黑龙江大庆市龙凤区2025－2026学年度第二学期初四数学试题

2025一2026学年度第二学期初四数学答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1-5 CBCCD 6-10 ADDBA 第10题解析 【分析】分三种情形：①当0<x≤2时，重叠部分为△CDG,②当2<x≤4时，重叠部分 为四边形AGDC,③当4<x≤8时，重叠部分为△BEG,分别计算即可. 【详解】解：过点A作AMLBC,交BC于点M, B M C(D) 在等边△ABC中，∠ACB=60°， 在Rt△DEF中，∠F-30°， .∠FED=60° .∴.∠ACB=∠FED, AC∥EF, 在等边△ABC中，AMLBC. ..BM-CM=2 BC=2,AM=3 BM=23. 1 .∴S ABC=2BCAM=45, ①当0<≤2时，设AC与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG, F B 由题意可得CD=x,DG=√3x 5 ∴.S=2CDDG=2x; ②当2<≤4时，设AB与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形 AGDC, F G CE 由题意可得：CD=x,则BD=4-x,DG=5(4-x), .S=S4BC-SBDG=4V3-2×(4-x)×V3(4-x), 5 ⑤ ∴.S=-2x2+4V5x-4V5=-2(x-4)2+45, ③当4<≤8时，设AB与EF交于点G,过点G作GM⊥BC,交BC于点M, 此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG, DBME C 由题意可得CD=x,则CE=x-4,DB=x-4, .BE=x-(x-4)-(x-4)=8-x, 1 ∴.BM-4-2x 1 在Rt△BGM中，GM=V5(4-2x), .S=2BBGM=2(8-x)×V5(4-2x), √5 .S=4(x-8)2, 综上，选项A的图像符合题意， 故选：A. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 8.4×10-6 12.8>-1 13.0 14.4≤m<7 15.2 16.2π-4 172m-n 18.①②④ 第18题解析 【分析】①过点E作MN∥AD,交AB于点M,交CD于点N,通过证明 △MEB2aNEF(AAS,得到BE=EF,从而得到△EFB为等腰直角三角形，即可得到答案： ②作FKLAC交1C于点K,则CF=5KC,由F10CD0LoC,F为CD的中点， 得到K为OC的中点，从而得到OK=CK=KF,通过证明 EBO≌△FEK(AAS) 得到 OE=KF=OK=CK ，即可得到CF=V2AE ③通过证明△BOH∽FHK 得到 KF HK 1 OG EO OBOH2,通过证明EGOAEFK,得到FKEK,设HK=1'则OH=2,通过 勾股定理可以计算出EH、GH的长度，从而即可得到答案；④由③可以计算出 GO、BG、GH、GD的长，即可得到答案. 【详解】解：①如图所示，过点E作MN∥AD,交AB于点M,交CD于点N, M :四边形ABCD为正方形，MN∥AD,对角线AC,BD交于点O, ∴.MB=CN=NE,∠BME=∠ENF=90°， BE⊥EF, .∠NEF+∠MEB=90° :∠MEB+∠MBE=90°， .∠MBE=∠NEF, 在△MEB和△NEF中， [∠EMB=∠FNE=90° ∠EBM=∠FEN BM=EN :.AMEB≌△NEF(AAS) .BE EF, ∴△EFB为等腰直角三角形， .∠EFB=45°， 故①正确，符合题意： ②如图所示，作FK⊥AC交AC于点K, A M 则CF=2KC KF⊥OC,DO⊥OC,F为CD的中点， KF为△OCD的中位线， K为OC的中点， ∴OK=CK=KF, :∠EBO+∠BEO=90°，∠BEO+∠FEK=90° .∠EBO=∠FEK, 在△EBO和△FEK中， ∠EBO=∠FEK ∠EOB=∠FKE=90° BE=EF :∴.AEBO≌AFEK(AAS) ..OE=KF=OK=CK. .AE+OE=AO=CO=OK+CK. :AE=CK, .CF=2AE 故②正确，符合题意： ③：∠BOH=∠FKH=90,∠OHB=∠KHF, △BOH∽FHK, KF HK 1 OBOH2· 设HK=a,则OH=2a, ..OE=OK=KF=OH+KH=2a+a=3a,EH =OE+OH=3a+2a=5a, EK=OE+OK =3a+3a=6a. :GO⊥EK,FK⊥EK, ∴.GO//FK, ..EGOAEFK, OG EO OG 3a FKEK,即3a6a, 06= 2, ∴.GH=VOG2+OH2 +(2a)2= :.EH =2GH, 故③错误，不符合题意： 3 5 ④由③可得，G0=a,GH= 2 2“,OB=OC=OK+KC=6a, 315 39 ..BG=OB+OG=6a+a= -a GD=OD-OG=6a- a=-a 2 2 2 2 G0.BG=45。 a GH.GD=45 4 a 4 ∴.GOBG=GH.GD 故④正确，符合题意： 故答案为：①②④. 三.解答题（本大题共10小题，共66分） 25-2×5+5-1+1=2N5 19.(4分)解：原式 1 1 20.(4分)2(a+3),6 3-a.a2-9 解：原式=2a-2a-1 =3-a.a-1 2a-2a2-9 1 =2a+…2分 ,a2-a=0, a=0或a=1…1分 当a=1时分式无意义 1 当a=0时，原式=一6…1分 3 21.(5分)解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是4元， 600600 2+5 依题意得， 3 …2分 4 解得x=40,…1分 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，…1分 3 ×40=30（元）…1分 4 答：《孙子算经》单价是30元： 22.(6分)解：过点D作DF⊥AB于点F,作DH⊥BE于点H 20° 60 B C H E 由题意得：DC=20m,∠DCH=60° 在Rt△DCH中， cos60°=CH CD, sin60°=DH CD .CH=CD.cos60°=10m,…1分 DH=CDsin60°=10W3m≈17.3m …1分 ∠DFB=∠B=∠DHB=90°， 四边形DFBH为矩形， ∴.BH=FD,BF=DH,…1分 .BH=BC+CH=(30+10)m=40m .FD=40m.1分 在△AFD中. dh FD =tan20° .AF=FD.tan20°≈40×0.36=14.4m.…1分 .AB=AF+BF≈17.3+14.4)m=31.7m≈32m 1分 答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m. 23.（7分)(1)50：30,6.3分 (2)见解析，108°…2分 (3)3600人…2分 (1)解：本次调查活动随机抽取人数为5÷10%=50（人）， b%=3÷50×100%=6%,则b=6, a%=1-54%-6%-10%=30%,则a=30, 故答案为：50；30,6： (2)解：，n=50×30%=15, .补全条形统计图如图所示： 个人数 30 25 20 15 10 5 0 纯电 混动氢燃料油车车型 扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为360°×30%=108°： 4000×(54%+30%+6%)=3600 (3)解： (人) 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人 24.(7分)(1)(3分)点O是EF中点 ..OE=OF, .OB=OG ∴.四边形EBFG是平行四边形， ∠ABC=90°， .∴.∠FBC-90° ∴.平行四边形EBFG是矩形： (2)(4分)连接AE, ,DF是AC的垂直平分线， .EA=EC, 在RtABE中，AE=VAB+BE=V2 EC=EA= BC=BE+EC=1+2 ,∠CDE=∠FBE=90°，∠CED=∠FEB, .∠C=∠BFE, 在△ABC和△EBF中， ∠C=∠BFE ∠ABC=∠EBF=90°， AB=BE △ABC≌△EBF(AAS) ∴.BF=BC=1+V2」 B 25.(7分) (I)(3分)解：设A的销售单价为x元、B的销售单价为'元，则 20x+10y=840 [x=30 10x+15y=660,解得y=24, 答：A的销售单价为30元、B的销售单价为24元： (2)(4分)解：：A种商品售价不低于B种商品售价， 30-m≥24，解得m≤6，即0≤m≤6,1分 设利润为w,则 w=(40+10m）x×[(30-m-20)+(24-20)] =-10m2+100m+560 =-10(m-5)2+810 …2分 -10<0 w在m=5时能取到最大值，最大值为810，…1分 当m=5时，商场销售AB两种商品可获得总利润最大，最大利润是8I0元. 26.(8分) ①)饭比例函数的关系式为少= ,一次函数的关系式为y=2x-1 -2≤x<0.x≥4 (2) 或 (3)-6或9 【详解】(1)解：把A(-2,-2列代入y= ，得2=4 -2 .k=4, 一反比例函数的关系式为少=4 ,…l分 把B(a,1)代入y= a .a=4, .B(4,1) 把1(-2-2)B41 代入一次函数y=mx+”得， [-2=-2m+n 1=4m+n, 1 1m= 2 解得n=-1' 1 一次函数的关系式为y=2x-1:2分 (2)-2≤x<0或x≥4.3分 (3)解：当∠BAP=90°时，AB2+AP2=BP2, 即(4+2y+(1+2y+(-2-0+(-2-b}=(4-02+1-b 整理得，-6b=36, .b=-6; 当∠ABP=90°时，AB2+BP2=AP2 即(4+2y+0+2y+(4-0+0-b}=(-2-02+(←2-b 整理得，6=54， .b=9; 综上，b的值为-6或9.…2分 27.(9分) 解：(1)(3分)如图，连接OG G .EG=EK ∴.∠KGE=∠GKE=∠AKH .OA=OG .∠OGA=∠OAG :CD⊥AB .∠AKH+∠OAG=90° ∴.∠KGH+∠OGA=90° ∴.EF是⊙O的切线 (2)①(3分)：AC∥EF .∠C=∠E :∠C=∠AGD .∠AGD=∠E .∠DKG=∠CKE ∴.△KGD~△KEG KG_KD KE KG 即KG=KDKE: 4 ②(3分)cosC=5,AK=√0 设COS∠ACD= 4 CH .CH=4k,AC=5k .AH =3k ·KE=GE,AC∥EF ∴.CK=AC=5k ∴.HK=CK-CH=k 在Rt△AHK中，由勾股定理得AH+HK2=AK2 ∴(3k)2+k2=(N10)2 解得k=1 .CH=4,AC=5,AH=3 设⊙O的半径为R 在RIAOCH中，OC=R,OH=R-3,CH=4 由勾股定理得OH+HC2=OC2 (R-3)2+42=(R)2 解得R2 ·AC∥EF .∠F=∠FAC :∠F+∠GOF=90°，∠FAC+∠ACD=90° .∠ACD=∠GOF 在RIAOGF中，cos∠ACD=cos∠G0F=4=OG 5 OF 0F=12 24 BF=0F-0B=125_2525 24624 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、圆 周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的判定等 28(9分)【答案】①y=x+x-1 5 5 a别 信)Rra4 (1,0) 【详解】(1)解：，抛物 y=a2+bx-l1(a≠0)与r轴交于点 抛物线的对称轴交x D(3,0) 轴于点 则对称轴为直线x=3, [a+b-1=0 b=3 . 1 a=- 解得： 6 b=- 抛物线解折式为”=号+号 1 5 (2)解：由y=- +号-当，0时-1=0 x1=1,x2=5 解得： B(60) 当x=0时，y=-1,则C(0,- :DE LCD,∠COD=∠EBD=∠CDE=90° ∴.∠CDO=90°-∠EDB=∠DEB, ∴.tan∠CDO=tan∠DEB, OC DB 即ODBE' 1_2 .3BE' BE=6,则E6-6) 设直线EC的解析式为y=ac-L,则-6=5k-1,解得：k=-l, ∴.直线EC的解析式为y=-x-1, 如图所示，过点P作PT⊥x轴，交EC于点T, .BE∥PT, △PTOOABEO BO5 .PO 7 BE BO5 小P7P07,则PT=2 将1】 即智+1 6 5 解得：1=-3或t=14(舍去) 当1=-3时，1-4732 5 5 a:11,0).C(0,-1) 则OA=OC=1,△AOC是等腰直角三角形， ∠OAC=45°，由(2)可得∠BED=∠ADC, .'∠DEF=∠ACD+∠BED .∠DEF=∠ACD+∠ADC=∠OAC=45°」 由(2)可得 设直线BP的解析式为y=x+∫，则 5e+f=0 -3e+f=32 4 e= 解得：f=4 4 直线BP的解析式为y=5x-4 5 如图所示，以DE为对角线作正方形DMEN,则∠DEM=∠DEN=45°， y A F :DB=2,BE=6,则DE=2W0,则 M=5DE=25.E6,-0. 2 (m-3}+m2=(25 Mm.则l(om-5}+a+6=2w5, m=1 m=7 解得：n=-4,n=-2, 则M(L4).N(,-2) 设直线EM的解析式为 y=sx+ ,直线EN y=sx+t 的解析式为 [5s+t=-6 5s,+1=-6 则s+t=-4,7s+4=-2, 1 S=- 2 解得： 7’ s=2, t 2 t=-16 17 设直线EM的解析式为y=一2x-2,直线EN的解析式为y=2x-16, 1 7 y=- x= 2 2 1 4 解得： 34 48,则5 48, y= 13 13’13 y=2x-16 4 [x=10 y=5-4解得： y=4则F10,4) 548 综上所述， 1313或F(0,4).△△△△△ △△△△△ 2025一2026学年度第二学期初四数学试题 △△△△△ △△△△△O 一。 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） △△△△△ 1.-2026是2026的( ) 准考证号 A.倒数 B.绝对值 C.相反数 D.负倒数 班级 2.下列四幅图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 姓名 B. 包厄 △△△△△O 3.笔、墨、纸、砚是中国文房四宝，砚台更是书法不可或缺的工具，如图是一方寓意“规矩 △△△△△装 △△△△△ 方圆”的砚台，它的俯视图是( △△△△△订 △△△△△ △△△△△线 △△△△△ 、从正面看 △△△△△内 △△△△△ 4.某班50名同学进行了党史知识竞赛， 测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖. △△△△△不 △△△△△ 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 △△△△△要 人数 △△△△△ S 6 8 10 12 △△△△△答 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是( △△△△△ △△△△△题 A.平均数，方差 B.中位数，方差C.中位数，众数 D.平均数，众数 △△△△△ 5. 如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P, △△△△△O △△△△△ 且∠ABP=60°，那么∠APB的度数是() △△△△△ D A.36° B.54° △△△△△ △△△△△ C.60° D.66° △△△△△O ∧∧∧∧∧ 6。下列说法正确的是（) A.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B.有一个角相等的两个等腰三角形相似 C.一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D.对角线垂直且相等的四边形是正方形 7.如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为() A. B. C. 22 D. 32 8.把一元二次方程y2-5y+4=0和y2-5y+6=0的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡 片上写一个根)，将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点N的 横坐标a,放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点N的纵坐标b,则点N在以原点为 圆心，5为半径的圆上的概率是（) 9.如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=8,点D,E分别在BC,AC边上，且∠ADE=∠B, 若△ADE是以DE为腰的等腰三角形，则BD的长为() A.2或3 B.2或号 6.3好 D.2或4 10.如图，在等边三角形ABC中，BC=4,在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠F=30°，DE=4, 点B,C,D,E在一条直线上，点C,D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E 重合时停止运动.设△ABC运动的路程为x,△ABC与R:△DEF重叠部分的面积为S,则能反 映S与x之间函数关系的图象是() 二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹 开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为 2 12.函数y= 的自变量x的取值范围是 √x+1 13.已知点A(a-1,2)与点(2，b+1)关于y轴对称，则a+b的值为 14.已知关于x的不等式3x-m+1>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是 15.如图，点A在函数y=名x>0)的图象上，点B在函数y=(>0)的图象上，且AB∥x轴， 3 BC⊥x轴于点C,则四边形ABCO的面积为】 16.如图，在△ABC中，CA=CB=4,∠ACB=90°，以AB中点D为圆心，作圆心角为90的 扇形DEF,点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分面积为 B D E 17、在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100=101,2+99=101…，从而得到 1+2+3+…+100=101×50=5050.按此方法可解决下面问题.图(1)有1个三角形，记作4=1： 分别连接这个三角形三边中点得到图(2)，有5个三角形，记作42=5；再分别连接图(2)中间的 小三角形三边中点得到图(3)，有9个三角形，记作a=9；按此方法继续下去，则 4+a2+a3+…+an= &(结果用含n的代数式表示) 图(D 图2) 图3) I8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E在AC上，EF⊥BE交CD于 点F,且F为CD的中点，交BD于点G,连接BF交AC于点H,连接GH,下列结论： ①∠EFB=45°；②FC=√2AE:③EH=√2GH:④G0O,BG=GH.GD.其中正确结论的 序号为 A E G 0 H B C 三.解答题（本大题共10小题，共66分） 19.(4分)计算：2.-2sin60°+h-V月+2019°. 20.（4分)先化简，再求值： 其中a2-a=0. 21.(5分)某中学筹备校园数学文化节，采购《周髀算经》《孙子算经》两类古籍读本，某书 店的《孙子算经》单价是《周酶算经》单价的三，用600元购买《孙子算经)比购买《周髀算 经》多买5本.求《孙子算经》的单价为多少元？ 22.(6分)大庆推进城市新能源建设，在杜尔伯特草原风电基地新建风力发电机组如图（1)， 研学小组实地测量风机塔杆的高度，图(2)为测量示意图（点A,B,C,D均在同一平面内， AB⊥BC).已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发 电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB 的高度.（结果精确到个位：参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√3≈1.73） 209.7 60° B C E (1) (2) 23.(7分)新能源产业异军突起.车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元 技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势。大庆沃尔沃新能源车展开调研，在某次汽车 展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人 限选其中一种类型)，并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统 计图： 类型 人数 百分比 纯电 m 54% 混动 n a% 氢燃料 3 b% 油车 5 c% 人数 30 27 25 氢燃料 缅车 20 10% 15 10 混动 纯电 5 3. 0 纯电 混动氢燃料油车车型 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动随机抽取了人；表中a=，b=一： (2)请补全条形统计图，并计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数： (3)若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料） 汽车的有多少人？ 24.(7分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC,BC及AB的延 长线相交于点D,E,F.点O是EF中点，连结BO并延长到G,且GO=BO,连接EG,FG. (I)试判断四边形EBFG的形状，并说明理由： (2)当AB=BE=1时，求BF的长. D E B 25.(7分)大庆市博物馆出售A、B两种猛犸象主题文创，每件进价均为20元.调查发现， 如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元：如果售出A种10件，B种15件，销 售总额为660元. (1)求A、B两种商品的销售单价. (2)经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10 件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价.设A种商品降价m元，如果A、 B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利 润是多少？ 26.(8分)如图，一次函数y=mx+n(mn为常数，m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0) 的图象交于A(-2,-2)、B(a,1)两点， ()求一次函数和反比例函数的关系式. (2)结合图形，请直接写出不等式二 -mx-n≤0的解集. (3)点P(O,b)是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角 三角形，求b的值. 27.(9分)如图，AB是⊙0的直径，弦CDLAB于H,G为⊙0上一点，连接AG交CD于K, 在CD的延长线上取一点E,使EG=EK,EG的延长线交AB的延长线于F, (1)求证：EF是⊙O的切线： (2)连接DG,若AC∥EF时. ①求证：KC=KDKE; ②若coC=子，Ak=而，求BF的长. F H B 28.(9分)如图，抛物线y=ax2+bx-1(a≠0)与x轴交于点A1,0)和点B,与y轴交于点C, 抛物线的对称轴交x轴于点D(3,O),过点B作直线I⊥x轴，过点D作DE⊥CD,交直线I于 点E· 备用图 (1)求抛物线的解析式： BO 5 (2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点卫，当时，求点P的 坐标： (3)在(2)的条件下，连接AC,在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED?若 存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由