精品解析：重庆市育才中学校2026届高三下学期5月高考模拟预测考试数学试题

数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 17 B. 19 C. 25 D. 30 4. 5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（ ） A. B. C. D. 5. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 6. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角，满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 曲线在处的切线斜率为 C. 方程在区间内恰有两个实根 D. 当时， 11. （多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 13. 已知向量，，若在上的投影向量为，则________． 14. 已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数． （1）求证：不是函数的极值点； （2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 18. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. P为椭圆上异于顶点的动点，且C的离心率为，，分别为C的左、右焦点，M为C的左顶点，记，． （1）求C的方程； （2）求证：； （3）设点，过点T作一条不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆C于A，B两点，再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA，MB于点D，E．问是否存在t，使得O，D，M，E四点共圆（O为坐标原点）？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以 2. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】复数， 所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 17 B. 19 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】因为为等差数列，故，故， 而，故，故，则公差， 故. 4. 5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】每一名工人都有4种选择方法，根据分步计数原理求得5名工人不同选择方法的种数． 【详解】每一个工人都有4种选择方法，故5名工人不同方法的种数有种. 5. 为调查某企业年利润Y（单位：万元）和它的年研究费用x（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据（x，y），如表所示： x 1 2 3 4 5 Y 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为（       ） A. 4 B. 5 C. -4 D. -5 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，， 由回归方程必过样本中心，得，解得， 所以在样本点处的残差为. 6. 若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由直线可得其斜率. 因双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其斜率. 因双曲线的渐近线方程为，故， 则的离心率为. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数关系式，再代入求值. 【详解】由题意得，是正的常数， 故，两边取对数得，故， 所以14h后所剩污染物为. 8. 已知锐角，满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和差角公式，结合同角三角关系式，得含的表示，即可根据基本不等式求解最值. 【详解】由得，即， 由于，为锐角，故， 设，则 ， 令，当且仅当时取到等号.故的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用作差法来比较大小可判断AB，利用指数函数单调性可判断C，利用基本不等式可判断D. 【详解】因为所以，即，故A正确； 因为，所以， 即，故B正确； 因为，不能确定指数函数是增函数，即不一定成立，故C错误； 因为，所以， 当且仅当时取等号，即，故D正确； 故选：ABD 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. 当时， B. 曲线在处的切线斜率为 C. 方程在区间内恰有两个实根 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】先求，再结合奇偶性即可判断A；根据导数的几何意义即可判断B；直接判断的符号即可判断C；构建函数，利用导数判断函数的单调性，得出即可判断D. 【详解】当时，，则， 又因为函数为奇函数， 所以，故A错误； 由A知，当时，， 所以， 所以在处的切线斜率为，故B正确； 由题意知时仍满足， 当时，在内，恒成立，无零点； 当时，在内，恒成立，无零点； 故C错误； 令，， 则， 当时，恒成立，函数单调递增， 所以，即，故D正确. 11. （多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正方体及外接球的特征判断即可. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C， 当截面过正方体的体对角线时得B， 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A， 但无论如何都不能截出D． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】令即可将等式右边化为所求式子，然后计算. 【详解】令，则， 所以， 所以. 13. 已知向量，，若在上的投影向量为，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为在上的投影向量为， 所以. 14. 已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意知，，， 所以， 所以. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可; （2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可. 【小问1详解】 因为,,且, 所以, 由正弦定理可得:，即, 由余弦定理得:，所以, 又,所以. 【小问2详解】 因为, 由三角形面积公式得:，解得, 因为D为边的中点，所以， 在中，， 即，所以. 16. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【小问1详解】 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 我们以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得  三棱锥​，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， ​ 令，得，，即； 平面​的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 17. 已知函数． （1）求证：不是函数的极值点； （2）设，，是否存在a，使得函数的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）存在，当时，函数的最小值为2 【解析】 【分析】（1）方法一：利用反证法证明即可. 方法二：对函数求导，分类讨论的单调性，结合函数的极值点定义证明即可. （2）分类讨论的单调性，计算最小值，看是否存在使得函数的最小值为2. 【小问1详解】 方法一：函数的定义域为，， 若为函数的极值点，则必有， 由得， 当时，，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取得最小值，即在上恒成立，且仅在时取等号， 所以在上单调递增，不是的极值点， 当时，，故不是的极值点， 综上，不是函数的极值点， 方法二：函数的定义域为，. 当时，. 令，则. 当时，在上恒成立， 则在上单调递减，即在上单调递减. 当时，；当时，； 因连续，故在的邻域内，单调递减，所以不是极值点. 当时，令，即，解得. 若，即，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即，所以单调递增，所以不是极值点. 若，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在处取得最小值. 当时，，所以，即，所以单调递增，所以不是极值点. 当时，，在和上各有一个零点，设为，， 在上，，，单调递减； 在和在上，，，单调递增； 所以不是极值点. 综上，不是函数的极值点. 【小问2详解】 由（1）知，，. . 当时，在上，，单调递减， 所以，不符合题意. 当时，令，即，解得. 若，即时，在上，，单调递减， 所以，不符合题意. 若，即时，在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 所以. 令，解得，符合题意. 综上，存在，使得函数的最小值为2. 18. “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为DeepSeek的使用情况与学历无关 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】(1) 先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断； (2) （i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可； （ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【小问1详解】 由题意有：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，， 所以据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； 【小问2详解】 （i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， 所以，， 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30， 所以，， 所以比赛结束后甲获胜的概率， （ii）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”， , 所以， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为． 19. P为椭圆上异于顶点的动点，且C的离心率为，，分别为C的左、右焦点，M为C的左顶点，记，． （1）求C的方程； （2）求证：； （3）设点，过点T作一条不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆C于A，B两点，再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA，MB于点D，E．问是否存在t，使得O，D，M，E四点共圆（O为坐标原点）？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）因为，由正弦定理可得 , 即，整理可得． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据离心率和题设方程求出基本量后可得椭圆方程； （2）根据正弦定理可求题设的三角恒等式； （3）设直线,,，且，联立直线方程可求坐标，根据相交弦定理可得坐标关系，结合韦达定理化简后可求的值. 【小问1详解】 由椭圆方程可知：，因为，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在，可设直线,,，且， 联立方程，消去可得， 则，可得， 则，， 由题意可知：，则直线，令 ，可得，即，同理可得. 若,,,四点共圆，则，可得， 且，则，可得，且,,， 则，整理可得 , 即， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 所以存在，使得点,,,四点共圆，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $