重庆市育才中学校2026届高三下学期5月高考模拟预测考试数学试卷

**基本信息** 本卷聚焦数学眼光、思维与语言，通过科技情境创设与分层问题设计，实现基础巩固、能力提升与创新应用的梯度衔接，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/70|函数导数、立体几何、概率统计|结合航天数据的概率题考查数据意识，导数应用题分层设问体现推理能力，与高考真题命题趋势一致|

高2026届高考模拟考试（三）数学试题 参考答案及评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要 求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A C D A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 ABD BD ABC 三、填空题：本题共3小题， 每小题5分，共15分 题号 12 13 14 答案 -128 -1 2n2+3n n+1 15.【解析】(1)因为m=(sinA,b+c),i=(sinC-sinB,a+b),且m1m, 所以(a+b)sin-(b+c(sinC-sinB)=0,4.…….(2分) 由正弦定理可得：(a+b)a-(b+c)(c-b)=0,即-ab=a+b2-c2,由余弦定理得：a2+b2-c2=2 abcosC, 所以owc=方 …(6分） 又Ce(0,),所以c=2 ……(7分） 3 2)因为b=4C=行，由三角形面积公式得SA25-xx 2 2 ,解得a=2,(9分) 因为D为BC边的中点，所以CD=1,在aCAD中，AD2=AC2+CD2-2AC.CD·cosC, 即0=16+1-2x4x1(}-21,所以40=i. (3分）) 16.【解析】(1)设BC的中点为M,连接DM,EM. 因为E,D分别为AC,AB的中点，所以DMI∥AC,且DM= 2 ，………(2分) 在直三棱柱ABC-ABC中，AEAC,且4B=4C,所以DM1AE,DM=AE, 所以四边形DMEA为平行四边形，则EMI1AD.… (4分) 又EMC平面EBC,，AD文平面EBC,所以AD川平面EBC。.…..…,….….……(7分) (2)以A为坐标原点，分别以AB,AC,A4所在直线为x,y,2轴建立空间直角坐标系，..(8分) 设直三棱柱的侧棱长A4=h,可得A0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,h),DL,0,0),E(0,L,h 三棱锥=度，E到底面BC的距离为h,S度=子B,AC=2, 因此=-h写2xh-解得为-2.0分 则向量4D=(1,0,-2),丽=(2，-1-2)，EC=(0,1,-2) 设平面BC的法向量为元=化，，则n历=2x-y-2:=0 7·EC=y-2:=0 令=1，得y=2,X=2,即万=（亿，2，）：…(12分） l5.【解析】(1)因为m=(sinA,b+c),i=(sinC-sinB,a+b),且m//m, 所以(a+bsin1-(h+c)(sinC-sinB)=0,(2分) 由正弦定理可得：(a+b)a-(b+c(c-b)=0,即-ab=a2+b2-c2,由余弦定理得：a2+b2-c2=2 abcosC, 所以cosC= 1 2 ……(6分） 又Ce0,,所以C= 2π ……4(7分) (2)因为6=4，C=2 ，由三角形面积公式得：Sa=25=×4ax5 ,解得a=2,(9分) 因为D为BC边的中点，所以CD=1,在aCAD中，AD2=AC2+CD2-2AC:CD.cosC, 4D2=16+1-2x4x1X-=21,所以AD=2.…13 16.【解析】(1)设BC的中点为M,连接DM,EM, 因为E,D分别为4C,AB的中点，所以DMAC,且DM=)AC.(2分) 2 在直三棱柱4Bc-4®G中，4E4C,且4E-4C,所以DM14E.DN=45, 所以四边形DMEA为平行四边形，则EM11AD.(4分) 又EMC平面EBC,AD文平面EBC,所以AD∥平面EBC..,…,.(7分) (2)以A为坐标原点，分别以AB,4C,AA所在直线为x,2轴建立空间直角坐标系，(8分) 设直三棱柱的侧棱长A4=h,可得A0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),4(0,0,h),D1,0,0),E0,L) 三棱能c=么a,E到底面BC的距离为太，又c一分4B,AC=2一 3h=,解得h=2。………(10分 则向量4D=(1,0,-2),EB=(2,-1-2),EC=(01,-2), 设平面EBC的法向量为万=(x,y),则 i-EB=2x-y-2:=0 7·EC=y-2:=0 令：=1，得y=2,x=2,即万=(2,2,0；(12分) 因此可以认为H成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关：(5分) (2)()当甲，乙同时回答第i(i=1,2,3)道题时，甲得分为X, P-10-对品-0-对分0-5 525(8分) 比赛结束甲获胜时的得分X可能的取值为10,20,30， 则=0-品--c-品 px=0-c*周c×-2 3、 .(11分) 所以比赛结束后甲获胜的概率P=P(K=30)+P(X=20)+P(X=10)=100+200+10001000 2727279_441 .(12分) (i)设A=“比赛结束后甲获胜”，B=“比赛结束时乙恰好答对一道题”， P(AB)-C× 3) +C*10 243 1 .(15分) 1000 243 则P(B|A)= P(4B)_1000_27 P(A) 44149 1000 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为 27 …………(们7分) 19.【解析】(1)由椭圆方程可知：=1，因为e=C 层 3 ,解得a2=4 所以稀圆C的标准方程为号+户=1 …4(4分) c 2c 2)因为e=。2apm+P明2 由正弦定理可得 FE sin∠FPF sin(a+B)sina cos B+cosasinB PE+PEsin∠PFE+sin∠PE,Fsina+sinB sina+sin B sina cosB+cosa sin B 2cosa-3 ,…(9分) sina+sin B 2 整理可得sn、 sinB 2cosB-√5 (3)假设存在，可设直线I:x=my+1,A(,y),B(,,2),且m≠0， [x=my+ 状文方程x,21’消去x可得(m+4)y+2m+-4=0, 则△=4m2?-4(m2+4)(-4)>0,可得r<m2+4, 则另+乃=一 2mt m2+41 2-4 y乃= …(12分) m2+4 由愿意可知：M(20).则直线4W产产2+2引，令x=,可得=生2沙，即D+2少 x+2 (x+2 同理可得E1, 1+2)2 x+2 4(14分） 若00ME因点共题，则non-DmE,可海2作+2 且-2<1<0，则0<1+2<2，可得北+2)y=(x+2)(x+2,且x+2>0,x2+2>0,y= 2-4 +40, 则(1+2)yy=(:+2)(:+2)=1(y+1+2)(m2+1+2),整理可得 (m1-1-2)yy+m(+2)(y+)+1+2)=0, 即m1-1-2-.2m+2++2=0则(m1-1-2-2)-2mr++2m+4到=0， m2+4 m2+4 整理可得3+8+4=0，解得1=-名或1=-2（舍去）。 3 所以存在1，使得点O,D,M,E四点共圆，此时1=-号 2 ...(17分) 数学试题 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数，则在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知等差数列的前项和为，若，，则 A．17 B．19 C．25 D．30 4．5名工人各自在4天中选择1天休息，不同方法的种数是 A． B． C． D． 5．为调查某企业年利润（单位：万元）和它的年研究费用（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据，如表所示： 1 2 3 4 5 50 60 70 80 100 由上表中数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差为 A．4 B．5 C． D． 6．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为 A． B．5 C． D． 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前7 h消除了20%的污染物，那么14 h后所剩污染物为 A． B． C． D． 8．已知锐角，满足，则的最大值是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 10．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则 A．当时， B．曲线在处的切线斜率为 C．方程在区间内恰有两个实根 D．当时， 11．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是 A． B． C． D． 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则________． 13．已知向量，，若在上的投影向量为，则________． 14．已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为．设，数列的前项和为，则________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知的内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，为边的中点，求的长． 16．（15分） 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 已知函数． （1）求证：不是函数的极值点； （2）设，，是否存在，使得函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分） “你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：单位：人 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ （2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，． （i）求比赛结束后甲获胜的概率； （ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（17分） P为椭圆上异于顶点的动点，且C的离心率为，，分别为C的左、右焦点，M为C的左顶点，记，． （1）求C的方程； （2）求证：； （3）设点，过点T作一条不与坐标轴垂直的直线l，交椭圆C于A，B两点，再过点T作一条垂直于x轴的直线分别交直线MA，MB于点D，E．问是否存在t，使得O，D，M，E四点共圆（O为坐标原点）？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $