精品解析：河北沧州市第一中学等校2026届普通高中高三总复习质量监测数学试卷

2026届普通高中高三总复习质量监测 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 先将函数的最小正周期变为原来的倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则、的值分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 6. 过抛物线的焦点F，作直线与C交于A，B两点，若点A的横坐标为4，则（ ） A. 5 B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，…，的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，对该组数据作线性处理得到另一组数据，，…，，记该组数据的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知动圆的圆心在曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆C经过原点O，则实数存在两个不同的值符合题意 B. 若圆C被直线平分，则圆心的坐标为 C. 存在，使得圆C截两坐标轴所得的弦长相等 D. 圆C上的点到直线的距离的最小值为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为2 C. 面积的最小值为 D. 直线，的倾斜角之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中项的系数为_________． 13. 已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线，若动直线l与曲线相切，并与圆相交于C，D两点，则的最小值为_________． 14. 如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C相交于M，N两点，若的面积为2，求直线MN的方程． 16. 某学习小组收集到了类似于数列的“向量列”：满足，且，． （1）求，，的值，判断数列是否为等比数列.若是，请加以证明；若不是，请说明理由． （2）求数列的前n项和． 17. 先后掷一个质地均匀的骰子3次，得到向上的点数依次为x，y，z，记随机变量. （1）写出取值的集合； （2）比较取最小值和最大值时的概率值的大小； （3）在的条件下，求取得最大值的概率. 18. 如图，在正方体中，O为其外接球的球心，，将棱BC延长到点E，使得，连接DE，，M为上靠近的三等分点． （1）求证：平面. （2）（i）求平面与球O的截面的面积； （ii）若点P是OE与球面O的交点，求平面AMP与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数的反函数为，． （1）在点处作曲线的切线，求切线的方程． （2）已知n个大于2的实数，，…，，对任意，都存在使得，且.若，求正整数n的最小值． （3）若函数F（x）有两个极值点，，且，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届普通高中高三总复习质量监测 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号及座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，，所以． 2. 已知复数的共轭复数为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用除法法则计算，然后根据共轭复数和模的定义计算. 【详解】由题可知，则，，所以． 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易知，，，所以 【点睛】事实上当时，恒有. 4. 已知向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】向量在上的投影向量为. 5. 先将函数的最小正周期变为原来的倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则、的值分别为（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，结合题意可得出关于、的方程组，结合的取值范围可得结果. 【详解】函数的最小正周期变为原来的倍，即将函数图象上每点的横坐标伸长为原来的倍， 所得函数的解析式为， 再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 即， 所以，解得，， 又因为，故. 6. 过抛物线的焦点F，作直线与C交于A，B两点，若点A的横坐标为4，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线方程为，由标准方程得，，焦点，准线. 已知点横坐标为，代入抛物线方程得，即，故有两种情况：或. 根据抛物线定义，焦点弦长公式. 情况一：，直线斜率，方程. 联立消去整理得. 由韦达定理，. 情况二：，直线斜率，方程. 联立，消去整理得. 由韦达定理，. 两种情况结果一致，代入弦长公式：. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由结合正弦定理可知. 因为，则. 即，结合正弦定理得，即得. 将上式代入， 得，故，又，. 所以，，. 所以的面积为. 8. 已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数，利用偶函数得四零点，从小到大排序，依等差数列公差相等列式，换元运算，解得对数结果. 【详解】函数，定义域为.又， 所以函数为偶函数. 当时，， 令，得，显然，，解得或. 由有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为. 因零点成递增等差数列，故排序为， 设公差为，则：，， 即，化简得， 两边同乘得，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，…，的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，对该组数据作线性处理得到另一组数据，，…，，记该组数据的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】对于，则，A正确； 对于，则，B不正确； 对于，第75百分位数位置不变，即，C正确； 对于，最大数和最小数的位置不变，故，即，D正确. 【点睛】 10. 已知动圆的圆心在曲线上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆C经过原点O，则实数存在两个不同的值符合题意 B. 若圆C被直线平分，则圆心的坐标为 C. 存在，使得圆C截两坐标轴所得的弦长相等 D. 圆C上的点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，代入原点列式构造函数，求导判断函数单调和极值点，结合两端极限，判断方程两解，B选项，直线平分圆必过圆心，构造对数函数求最值，得唯一交点坐标，C选项，坐标轴弦长相等等价横纵坐标平方相等，利用不等式证无解，D选项，找曲线平行直线切点，算圆心距再减半径，得圆上点距离最小值. 【详解】动圆的圆心为，半径. 对于选项A，若圆经过原点，则，即. 令，求导得. 令，在上恒成立，故在上单调递增. 又，，由零点存在定理知，存在唯一，使得，即. 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 当时，，，故； 当时，，，故； 且，即函数最小值小于0. 结合函数单调性与极限趋势，在上仅有两个正根，即存在两个不同的实数满足题意，选项A正确. 对于选项B，圆被直线平分等价于直线过圆心，故， 令，，在处取最大值， 故方程仅有解，圆心为，选项B正确. 对于选项C，令，圆截轴弦长为； 令，圆截轴弦长为，弦长相等等价于，即或. 令 ，则. 当 时，，递减；当 时，，递增. 所以 ，故恒成立. 所以当时，且，方程无解，故不存在使弦长相等，选项C错误. 对于选项D，设，，令得，此时圆心为， 该点到直线的距离， 则圆上点到直线的最小距离为，选项D正确. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线与的左、右两支分别交于，两点（在第一象限内），为原点，若，点到两条渐近线的距离之积为，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为2 C. 面积的最小值为 D. 直线，的倾斜角之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求出，设，，利用点到直线距离公式求出到两条渐近线的距离，由题意列式即可求出，可判断A；根据求出，可判断B；设直线，将直线方程与双曲线方程联立求出，，进而求出，根据函数的单调性即可判断C；设直线，的倾斜角分别为，，证明即可判断D. 【详解】由，得， 设，，则点到渐近线的距离分别为，， 所以， 所以，故的渐近线方程为，故A正确； ，所以，故B错误； 由上知，设直线， 将其代入，得， 则，， 所以， 函数在上单调递增， 所以当时取得最小值，故C正确； 设直线，的倾斜角分别为，， 易知，，，， ， 又，所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中项的系数为_________． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为. 令，得，则系数为． 13. 已知点，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线，若动直线l与曲线相切，并与圆相交于C，D两点，则的最小值为_________． 【答案】8 【解析】 【详解】设，，，. 所以曲线是单位圆，易知当为时. 圆心到的距离最大，且最大值为，又圆的半径为. 由勾股定理可知，的最小值为． 14. 如图，在长方体中，，，M为的中点，过点B作平面与平面平行，则平面与底面的交线l的长度为_________；若P为l上的动点，则动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设的中点为，通过证明平面平面，可解决第一空，由，确定为动直线AP与的夹角，进而可求解. 【详解】 如图，设的中点为，连接，，分别为，的中点， 则, ,又， 所以四边形都是平行四边形， 所以，， 又平面， 所以平面，平面， 又平面， 所以平面平面，即平面为平面， 线段为平面与底面的交线， 易得； 连接，因为，所以为动直线AP与的夹角，，过作（H为垂足），则， 在中，由等面积法可得，得， 又, 所以． 即动直线AP与的夹角的正切值的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C相交于M，N两点，若的面积为2，求直线MN的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率求得，然后利用求得，即可得解． （2）设直线，与椭圆方程联立，韦达定理，利用面积公式求得，进而代入韦达定理求解即可． 【小问1详解】 因为C的离心率为，可得，即， 又，所以，即． 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 易知点，， 显然直线MN的斜率不为0，设点，，直线， 联立可得， 则，. 又，得． 所以． 所以．所以， 化简得，可得，所以直线MN的方程为． 16. 某学习小组收集到了类似于数列的“向量列”：满足，且，． （1）求，，的值，判断数列是否为等比数列.若是，请加以证明；若不是，请说明理由． （2）求数列的前n项和． 【答案】（1），，，数列是等比数列，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的运算律结合等比数列的概念即可求解； （2）由（1）求得通项公式，再由错位相减法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以； 由，，，可得，其中； 同理，，其中； 由，，，得数列是等比数列． 证明如下： ， 即， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， ， 两式相减可得， ， 则． 17. 先后掷一个质地均匀的骰子3次，得到向上的点数依次为x，y，z，记随机变量. （1）写出取值的集合； （2）比较取最小值和最大值时的概率值的大小； （3）在的条件下，求取得最大值的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据事件的所有可能结果，判断随机变量可能出现的情况即可； （2）根据古典概型概率计算公式，求出事件概率即可； （3）根据条件概率计算公式，求出事件概率即可； 【小问1详解】 若，此时； 若x，y，z只有两个相等，则有，，三类，此时； 若x，y，z互不相等，不妨设，此时， 此时． 综上，取值的集合为． 【小问2详解】 由（1）知，， 掷骰子3次，共有个样本点， 当时，共有种不同的情况，； 对于，三个数中必有1和6， 若第三个数为1或6，则共有个样本点， 若第三个数为2，3，4，5中的一个，共有个样本点， 所以． 所以． 【小问3详解】 由（2）可知，则， 则. 18. 如图，在正方体中，O为其外接球的球心，，将棱BC延长到点E，使得，连接DE，，M为上靠近的三等分点． （1）求证：平面. （2）（i）求平面与球O的截面的面积； （ii）若点P是OE与球面O的交点，求平面AMP与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法证明即可. （2）（i）求出平面的法向量，利用点面距离的向量公式求得球心O到截面的距离，即可求得截面圆的半径，即可得解； （ii）求出平面AMP与平面的法向量，然后利用面面夹角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 平面的一个法向量可取， 则，所以， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 （ⅰ）由正方体性质可知，球O的半径， 则，，，， ，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则． 又，则球心O到截面的距离为， 所以截面圆的半径r满足， 所以截面圆的面积为． （ⅱ）因为，， 所以，， 则，． 设平面AMP的一个法向量为， 则即 取，则． 所以， 即平面AMP与平面夹角的余弦值为． 19. 已知函数的反函数为，． （1）在点处作曲线的切线，求切线的方程． （2）已知n个大于2的实数，，…，，对任意，都存在使得，且.若，求正整数n的最小值． （3）若函数F（x）有两个极值点，，且，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）8 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义，对求导，代入切点横坐标得切线斜率，再由点斜式写出曲线在处的切线方程. （2）对两边取对数化为，构造函数，借助其单调性确定，通过数列不等式放缩求和求解正整数的最小值. （3）对求导得极值点满足，分离参数得，构造函数研究单调性确定两极值点存在条件，令进行比值换元，将双变量问题转化为单变量函数最值问题，进而求出参数的取值范围. 【小问1详解】 易知点在曲线上.对求导得. 将代入得，由点斜式得切线方程为. 【小问2详解】 对两边取对数，得，其中. 设，求导得. 易得在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 设,则. 所以,即,所以正整数的最小值为. 【小问3详解】 由题可知,则,所以方程有两个实根,分离参数得即直线和曲线有两个不同的交点. ,当时,单调递增；当时,单调递减. 又,且. 如图,画出其图象,当且仅当时,函数有两个极值点,且. 又因为,所以,令,则,所以,两边取对数可得. 设,则,设,则, 所以单调递减, ,即单调递减,,所以, 又在上单调递增,即当时,取得最大值,为 因此,实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $