小问1详解】 连接，， ，为的中点，， ，为的中点，， 平面， 又平面，； 【小问2详解】 ①过点作于，连，， 平面平面，， 平面，令， ， ，， 则，，， 平面，， 在中，由，得，， ，故点到平面的距离为； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接， ，， 是的中位线，， ，， ，， ，， ，所以平面为平面与平面的公共垂面， 故，在中，，， 可求得，又，， 则. 【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于令，在中利用勾股定理求出. 19. 已知函数，． （1）写出函数的单调区间； （2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）去掉绝对值化简后结合函数单调性分析即可. （2）由小问（1）的单调性，画出函数的草图，结合图象分析即可. （3）由题意得，得出的范围，把两点坐标代入函数得与的关系式，借助关系式用来表示，即，构造函数，分析函数单调性可得值域，即的取值范围. 【小问1详解】 ， 则的单调递增区间是，单调递减区间是，． 【小问2详解】 函数在单调递减，在单调递增， 故在的最小值为， 同理，在的最小值为， 故结合图象可得，函数有两个零点时需满足解得：． 或解得：． 综上所述：或． 【小问3详解】 由题意得：，则． 且，则， 因为，，所以，故． 所以． 又，故单调递增， 所以单调递增，故． 因此的取值范围为． 【点睛】方法点睛：要求的范围，未知数较多，遇到未知数多时需要通过减少未知数的个数来降低解决问题的难度； 判断函数单调性的常用方法： ①结合基本初等函数的图象或结合图象变换分析单调性； ②复合函数的单调性； ③多个函数加减的单调性：，，，； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高一五月质检 数学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，那么下列不等式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（ ）（取：，，） A. 12小时后 B. 24小时后 C. 28小时后 D. 30小时后 5. 现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为2的正方体中，取3条棱的中点构成平面，平面截正方体的截面面积为，从剩余9条棱的中点在平面的投影为，记，当最大时，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足：（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 10. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为 11. 已知正四棱台的所有顶点都在体积为的球的球面上，，，G为内部（含边界）的动点，则（ ） A. 正四棱台存在内切球 B. C. 直线AG与平面所成角的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知i是虚数单位，若复数，则z的虚部是______． 13. 若，且，则的值为______． 14. 如图，半圆的直径为半圆弧上的两个三等分点，则向量在向量上的投影的数量为______；______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计本次数学测试成绩的平均分和中位数．（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 16. 已知向量，满足，，. （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 17. 复数 （1）若是虚数，求实数的取值范围： （2）若所对应的点在第四象限，求实数的取值范围： 18. 在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. （1）求证：； （2）当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知函数，． （1）写出函数的单调区间； （2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围； （3）已知点，是函数图象上的两个动点，且满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $