精品解析：山东省德州市夏津第一中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

高二数学月考试题 2025.6.19 一、单选题（每小题5分，共8个小题） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若点、、…、都落在直线上，则变量、的样本相关系数 B. 若，，则相应于样本点的残差为； C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是3； D. 若决定系数越大，则模型拟合效果越好 3. 已知为实数，则“”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 5. 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. ，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3个小题） 9. 已知实数满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 10. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 若为数列的前项和，则 D. 若对任意，都有，则 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 若关于的方程恰有两个非零的实数根，则或 三、填空题 12. 设，，，若，，则的最大值为__________． 13. 已知函数，函数在上单调递减，则取值范围______． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若对任意实数，，且当时，，则不等式的解集为______. 四、解答题（共5个小题） 15. 已知函数（，且）． （1）讨论的奇偶性； （2）若，不等式恒成立，求t取值范围． 16. 已知数列中，． （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设，求前项和． 17. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 （1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； （2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 18. 已知函数，． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数单调性； （3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）若是函数的一个极值点，求实数的值； （2）若函数有两个极值点，其中， ①求实数取值范围； ②若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学月考试题 2025.6.19 一、单选题（每小题5分，共8个小题） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】，即. ，即， 所以. 故选：A 2. 下列说法错误的是（ ） A. 若点、、…、都落在直线上，则变量、的样本相关系数 B. 若，，则相应于样本点的残差为； C. 对具有线性相关关系的变量，利用最小二乘法得到的经验回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是3； D. 若决定系数越大，则模型的拟合效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】选项A，通过直线方程得到斜率，去判断相关系数；选项B，计算残差即可判断；选项C，根据回归直线过样本点的中心求解判断；选项D，根据决定系数的意义即可判断. 【详解】选项A，直线的斜率，且所有样本点都落在直线上， 所以这组样本数据负相关，且样本相关系数达到最小值，即，故A正确； 选项B，相应于样本点的残差为，故B正确； 选项C，因为回归直线过样本点的中心， 所以，解得，故C错误； 选项D，由决定系数的意义可知，越大，模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：C. 3. 已知为实数，则“”成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，选项A和B，通过取特殊值，即可求解；选项C，利用单调性，即可求解；选项D，利用不等式性质得，即可求解. 【详解】对于选项A，当，满足，得不出，所以选项A错误， 对于选项B，当，满足，得不出，所以选项B错误， 对于选项C，因为在定义域上单调递增，由，得到， 即，所以选项C错误， 对于选项D，由，得到，即， 所以可以推出，但得不到， 所以选项D正确， 故选：D. 4. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较. 【详解】由 ，， 所以满足， 故选：C 5. 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将、代入，求出、的值，再由等差数的性质求解即可. 【详解】解：设等差数列的公差为， 由， 可知当时，则有， 当时，则有， 解得， 所以， 解得. 故选：D. 6. 已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由在上为奇函数，根据，求得，再由，得到的周期为，结合，代入计算，即可求解. 【详解】由函数， 因为在上为奇函数，可得，解得， 所以函数， 又因为，所以函数的周期为， 所以. 故选：A. 7. ，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质列方程，结合对数函数的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由，解得， 依题意，存在使得成等差数列， 即存在使得， 即存在使得， 则， ， 设，则， 函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增， 则， 所以，而且，所以. 故选：B 8. 已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合条件根据单调性的定义可得函数在上单调递增，然后根据分段函数单调递增法则，结合导数法及单调性的性质研究每段的单调性，列不等式组求解即可. 【详解】，，且，都有即， 记， 则由单调性的定义知，函数在上单调递增， 则需满足：在上单调递增①， 在上单调递增②， 且 ③， 对于①，要使在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因在上单调递增， 所以在上单调递增时，； 对于③，，所以； 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 二、多选题（每小题6分，共3个小题） 9. 已知实数满足，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项B，根据条件得到，再利用二次函数的性质，即可求解；选项C，结合基本不等式即可判断；选项D，根据条件，同构，将问题转化成成立，构造函数，从而将问题转化成成立，再构造函数，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，且，所以， 当且仅当取等号，所以选项A正确， 对于选项B，因为， 由，得到，所以当时，取到最小值为， 所以选项B错误， 对于选项C，因为， 所以， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于选项D，因为，所以，即， 即， 令，易知在上单调递增， 所以成立，即成立， 令，所以在区间恒成立， 所以，得到，所以选项D正确， 故选：ACD. 10. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递增数列 C. 若为数列的前项和，则 D. 若对任意，都有，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据累乘法可得，即可判断A,根据即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对分奇偶即可求解D. 【详解】由，可得， 故 也符合， 故，，A正确， 由于，故，因此是单调递增数列，B正确， ， 故，C正确， 由可定， 当为偶数时，则恒成立，由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增，故， 故对任意，都有，则，故D错误， 故选：ABC 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 若关于的方程恰有两个非零的实数根，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导函数大于等于0恒成立，可求的取值范围，判断A的真假；分析时，函数的极值情况，判断B的真假；当时，只有1个零点，从而判断C错误；设，根据函数只有两解，可得函数的极小值或极大值为0，可探索，与的关系，判断D的真假. 【详解】因为，所以. 对A：函数是上的增函数，等价于在上恒成立， 由，故A正确； 对B：当时，因为，所以有两个不同的根， 分别为和， 且当或时，， 当时，. 所以函数在和上单调递增， 在上单调递减. 所以是函数的极小值，是函数的极大值.故B正确； 对C：当，， 对方程，， 因为时，，所以方程无实根. 所以方程只有一个根，故C错误； 对D：设，， 由B选项可知，函数在和上单调递增， 在上单调递减. 因为关于的方程恰有两个非零的实数根， 所以必有或. 当时，设方程的另一根为， 则必有， 所以， 所以； 同理，当时，设方程的另一根为， 则有.故D正确. 故选：ABD 三、填空题 12. 设，，，若，，则的最大值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知可解得，.根据换底公式可得，.根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案. 【详解】因为，所以，. 又，， 所以，. 因为，，根据基本不等式有， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 则， 所以的最大值为. 故答案为：. 13. 已知函数，函数在上单调递减，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由复合函数单调性的同增异减原则可知在上单调递减，且真数，在上恒成立，建立不等式求解即可. 【详解】函数在上单调递减，则在上单调递减， 因为二次函数的对称轴为，且开口向上，则， 要使得有意义，则，在上恒成立， 则， 故，解得，所以. 故答案为：. 14. 已知函数及其导函数的定义域均为，若对任意实数，，且当时，，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，并分析该函数的奇偶性，将所求不等式变形为，可得出，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，则， 由题意可得当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数， 故在上单调递减，则不等式 可化为， 即，即， 则有，即，即， 即，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 四、解答题（共5个小题） 15. 已知函数（，且）． （1）讨论的奇偶性； （2）若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可； （2）确定函数单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【小问1详解】 函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； 【小问2详解】 函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 16. 已知数列中，． （1）证明数列是等差数列，并求的通项公式； （2）设，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的定义判断是等差数列，结合等差数列的通项公式求的通项公式. （2）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 当时，， 所以，，又，所以， 故是以2为首项，3为公差的等差数列. 故，所以，． 【小问2详解】 ， 令，① 则，② ①-②得：， ， 故. 17. 已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产万件，需另投入成本万元，假设该企业年内共生产该产品万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且 （1）求出年利润（万元）关于年生产零件（万件）的函数关系式（注：年利润年销售收入年总成本）； （2）将年产量定为多少万件时，企业所获年利润最大. 【答案】（1） （2）80万件 【解析】 【分析】（1）根据售价和成本，分段求出函数式即可； （2）根据已求的利润表达式，结合导数和基本不等式的知识分段求最值并比较即可. 【小问1详解】 由题意得，总售价固定为， 当产量不足60万箱时，. 当产量不小于60万箱时，. 则 【小问2详解】 设， 当时，，令，得， 得在上单调递增，在上单调递减， 则； 当时，由基本不等式有 当且仅当，即时取等号； 又因为，所以当时，所获利润最大，最大值为1300万元 18. 已知函数，． （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数单调性； （3）当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）先求的导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性； （3）利用导数法分别求解在给定区间的最小值，然后根据“恒成立”和“能成立”得到关于的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以所求切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 ，则函数定义域为， 所以，所以当时，有恒成立，在单调递减， 当时，由解得：，在上单调递减； 由解得：，在上单调递增； 综上，时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. 小问3详解】 由（2）知，当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，则 所以在上单调递减，所以， 则有，即， 设，，则， 所以在定义域内为减函数，又， 所以，所以，即的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若是函数的一个极值点，求实数的值； （2）若函数有两个极值点，其中， ①求实数的取值范围； ②若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）对函数求导，依题意可得，解得，经检验符合题意； （2）①将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的正数根，再由函数与方程的思想可知函数与函数的图象在上有两个不同交点，利用数形结合可得； ②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数对任意的恒成立，利用导数并对实数的取值分类讨论即可求得. 【小问1详解】 易知，又是函数的一个极值点， ，即. 此时，令， 在上单调递增，且， 当，当， 在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，即符合题意； 因此实数的值为. 【小问2详解】 ①因为，且有两个极值点， 所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根， 将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点， 则，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 且当时，，故作出的图象如下： 由图象可得满足题意，即. 即实数的取值范围为； ②由①知是的两个根， 故，则， 不妨设，又，所以可得， 可得，即，所以； 故由可得， 即，所以； 也即，化简得， 由于，所以等价于对任意的恒成立， 令，故对任意的恒成立， 则， 设，则， （i）当时，单调递增， 故单调递减，故，不满足，舍去； （ii）当时，单调递减， 故单调递增，故，故恒成立，符合题意； （iii）当时，令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 又，故时，，此时单调递减，故， 因此当时，，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用两极值点关系可得，并通过构造函数将不等式问题转化为函数在指定区间上恒成立问题，利用导函数求出函数最值即可求得实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$