黑龙江大庆市龙凤区2025－2026学年度第二学期初四数学试题

2025—2026学年度第二学期初四数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．是的（ ） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数 2．下列四幅图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．笔、墨、纸、砚是中国文房四宝，砚台更是书法不可或缺的工具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．某班名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖． 成绩/分 人数 ■ ■ 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．中位数，众数 D．平均数，众数 5．如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，那么的度数是（ ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（ ） A．如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 7．如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 8．把一元二次方程和的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点的横坐标，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点的纵坐标，则点在以原点为圆心，为半径的圆上的概率是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，点，分别在，边上，且，若是以为腰的等腰三角形，则的长为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．如图，在等边三角形中，，在中，，，，点，，，在一条直线上，点，重合，沿射线方向运动，当点与点重合时停止运动．设运动的路程为，与重叠部分的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为________． 12．函数的自变量的取值范围是________． 13．已知点与点关于轴对称，则的值为________． 14．已知关于的不等式的最小整数解为，则实数的取值范围是________． 15．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为________． 16．如图，在中，，，以中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在弧上，则图中阴影部分面积为________． 17．在求的值时，发现：，…，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有个三角形，记作；按此方法继续下去，则________．（结果用含的代数式表示） … 18．如图，在正方形中，对角线，交于点，点在上，交于点，且为的中点，交于点，连接交于点，连接．下列结论： ①；②；③；④．其中正确结论的序号为________． 三、解答题（本大题共10小题，共66分） 19．（4分）计算：． 20．（4分）先化简，再求值：，其中． 21．（5分）某中学筹备校园数学文化节，采购《周髀算经》《孙子算经》两类古籍读本，某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买本．求《孙子算经》的单价为多少元？ 22．（6分）大庆推进城市新能源建设，在杜尔伯特草原风电基地新建风力发电机组如图（1），研学小组实地测量风机塔杆的高度，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，） 23．（7分）新能源产业异军突起．车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．大庆沃尔沃新能源车展开调研，在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图： 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 油车 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了________人；表中________，________； （2）请补全条形统计图，并计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （3）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 24．（7分）如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，．点是中点，连结并延长到，且，连接，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 25．（7分）大庆市博物馆出售A．B两种猛犸象主题文创，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元． （1）求A、B两种商品的销售单价． （2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价元，如果A、B两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 26．（8分）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式． （2）结合图形，请直接写出不等式的解集． （3）点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 27．（9分）如图，是⊙的直径，弦于，为⊙上一点，连接交于，在的延长线上取一点，使，的延长线交的延长线于． （1）求证：是⊙的切线； （2）连接，若时． ①求证：； ②若，，求的长． 28．（9分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度第二学期初四数学答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1-5 CBCCD 6-10 ADDBA 第10题解析 【分析】分三种情形：①当0<x≤2时，重叠部分为△CDG,②当2<x≤4时，重叠部分为 四边形AGDC,③当4<x≤8时，重叠部分为△BEG,分别计算即可. 【详解】解：过点A作AMLBC,交BC于点M, B M C(D) E 在等边△ABC中，∠ACB=60°， 在Rt△DEF中，∠F=30°， .∠FED=60°， .∠ACB=∠FED, AC∥EF, 在等边△ABC中，AMLBC, :.BM=CM=]BC=2,AM=BM=23, :.SMABC=BCAM=43, ①当O<≤2时，设AC与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG, B E 由题意可得CD=x,DG=√5x i.S-CD-DG- 2 ②当2<≤4时，设AB与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC, A G BD CE 由题意可得：CD=x,则BD=4-x,DG=√5(4-x), S=SABC-8aBDG=45-2×(4-x)×5(4-x, S=.5445x-45=.5(x-42+45, 2 2 ③当4<≤8时，设AB与EF交于点G,过点G作GMLBC,交BC于点M, 此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG, ■ D BME C 由题意可得CD=x,则CE=x-4,DB=x-4, .BE=x-(x-4)-(x-4)=8-x, BM=4-x 在Rt△BGM中，GM=5(4-)x), S=BEGM=)(8-)x5(43, :S=3 (x-8)2, 综上，选项A的图像符合题意， 故选：A. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.8.4×106 12.x>-1 13.0 14.4≤m<7 15.2 16.2π-4 17.2n2-n 18.①②④ 第18题解析 【分析】①过点E作MN∥AD,交AB于点M,交CD于点N,通过证明 △MEB≌△NEF(AAS),得到BE=EF,从而得到△EFB为等腰直角三角形，即可得到答案； ②作FK⊥AC交AC于点K,则CF=√2KC,由KF⊥OC,D0⊥OC,F为CD的中点， 得到K为OC的中点，从而得到OK=CK=KF,通过证明aEBO≌aFEK(AAS,得到 OE=KF=OK=CK,即可得到CF=√2AE;③通过证明△BOH∽FHK,得到 KF HK 1 O8o通过明aBG0FK,得型晨食设队=，网0M=2,酒过场 股定理可以计算出EH、GH的长度，从而即可得到答案；④由③可以计算出 GO、BG、GH、GD的长，即可得到答案. 【详解】解：①如图所示，过点E作MN∥AD,交AB于点M,交CD于点N, D M B :四边形ABCD为正方形，MN∥AD,对角线AC,BD交于点O, :MB=CN=NE,∠BME=∠ENF=90°， :BE⊥EF, ∠NEF+∠MEB=90°， :∠MEB+∠MBE=90°， ∠MBE=∠NEF, 在△MEB和△NEF中， ∠EMB=∠FNE=90° ∠EBM=∠FEN BM=EN AMEB≌△NEF(AAS), :BE EF, “△EFB为等腰直角三角形， LEFB=45°， 故①正确，符合题意； ②如图所示，作FK⊥AC交AC于点K, D M B 则CF=√2KC, :KF⊥OC,D0⊥OC,F为CD的中点， .KF为△OCD的中位线， .K为0C的中点， .OK=CK=KF, :∠EB0+∠BE0=90°，∠BE0+∠FEK=90°， :ZEBO ZFEK 在△EBO和△FEK中， ∠EBO=∠FEK ∠EOB=∠FKE=90°， BE=EF aEBO≌△FEK(AAS), ..OE KF=OK =CK, AE+0E=A0=CO=0K+CK, :AE=CK :CF=2AE, 故②正确，符合题意： ③：∠BOH=∠FKH=90°，∠OHB=∠KHF, △BOH∽FHK, .KF_HK 1 OB OH 2' 设HK=a,则0H=2a, :0E =OK =KF =OH+KH =2a+a=3a,EH =0E+0H =3a+2a=5a, EK=0E+0K=3a+3a=6a, :G0⊥EK,FK⊥EK, G0∥FK, aEGO∽△EFK, KR,即O630 OG EO 3a 6a 3 :0G=24, ..GH=0G2+0H2 .EH 2GH, 故③错误，不符合题意； ④由③可得，G0=a,GMsJ 2a,0B=0C=0K+KC=6a, :BG=0B+0G=6a+3a-15a ,GD=OD-OG=6a-3a=9 3 a, 2 2 2 :G0.BG=45 a,GH.GD=45 4 4 G0·BG=GH.GD, 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④. 三.解答题（本大题共10小题，共66分） 19.（4分)解：原式=25-2x5+5-1+1=25 1 1 20.(4分)2a+3)’6 解：原式== 3-a.a2-9 2a-2a-1 =3-a.a-1 2a-2a2-9 1 =2a+3) …2分 a2-a=0, a=0或a=1…l分 当a=1时分式无意义 “当a=0时，原式= 6 …l分 3 21.(5分)解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是二x元， 4 600600 +5 依题意得，3、 x ，…2分 4 解得x=40,…1分 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，…1分 40=30（元)叫1分 3 答：《孙子算经》单价是30元； 22.(6分)解：过点D作DF⊥AB于点F,作DH⊥BE于点H 20° D 60 B CHE 由题意得：DC=20m,∠DCH=60° 在Rt△DCH中， ”c0s60°=CH CD sin60°=DH CD ∴.CH=CDc0s60°=10m,…1分 DH=CDsin60°=10V5m≈17.3m…l分 :∠DFB=∠B=∠DHB=90°， ∴.四边形DFBH为矩形， .∴.BH=FD,BF=DH,…1分 :BH=BC+CH=(30+10)m=40m, .FD=40m…1分 在△AFD中 AF =tan20°， FD AF=FD.tan20°≈40×0.36=14.4m…1分 .AB=AF+BF≈(17.3+14.4)m=31.7m≈32m…1分 答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m 23.（7分)(1)50；30,63分 (2)见解析，108°…2分 (3)3600人…2分 (1)解：本次调查活动随机抽取人数为5÷10%=50（人）， b%=3÷50x100%=6%,则b=6, a%=1-54%-6%-10%=30%,则a=30, 故答案为：50；30,6； (2)解：：n=50×30%=15, 补全条形统计图如图所示： 个人数 30 27 25 20 15 10F 5 0 纯电混动氢燃料油车车型 扇形统计图中混动”类所在扇形的圆心角的度数为360°×30%=108°； (3)解：4000×(54%+30%+6%)=3600（人）. 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人. 24.(7分)(1)(3分)：点0是EF中点 .OE=OF .0B=0G, .四边形EBFG是平行四边形， :∠ABC=90°， :∠FBC-90° .平行四边形EBFG是矩形： (2)(4分)连接AE, :DF是AC的垂直平分线， :EA=EC, 在RtABE中，AE=VAB2+BE2=√2， EC=EA=√2 ·BC=BE+EC=I+V2, :∠CDE=∠FBE=90°，∠CED=∠FEB, .∠C=LBFE, 在△ABC和△EBF中， ∠C=∠BFE ∠ABC=∠EBF=90°， AB=BE .△ABC≌△EBF(AAS), :BF=BC=1+2. B 25.(7分) (I)(3分)解：设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，则 f20x+10y=840 x=30 10x+15y=660' 解得 y=24' 答：A的销售单价为30元、B的销售单价为24元： (2)(4分)解：：A种商品售价不低于B种商品售价， 30-m≥24，解得m≤6，即0≤m≤6，…1分 设利润为w,则 w=(40+10m)×[(30-m-20)+(24-20)] =-10m2+100m+560 =-10(m-5)2+810,…2分 :-10<0, w在m=5时能取到最大值，最大值为810，…l分 :当m=5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元. 26.(8分) ()反比例函数的关系式为y=4 一次函数的关系式为y= 1 (2)-2≤x<0或x≥4 (3)-6或9 【详解解：起-2-2列代入y套，符2= 2 .k=4, 4 反比例函数的关系式为y=二，…1分 把Ba,1代入y=4,得1=4， 4 a .a=4, B4,1, 把A(-2,-2),B(4,1代入一次函数y=mx+n得， 「-2=-2m+n 1=4m+n 1 1m= 解得 2, n=-1 一次函数的关系式为y=。x-1;…2分 2 (2)-2≤x<0或x≥4…3分 (3)解：当∠BAP=90°时，AB2+AP2=BP2, 即(4+22+1+2)2+(-2-02+(-2-b)2=(4-02+(1-b2, 整理得，-6b=36, .b=-6; 当∠ABP=90°时，AB2+BP2=AP2, 即(4+2)2+(1+2)2+(4-0)2+1-b)2=(-2-0)2+(-2-b2, 整理得，6b=54, b=9; 综上，b的值为-6或9…2分 27.(9分) 解：(1)(3分)如图，连接OG .EG=EK K LKGE=∠GKE=∠AKH :0A=0G ∠0GA=∠0AG :CD⊥AB ∠AKH+∠0AG=90° ∠KGH+∠0GA=90° :EF是⊙O的切线 (2)①(3分)：AC∥EF :LC=ZE :∠C=∠AGD :∠AGD=∠E :∠DKG=∠CKE △KGD~△KEG KG KD KE KG 即KGP=KDE; 回3分)cosC,4K=0 设coS∠ACD= 4CH 5 AC ∴.CH=4k,AC=5k .AH=3k ,KE=GE,AC∥EF :CK AC=5k :HK CK-CH=k 在Rt△AHK中，由勾股定理得AH2+HK2=AK (3k)2+k2=(10)2 解得k=1 .CH=4,AC=5,AH=3 设⊙O的半径为R 在RIAOCH中，OC=R,OH=R-3,CH=4 由勾股定理得OH2+HC2=OC2 (R-3)2+42=(R)2 解R君 :AC∥EF :ZF ZFAC :∠F+∠GOF=90°，∠FAC+∠ACD=90° :LACD=∠GOF 在RA0GF中，cos∠ACD=coS∠GOF=4-OG 5 OF ·0F=125 24 BF=0F-0B=12525_25 24624 【点晴】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、圆周 角定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定等. 6 28.(9分)【答案】(1)y=-二x2+号x-1 5 5 a别 or信 或F(10,4) 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx-1a≠0)与x轴交于点A1,0,抛物线的对称轴交x轴 于点D(3,0),则对称轴为直线x=3, [a+b-1=0 b=3 2a 1 a=- 解得： 5 b= 6 5 人抛物线解析式为y三方x+51, 5 2解：由y=+名 5 -，当=0时，+号-1=0， 5 解得：x=1,x2=5, B(5,0), 当x=0时，y=-1,则C(0,-1), :DE⊥CD,∠COD=∠EBD=∠CDE=90° .LCD0=90°-LEDB=∠DEB, .tan∠CDO=tan∠DEB, 即OC、DB OD BE 12 3BE BE=6,则E(5,-6, 设直线EC的解析式为y=kx-1,则-6=5k-1,解得：k=-1, 直线EC的解析式为y-x-1, 如图所示，过点P作PT⊥x轴，交EC于点T, :BE∥PT, △PTOABEO BO 5 :P07 BE-B≌- PT PO =7,则P7=42 设-，则6-1号）6》 将点P1智代入y=写+号- 解得：1=-3或t=14(舍去) 当1=-3时，-447。-32 5 P3》 (3):A1,0,C(0,-1, 则0A=0C=1,△A0C是等腰直角三角形， L0AC=45°，由(2)可得LBED=LADC, :∠DEF=∠ACD+∠BED .LDEF=∠ACD+∠ADC=∠0AC=45°， e可s3-) 设直线BP的解析式为y=ex+∫，则 5e+f=0 -3e+f=32 5 4 e= 解得： 5 f=-4 4 :直线BP的解析式为y=x-4 5 如图所示，以DE为对角线作正方形DMEN,则LDEM=∠DEN=45°， M DB=2BE=6,则DGE2WI0,则DME2DE=25,E5,-6 (m-32+n2=(25月 设M(m,n), 则 (m-5)2+n+6)2=(2V5 m=1 m=7 解得： n=-4' n=-2' 则M(1,-4,N(7,-2), 设直线EM的解析式为y=Sx+t,直线EN的解析式为y=sx+ [5s+t=6 则 5s,+t1=-6 s+t=-4’7s,+4=-2’ 1 S=一 2 S=2 解得： t- t=-16 设直线EM的解析式为y= 2t 2x-5,直线EN的解析式为y=2x-16, 17 y=- x-2解得： 5 x= 13 则F 548 4 13’13 P=3-4 8’ 13 y=2x-16 x=10 4解得： 4 则F(10,4), y=4 48 综上所述， 13’-13 或F(10,4)