河北秦皇岛市昌黎第一中学2025-2026学年高三下学期第一次模拟考试数学试卷

**基本信息** 高三一模数学卷聚焦函数、几何、代数核心知识，通过质点移动概率、抛物线与圆相切等情境，分层考查数学抽象、逻辑推理与模型意识，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、集合、函数奇偶性、向量、立体几何线面角、椭圆离心率|单题巩固基础，多选题（如导数零点判断）考查推理严谨性| |填空题|3题15分|等比数列积、导数切线、九圆填数排列组合|第14题图形填数，融合空间观念与创新意识| |解答题|5题77分|概率期望方差、数列求和、立体几何面面垂直、抛物线面积最值、导数极值点|15题质点移动情境化建模，18题抛物线与圆相切综合应用，19题导数多问分层提升思维深度|

河北昌黎第一中学2025-2026学年高三年级第一次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1.本试题共两部分，满分150分，时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试上无效。 4。考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，则的元素个数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4.已知菱形的边长为是的中点，则（ ） A. B. C. D. 5.已知，则（ ） A. B. C. D. 6.已知正四棱台的高为为底面的中心，则直线与平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 7.已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数，若在上恰有两个零点，且其图象关于点和直线对称，当时，的最大值与最小值的乘积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数，其导函数为，则（ ） A.直线是曲线的切线 B.有三个零点 C. D.若在区间上有最大值，则的取值范围为 10.在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B.有两解 C.是钝角三角形 D.若，则 11.已知双曲线的左、右焦点为为双曲线右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A.若存在点使得为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 B.外接圆的面积的最小值为 C.轴与的内切圆的公共点为定点 D.设点是的内心，直线的斜率之比为常数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设为等比数列的前项积，若，则______。 13.已知函数，曲线在点处的切线与平行，则的最小值为______。 14.下图是由九个半径相同的圆构成的图形（该图形不能旋转和翻转），若将九个数字分别填入这几个圆中，且有阴影的圆中填的数字大于与之相邻的三个圆中所填的数字，则填法一共有______种。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度。 （1）移动4次后，质点最终所在的位置的坐标为多少的概率最大? （2）若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求的期望与方差。 16.（15分） 在正项数列中，设的前项和为，已知。 （1）求的通项公式; （2）令，求的前项和。 17.（15分） 如图，在三棱锥中，其外接球球心为的中点，平面平面。已知。 （1）求证：平面平面。 （2）求平面与平面的夹角的余弦值。 18.（17分） 已知抛物线仅经过中的一点。 （1）求的方程。 （2）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限，为坐标原点。 （i）记和的面积分别为，求的最小值。 （ii）过点作轴的垂线，分别交于两点，请判断是否存在以为直径的圆与轴相切，并说明理由。 19.（17分） 已知函数。 （1）当时，判断函数的单调性; （2）当时，判断函数的零点个数; （3）当时，是否存在实数，使得有两个极值点? 若存在，求证：为极值点;若不存在，请说明理由。 2 学科网（北京）股份有限公司 $