重庆市育才中学校2026届高三下学期5月高考模拟考试(一)数学试题

**基本信息** 高2026届高考模拟数学卷以军事（导弹命中率）、金融（复利计息）等现实情境为载体，覆盖复数、集合、函数、立体几何等核心知识，通过基础题-能力题-创新题梯度设计，考查数学眼光观察、数学思维推理及数学语言表达能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数坐标、集合关系、函数奇偶性|第8题结合伯努利不等式与复利计息，考查逻辑推理| |填空题|3题/15分|二项式系数、轨迹方程、立体几何翻折|第14题矩形翻折成正四面体，考查空间观念| |解答题|5题/77分|三角函数、数列、导数、概率统计、立体几何|第18题以导弹命中率为情境考概率，体现数学语言表达现实世界；第19题立体几何结合轨迹问题，考查数学眼光观察空间形式|

。十只十。十：十；十。十日十8 12 13 14 10 11 120 3 5:6 BCD ACD 0 15.【解析】(1)由已知f)=V5cos2x+2 cos xsinx=5cos2x+sin2x=2sin2x+ 3 ，…….(2分） 则/闪的最小正周期T=2=元，（6分) 2 令2版-52x+骨52经，eZ时，解得-沿≤x5+语，keL, 12 放函数的增区间为低-开低+，keZ:……6分 12 ②因为05，则4引-9 由于4侣小所以24号（售》所以24导票，解得4 3 (8分） 又∠CD=3☑4D,则∠CMD=号∠BD-若 又由于S度=Sum+Sm,得besin=ADsin∠D+bAD,解得AD= 4 ………(13分）) 16.【解析】(1)由题意a2(a2-1)+a1(a1+1)=2aa2,解得a2=4或者a2=3,又因为{an}是一个递增的数列， f所以a3=4.(2分) 下证明数列{an}是一个等差数列， 因为a(an1-1)+a,(a。+1)=2a,a4,所以a2-2a.an1+a2=a1-an, 即(a1-an)2=an41-an,又因为a4-an≠0，所以a-a。=1，故数列{a}是一个等差数列：…(7分) (2)由(1)知，{an}是一个公差为1等差数列，且a=3,所以a。=n+2,…(9分) 由题意{b}是一个等比数列，设{bn}的公比为9，由 b2=a2 6g=4 4g2=8' 解得名子故62,2分》 由于当n≥1时，2°-1=2+2-122>0，所以，2-2产 1 1 1 1 11 所以S2-+2-t+2-1+2+++2=2-2<2, 故Sn<2.…(5分） f'(0)=b 17.【解析】(1)因为fx)=-ae-x2-1,f'(x)=-ae-2x,由已知得： -a=b /o)=0'则 -a-1=0 a=-1 解得：6=1 .(3分) 故f(x)=e-x2-1,则f"(x)=e-2x,令h(x)=e*-2x,h'(x)=e-2 当x<ln2时，h'(x)<0,所以h(x)在(-o,ln2)单调递减， 当x>ln2时，h(x)>0,所以x)在(n2,+o)单调递增， 所以h(x)mm=hn2)=2-2ln2>0,所以f'(x)>0恒成立， 故f(x)在R上单调递增.…… .(7分) (2)法一：由题意得F(x)=e-1-mr,显然F(O)=0,则x=0是的唯一零点，F'(x)=e'-m, ①当m≤0时，F(x)>0恒成立，故F(x)在R上单调递增，满足条件：……(8分) ②当m>0时，令F'(x)=0,解得x=lnm, 当x<nm时，则F'(x)<0,F(x)在(-o,lnm)上单调递减： 当x>nm时，则F'(x)>0,所以F(x)在(nm,+o)上单调递增： (10分) (当0<m<1时，nm<0,且F(x)在nm,+o)上单调递增，故F(x)m=Fnm)<F(O)=0, 而x→-o,F(x)→+o,x→+o,F(x)→+o,所以3x2∈(-o,lnm),使F(x2)=0,故F(x)=e-1-mr 有两个零点，不合题意：(12分) (Gm当m=1时，lnm=0,故F(x)mn=F(0)=0,满足条件： .(13分) (i)当m>1时，lnm>0,且F(x)在(-o,lnm)上单调递减：故F(x)ma=Flnm)<F(O), 而x→-o,F(x)→+o;x→+o,F(x)→+o,所以3x2∈nm,+o),使F(x2)=0,故F(x)=ex-1-mx 有两个零点，不合题意： 综上所述：m∈(-0,0]U得.…(15分) 法二：由题意得Fx)=e-1-r,显然F(O)=0,则x=0是的唯一零点. (8分) 当x≠0时，分离参数得m=。1,令g=-1x≠0)，则g=0-产+ x2 设x)=(x-I)e+(x≠0)，则h'(x)=xe, 当x<0时，(x)<0,h(x)单调递减：当x>0时，则h'(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x)>h(O)=0, 故g(x)>0,所以gx)在(-0,0)上单调递增，在(0，+0)上单调递增，(2分) 又x→-0时，g(x)→0：x→+0时，g(x)→+0， e'-1 ex 又由洛必达法期，知四闲=网专=子1 (们3分） 所以，仅当m∈（←n,01U时，方程m=产-1无解， 综上所述：m∈(-o,0]UI. ..(14分) 18.【解析】1)由怎意特0=C60-学-铝，到=膏，因为=C0-亨=器 4 ,所以PAB)≠PAP(B,所以A与B不相互独立 PAP(B)=192 .(4分) (2)由题意可得，X~B0字，所以PX=)=C(-专- 令X=2K=-,k=20,即C的≥c哈，解得≤告 所以P(X=8)2P(X=7)2P(X=6)2…≥P(X=0), 又因为x==g-学-5>K=9=cg0-影.10x -且k=1,2…,10 510 510 所以当k=8时，PX=内有最大值 …(9分） (3)由题意可知，Y=234,n, ①当Y=k(k=2,3,4,…,n-1)时，实际情况为前k-1次发射的导弹恰有一枚击中日标，且第k次发射的导弹击 中目标，PY=)=C停X停-16-， 5 5 小（们】分） ②当Y=n时，实际情况为两种，第一种为前n-1次发射的导弹都没击中目标，第二种为前n-1次发射的导 弹恰有一枚击中目标，所以PY=m)=(令-+C(令-22=((20m-15),(13分) 所以En=2T=+mPY=刚-足16k-+白20n-15.4分) 5 记7，-16-D,记a4=16-》,不妨令a4-16-=41-4. 5 5k 可设么=兮ra+a+0,6a-6=r兰，24：8n+1食. 5 5 -44=16 5 A=-20 对比系数得 24:4B-16,解得B=10,所以6，=((-20+10m-。 5 A+B-4C=0 C=2 故7：-定6传-克2-克6-1-点- 5* 2每2 所以0)=9r-20m+10m-3+号+ra020n-1=3-官 55 2(写月"(5n+.…(17分 19.【解析】(1)证明：作AC的中点O,连接OP,OB, 因为AP=CP,AB=BC,所以AC⊥OP,AC⊥OB,又由于OP∩OB=O,OPc面POB,OBc面POB, 所以AC⊥面POB,又PBC面POB,所以AC⊥BP:e(4分) (2)()如图，以A为坐标原点，在面a内过点A作AC的 垂线为x轴，直线AC为y轴，过点A作面a的垂线为z轴建 立空间直角坐标系，所以C(0,2,0),P0,1,√3)，设B(x,y,0) 所以PB=(xy-1-5,P元=(0,1，- 因为∠BPC=胥，所以 cos(PB.PC)= PB.PC y+2 PB PC 2+(y-1+3 2 化简得x2=6y,故曲线「为抛物线， 其方程为x2=6y: …(8分) (i)法一：因为AP∥面MBD,面PAC∩面MBD=MN,所以AP∥MN,又由于M为PC的中点，所以 N为AC的中点。 ..(9分) 由已知得直线BD的斜率存在，设其直线方程为y=+1,设B,.0),D5,为.0)，联立红+'得： x2=6y xX2-6kx-6=0,所以x+x=6k,xx3=-6, (10分) 由对称性知点G在y轴上，设G(0,a,0)(a≠1)，所以G乎=(0,1-a,V,GB=(x,片-a,0), G而=(G,片-a,0,因为∠PGB=∠PGD,所以cs(G,G丽=sGD,G丽，得G.G重_GD.G乎 GP GEGDG丽 所以0-ab-a-0=a0-,因为a1,故-a居+b-a-0-+0-a, +(-a)+(-a) 所以(-a[+(-a]=(-a+-a']得(y-a=-a, 因为xx3<0,(by-a(y-a)20,所以x(y-a)+x(y-d)=0,所以x(a+1-a)+x(a+1-a)=0 所以2x+(1-a)(+x)=0,所以2k(6)+6(1-a)k=0,得k(1+a)=0,由于上式对任意的k∈R恒成 立，所以a=1,故G(0,-l,0)小：… (13分) 因为N为等边△PAC边AC的中点，所以PN⊥AC,又由于面PAC⊥平面a,面PACI面a=AC,PNC 面PAC,所以PN⊥面a,又由于DGc面a,所以PN⊥DG.过点N分别作直线DG,GB,BC,CD的垂线， 垂足分别为H,H2,H,H,再连接PH,PH2,PH,PH,:由于DG⊥PW,DG⊥NH,PNI NH,=N,PNC 面PNH,NH,c面PNH,所以DG⊥面PNH,故DG⊥PH,,所以∠PHN为二面角P-GD-N的平面 角，所以8=∠PH,N,同理可得0，=∠PH,N,8,=∠PH,N，8=∠PH,N 由于y=-1,即6+--名=0.所以N以-医+0+可因+低+2可 2x 2x ，故在 X2 ,a0-尝引 NH, 同理可得am28=+k++4 4 又由于1：(y-2)x-xy+2x=0,所以NH,= x+(0-2V买+(- PN tan',=NH3) 0片e兰动 同理可得m'a=3+k-2k 故am8+iam6+iam8+m2a=2+2g+46低+与46+ 4 +32+2 2k(+)x+ 150+k）36++6+)3+19 2 xx2 所以当太=0时，面8+国8+m8+mQ取最小值号 …(17分)》 法二：因为AP∥面MBD,面PAC∩面MBD=MN,所以AP∥MN,又由于M为PC的中点，所以N为AC 的中点，所以PN⊥AC,又因为平面PAC⊥平面a,面PAC∩a=AC,PNc面PAC,所以PW⊥面a, BGC面a,所以PN⊥BG,又由对称性知点G在y轴上， 如图，过点N作NO⊥BG于点O,作NO,⊥DG于点O, 因为NO,⊥BG,PW⊥BG,NO,∩PW=N,所以BG⊥面 PO,N,又PO,c面PO,N,所以BG⊥PO,即GO⊥PO,, 同理可得GO,⊥PO,又由于∠PG0,=∠PGO, 故R1AGPO,=R△GPO3,所以GO,=GO2, 故RIAGNO,RiAGNO,所以∠BGN=∠DGN,，所以y轴平分∠BGD,所以kG+kG=0 由已知得直线BD的斜率存在，设其直线方程为y=:+1,设B(,,0),D(5,,0),联立+1得： x2=6y x2-6-6=0,所以x+x2=6k，xx2=-6, 因为k+kc=-0+乃-0-+1-a++l-a=2k+-+=ka+l,所以k0+a)=0 X X2 对任意的k∈R恒成立，所以a=-1,故G(0,-1,0),后续同解法一. 高2026届高考模拟考试(一)数学试题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上｡ 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑｡如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号｡回答非选择题时,将答案写在答题卡上｡写在本试卷上无效｡ 3.试卷由”整理排版｡考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回｡ 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1.已知复数z在复平面内对应的点坐标为(3，4)，为z的共轭复数，则= A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知集合则x∈B是x∈U的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数是奇函数，则a= A.2 B.1 C.0 D.-1 4.已知向量若则||的最小值为 A.4 B.2 C.1 D. 5.在正四棱台中，若侧棱与底面的夹角为45°，则该四棱台的体积为 A. B.112 C. D. 6.已知θ∈(0,π),且t=2为关于t的方程的一个根，则θ= A. B. C. D. 7.已知实数x，y满足则 A. B.y≥1 C.(x-2)(y-1)≤0 D.(x-2)(y-2)≥0 8.若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息(单利本利和=本金+本金×利率×时间)和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：已知数列的前n项和为若对任意的n∈N*,-n-λ>0恒成立，则λ的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额(单位：万元)，得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是 A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B. 这10个月营业额的极差为37万元 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D.这10个月营业额数据的下四分位数为23 10.已知O为坐标原点，双曲线其左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C的右支交于A，B两点，与两条渐近线分别交于P，Q两点，A，P在x轴上方，过点A作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是 B.双曲线C的离心率为 C. D. 11.已知函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数x,y,恒有f(x+y)=f(x)·f(y),当x>0时,有f(x)>1,函数g(x)满足[g(x)+1]f(-x)=f(x)[1-g(x)],则 A.f(0)=1 B.x<2是f(x+1)<1的充分不必要条件 C.-1<g(x)<1 D.任意 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 的展开式中x3y2的系数为___________.(用数字作答) 13.在平面坐标系xOy中,A(-1,0),B(2,0),动点P满足|PA|=2|PB|,则ΔABP的面积的最大值为___________. 14.如图，在矩形纸片ABCD中、AB=2,AD=2,E、F、G、H分别是四边的中点.现将它通过翻折后围成一个正四面体(围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠).若折痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连条(用数字作答)；若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为则该小球的半径r=___________. 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 已知 (1)求y=f(x)的最小正周期及单调增区间； (2)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,钝角A满足点D为线段BC上一点,且∠CAD=3∠BAD,求AD的长. 16.(本小题15分) 在递增数列中， (1)求a₂的值，并证明：数列是等差数列； (2)若等比数列中,数列的前n项和，证明： 17.(本小题15分) 已知函数的图象在点(0，f(0)处的切线方程为y=bx. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当x∈R时,若函数F(x)=f(x)-g(x)仅有一个零点,求m的取值范围. 18.(本小题17分) 在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立. (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使P(X=k)取最大值时k的值； (3)现有一个敌方高防御目标需要两枚导弹命中才可以被击毁，若某指挥官制定了如下战略：恰好击毁目标即停止行动，且发射导弹总数不超过n(n≥2)枚，记停止行动时发射的导弹数为Y，求E(Y). 19.(本小题17分) 如图1，平面PAC⊥平面α，B是平面α内的动点，且△PAC是边长为2的等边三角形. (1)若AB=BC,求证:AC⊥BP; (2)若记点B的轨迹为曲线Γ. (i)求曲线Γ的方程，并说明是什么曲线； (ii)如图2,动点D在曲线Γ上,BD∩AC=N,M为PC的中点,AP∥面MBD,点G∈α(G与N不重合),且满足∠PGB=∠PGD,设二面角P-GD-N,P-GB-N,P-BC-N,P-CD-N的大小分别为,,,,求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $