11.3一元一次不等式组（第一课时）实际问题与一元一次不等式组同步训练2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 本同步练聚焦一元一次不等式组实际应用，分层设计从基础计算到综合应用，覆盖方案、利润、分配三类问题，衔接中考真题，培养抽象能力与模型意识，实现知识巩固与能力提升统一。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二元一次方程组求解|以运输物资、购买水果等情境，考查方程建模与运算能力| |提升层|一元一次不等式组方案设计|通过费用控制、利润优化等问题，培养推理能力与方案论证| |综合层|中考真题综合应用|选取黑龙江、四川等地中考题，整合知识考查实际问题解决，提升应用意识|

11.3 一元一次不等式组（第二课时） 实际问题与一元一次不等式组同步训练 题型一、 方案问题 1.某企业需运输一批生产物资，已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运输65箱物资；4辆大货车与6辆小货车一次可以运输120箱物资． (1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别运输多少箱物资； (2)计划用两种货车共15辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于175箱，且总费用小于6100元．请求出有几种运输方案？ 2.火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知甲种货物和乙种货物可装满一节A型货箱，甲种货物和乙种货物可装满一节B型货箱． (1)据此安排A，B两种货箱的节数，共有几种方案？ (2)若每节A型货箱的运费是万元，每节B型货箱的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 3.钢钢准备在重阳节购买鲜花到敬老院看望老人，现将自己在劳动课上制作的竹篮和陶罐拿到学校的“跳蚤市场”出售，以下是购买者的出价： (1)根据对话内容，求钢钢出售的竹篮和陶罐数量； (2)钢钢接受了钟钟的报价，交易后到花店购买单价为5元/束的鲜花，剩余的钱不超过20元，求有哪几种购买方案． 4.我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 5.民以食为天，保障粮食安全始终是治国安邦的头等大事．某现代化农业园区积极响应“藏粮于地、藏粮于技”战略，计划投入专项资金引入新型农机设备，以此提升粮食生产效率与规模． (1)已知购进1台智能播种机与1台自动化收割机总计需要20万元，而购进2台智能播种机和3台自动化收割机共需55万元．那么，购进1台智能播种机和1台自动化收割机分别需要多少资金呢？ (2)该农业园区规划购进这两种农机设备共10台，且资金投入需控制在95万元到120万元之间（包含95万元与120万元）．在满足预算与生产需求的前提下，有哪几种可行的采购方案呢？ 题型二、利润问题 1.时值春天，某水果店老板决定售卖甲、乙两种水果，已知该老板进货情况如下，100元可以购买4千克甲水果和12千克乙水果或5千克甲水果和10千克乙水果． (1)求甲、乙两种水果每千克各需多少元？ (2)若该老板购买甲、乙两种水果共200千克，但由于考虑其他类型水果的售卖情况，投入金额不少于1248元，不能超过1264元，请你帮助该老板计算共有几种进货方案？（老板决定整千克购买） (3)经过市场反馈，每千克甲水果可以获利5元，每千克乙水果可以获利2元，则在（2）的条件下，哪种方案可获利最多？ 2.新年将至，小开计划购进部分年货进行销售．若购进40副春联和30对窗花共需410元；购进60副春联和80对窗花共需720元． （1）求每副春联、每对窗花的进价各是多少元； （2）小开计划购进春联、窗花共300件进行销售，春联和窗花的售价分别定为15元和6元．春联和窗花的总进价不超过1300元，且全部销售完后总销售额不低于2250元，若购进的春联和窗花全部售出，则购进多少副春联时销售利润最大，并求出最大利润． 南雅中学小卖部推出了新款的校园文化衫和校园风景明信片小南购买件文化衫和套明信片花了元，小雅购买件文化衫和套明信片花了元． 一件文化衫和一套明信片各多少元 学校规定，每位同学每天在小卖部消费不能超过元，小美购买文化衫和明信片两种商品共件，且文化衫的件数大于明信片的套数，请问她购买文化衫多少件明信片多少套 3.为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 4.3月19日，“开封清明上河园·忘忧清乐杯”第三届中国围棋国手赛决赛三番棋第二局在河南开封进行，卫冕冠军丁浩九段中盘胜挑战者范廷钰九段，从而以大比分2比0夺冠，实现赛事三连冠．某商家销售A，B两种围棋，每套的进价分别为200元，170元，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种 B种 第一周 2套 3套 1080元 第二周 3套 4套 1520元 (1)求A，B两种围棋每套的售价； (2)若商家准备再采购A，B两种围棋共40套，其中B种围棋的数量不少于A种围棋数量的3倍，要使销售完这40套围棋的利润不少于1280元，共有几种进货方案？（不考虑其他支出） 题型三、分配问题 1.将一箱书分给学生，若每名学生分本书，则还剩本书；若每名学生分本书，则有一名学生分到书但不到本．求这一箱书的本数与学生的人数．若设有名学生，则根据题意，可列不等式为（　　） A. B. C. D. 2.学校为学生安排住宿，现有房间若干间，若每间住6人，则还有人安排不下；若每间住8人，除一个房间的情况不满也不空外其余房间均住满．问学校可能有几间房可以安排学生住宿？可能有多少学生住宿？ 3.某酒店有三人普通间、双人普通间两种客房，收费数据如表所示，一个50人的旅游团到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房，且每间客房正好住满。如果该旅游团一天的住宿费要求低于3000元，且旅客要求住进的双人普通间不少于三人普通间，那么请问：旅游团住进的三人普通间和双人普通间各多少间？ 元/天/间 双人普通间 140 三人普通间 150 4.某宾馆一楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，如果全住一楼，若按每间4人安排，则房间不够；若按每间5人安排，则有的房间住不满5人．如果全住在二楼，若按每间3人安排，则房间不够；若按每间4人安排，则有的房间住不满4人，试求该宾馆一楼有多少间客房? 链接中考 1.（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ 2.（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 3.（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 11.3 一元一次不等式组第二课时 实际问题与一元一次不等式组答案 题型一、 方案问题 1.（1）解：设1辆大货车一次运输x箱物资，1辆小货车一次运输y箱物资，根据题意，得，解得， 所以设1辆大货车一次运输15箱物资，1辆小货车一次运输10箱物资； （2） 解：设运输这批物资的大货车m辆，则小货车辆，根据题意，得 ， 解得， ∵m是正整数， ∴m可取5,6,7， ∴运输方案有3种， 方案一：大货车5辆，小货车10辆，此时所需要费用为（元）； 方案二：大货车6辆，小货车9辆，此时所需要费用为（元）； 方案三：大货车7辆，小货车8辆，此时所需要费用为（元）． 答：方案一：大货车5辆，小货车10辆；方案二：大货车6辆，小货车9辆；方案三：大货车7辆，小货车8辆． 2.（1）解：设安排A型货箱x节，则安排B型货箱节，根据题意得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，29，30， ∴共3种方案：安排A型货箱28节，B型货箱22节；安排A型货箱29节，B型货箱21节；安排A型货箱30节，B型货箱20节； （2）解：当安排A型货箱28节，B型货箱22节时，需要的运费为： （万元）； 当安排A型货箱29节，B型货箱21节时，需要的运费为： （万元）； 当安排A型货箱30节，B型货箱20节时，需要的运费为： （万元）； ∵， ∴安排A型货箱30节，B型货箱20节运费最少． 3.（1）解：设钢钢出售的竹篮为个，陶罐为个， 由题意得：， 解得， 答：钢钢出售的竹篮为5个，陶罐为3个． （2） 解：设钢钢购买了束鲜花， 由题意得：， 解得， 因为为正整数， 所以共有四种购买方案：①购买9束鲜花；②购买10束鲜花；③购买11束鲜花；④购买12束鲜花． 4.（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2） 解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 5.（1）解：设购进1台智能播种机需要x万元，1台自动化收割机需要y万元， 根据题意得： 解得：， ∴购进1台智能播种机需要5万元，1台自动化收割机需要15万元； （2）设购进智能播种机m台，则自动化收割机台， 根据题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴当时，，采购智能播种机3台，则自动化收割机台； 当时，，采购智能播种机4台，则自动化收割机台； 当时，，采购智能播种机5台，则自动化收割机台． 题型二、利润问题 1.（1）解：（1）设购进甲水果每千克需x元、乙水果每千克需y元， 根据题意得，解得， 答：甲、乙两种水果每千克各需10元、5元； （2）设购进甲水果t千克，则购进乙水果千克， 由题意得，解得， 因为t为正整数，所以，51，52，所以有三种方案． 第一种方案：购进甲水果50千克，乙水果150千克； 第二种方案：购进甲水果51千克，乙水果149千克； 第三种方案：购进甲水果52千克，乙水果148千克． （3） 第一种方案商家可获利：（元）； 第二种方案商家可获利：（元）； 第三种方案商家可获利：（元）． 因为， 所以方案三购进甲水果52千克，乙水果148千克，获利最多． 2.（1）解：设一件文化衫元，一套明信片元， 依题意，得：，解得：． 答：一件文化衫元，一套明信片元． （2）设购买文化衫件，则购买明信片套， 依题意，得：，解得：， 又为整数，，． 答：购买文化衫件，明信片套． 3.（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，由题意得： 解得： 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元． （2）解：①设购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得： 解得：． 为正整数， ∴，，． 共有三种购买方案： 方案一：购买跳绳根，毽子个； 方案二：购买跳绳根，毽子个； 方案三：购买跳绳根，毽子个． ②方案一的费用为：元， 方案二的费用为：元， 方案三的费用为：元． ， 方案一更省钱：购买跳绳根，毽子个． 4.（1）解：设A种围棋每套的售价为x元，B种围棋每套的售价为y元． 根据题意，得．解得． 答：A种围棋每套的售价为240元，B种围棋每套的售价为200元． （2）解：设商家采购A种围棋m套，则采购B种围棋套． 根据题意，得． 解得． 是正整数， 可以取8，9或10． 答：商家共有3种进货方案． 题型三、分配问题 1.　C　 2.解：设可能有房间间，则住宿学生的人数为人， 根据题意得： 解得． 因为取正整数，所以取，或． 当时，住宿的人数为：(人)； 当时，住宿的人数为：(人)； 当时，住宿的人数为：(人)． 答：学校有可能安排个房间或个房间或个房间，相应的住宿人数为人或人或人． 3.解：双人普通间住了间，则三人普通间住了间， 由题意得0 解得， ∵取整数 ∴的值是10、11或12 当=10时，=10，符合题意； 当=11时，=，不符合题意； 当=12时，=，不符合题意； 故旅游团住进的三人普通间和双人普通间都是10间。 4.解：设第一层有客房x间，则第二层有（x+5）间，由题可得 由①得：，解得：； 由②得：，解得：7＜x＜11. ∴原不等式组的解集为. ∴整数x的值为x=10． 答：一层有客房10间． 链接中考 1.（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 2.（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2） 解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 共有6种购买方案， 方案一、当时，=30，费用是30×20+10×30=900（元）； 方案二、当时，=29，费用是29×20+11×30=910（元）； 方案三、当时，=28，费用是28×20+12×30=920（元）； 方案四、当时，=27，费用是27×20+13×30=930（元）； 方案五、当时，=26，费用是26×20+14×30=940（元）； 方案六、当时，=25，费用是25×20+15×30=950（元）；答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 3.解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； 任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱， ∴最低购买费用为元， 答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 学科网（北京）股份有限公司 $