精品解析：2026年云南省楚雄彝族自治州姚安县初中学业水平考试数学模拟试卷（一）

2026年云南省初中学业水平考试 数学模拟试卷（一） （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的运用，掌握正负数的意义是关键． 根据题意，收入用正数表示，则支出用负数表示，由此即可求解． 【详解】解：“收入80元”记作“元”， ∴“支出50元”记作， 故选：B ． 2. 2025年4月23日，我国首次实现地月距离尺度的卫星激光测距，标志着我国在深空卫星激光测距技术领域取得重要突破．科研团队利用云南天文台1.2米口径望远镜地面激光测距系统，成功捕获到卫星反射器反射的激光回波光子，测出星地距离约千米．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，表示形式为，其中，为整数，根据定义即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用合并同类项法则，完全平方公式，单项式乘单项式法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A． 与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B． ，原计算错误，不符合题意； C． ，原计算错误，不符合题意； D． ，原计算正确，符合题意； 4. 小篆是中国历史上第一个标准化的汉字字体，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形是轴对称图形，符合题意； D．该图形不是轴对称图形，不符合题意． 5. 一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为（　　） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出这个多边形的外角度数，再用外角和÷外角度数即可求出这个多边形的边数． 【详解】解：∵一个多边形的每个内角都是， ∴这个多边形的外角为：， ∴这个多边形的边数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补． 6. 使函数有意义的自变量x的取值范围是（ ） A. x≠1且x≠0 B. x≠1 C. x＞1 D. x＜1 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 即． 故选B． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 7. 按一定规律排列的单项式：，，，，， ，…，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知这一列单项式的数字部分为序号加1的平方，其中序号为奇数则系数为正，序号为偶数则系数为负，而字母的次数为序号的2倍，由此求解即可． 【详解】解：第一个单项式为； 第二个单项式为； 第三个单项式为； ， 第n个单项式为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了单项式的规律，正确找到单项式之间的规律列出代数式是解题的关键． 8. 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( ) A. 60° B. 55° C. 45° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】由PD∥OB，得出∠PCO＝∠DPC =90°；再根据∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°即可求出∠APD 【详解】 PD∥OB, PC⊥OB ∠CPD=90° ∠OPC+∠CPD+∠APD= 180°, ∠OPC＝35° ∠APD=180°-90°-35°=55° 故选B 【点睛】本题考查了平行线性质，熟练掌握性质是解题的关键. 9. 如果反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入解析式解答即可求解． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 10. 下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 圆锥 C. 球 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据主视图和俯视图为矩形判断出是柱体，根据左视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 11. 在“课后延时”活动中，体育兴趣小组选出人数相等的甲、乙两班学生参加了一分钟跳绳测验，两班的平均数相同，方差分别为，那么成绩较为整齐的是（ ） A. 两班一样整齐 B. 甲班 C. 乙班 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方差的定义及运用方差做决策，根据方差越大波动越大、方差越小波动越小即可得到答案，熟记方差定义是解决问题的关键． 【详解】解：两班的平均数相同，方差分别为， 由可得甲班的成绩较为整齐， 故选：B． 12. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于，列方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为， 故选D． 13. 如图，在中，，，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，理解题意，结合图形求解是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 14. 过桥米线是云南省滇南地区的一种特色小吃，广受云南群众的喜爱．为了了解外地游客对过桥米线的喜爱程度，相关部门随机调查了部分游客的意见（A．不满意；B．一般；C．非常满意；D．较满意；E．不清楚，五者任选其一）．根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 选择“C非常满意”的人数最多 B. 抽样调查的样本容量是120 C. 样本中“A不满意”的百分比为 D. 到云南吃过桥米线的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人 【答案】B 【解析】 【分析】由“C非常满意”的人数，从而可判断A；由“B一般”的人数及其占比可求得抽取的总人数，则可判断B；可以计算出样本中“A不满意”的百分比，从而判断C；根据口味“B一般”的人数占比，即可求得云南吃过桥米线的人数为人中，觉得口味“B一般”的大约人数，从而判断D． 【详解】解：由条形统计图知：选择“C非常满意”的人数最多，故A的结论正确，不符合题意； 抽取的人数中，口味“B一般”的人数为人，其占比为， ∴抽取的总人数为：（人）， ∴抽样调查的样本容量是，故B错误，符合题意； ∵“A不满意”的人数为， ∴样本中“A不满意”的百分比为，故C正确，不符合题意； ∵（人）， ∴到云南吃过桥米线的人数为人中，觉得口味“B一般”的大约人数为人．故D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图信息相关联，求样本容量，求扇形图中的百分比，样本估计总体，掌握用样本估计总体数量等知识是解题的关键． 15. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解． 【详解】如图，连接，，交于点， ∵ ， ∴是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ， ∴改建后门洞的圆弧长是(m)， 故选：C 【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式法分解因式，找准公因式是解题的关键． 直接利用提公因式法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 17. 已知直径为10，点到点O距离为8，则点在_____．（填“上、内或外”） 【答案】外 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】∵⊙O的直径为10， ∴⊙O的半径为5， ∵点A到圆心O的距离为8， 即点A到圆心O的距离大于圆的半径， ∴点A在圆外． 故答案为：外. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外时，d＞r；点P在圆上时，d=r；点P在圆内时，d＜r．反之也成立． 18. 如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，最后利用角平分线的定义求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 19. 2025年3月9日，云南省首届“云岭石榴红”陀螺邀请赛在玉溪市新平彝族傣族自治县正式开幕．来自昆明、玉溪、普洱等省内7个州市的68支队伍齐聚一堂，展开激烈角逐，以陀螺为媒，共话民族团结，共促文化交流．陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为，高h为，则此圆锥的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积的求解，掌握圆锥的侧面积为（分别为底面圆半径和母线长）是解题的关键． 先根据勾股定理求出半径，再由圆锥侧面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了含特殊锐角三角函数值的实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用零指数幂、二次根式、绝对值、负整数指数幂的性质，及特殊锐角三角函数值进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据，得，根据得，进而可依据“”判定和全等． 【详解】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ． 22. 【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个． 【问题解决】 问题：分别求出两种书架的单价． 【答案】A种书架的单价为1100元，B种书架的单价为1000元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设种书架的单价为元，则种书架的单价为元，根据数量总价单价，结合用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设种书架的单价为元，则种书架的单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：A种书架的单价为1100元，B种书架的单价为1000元． 23. 安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 【答案】（1）12种 （2）不公平；莹莹第一个出场的可能性更大 【解析】 【分析】（1）画出树状图即可解答； （2）分别求出晶晶和莹莹第一个出场的概率，再进行比较即可解答． 【小问1详解】 解：画树状图如答图： 由树状图可知，共有种等可能的结果． 【小问2详解】 这种规则对晶晶和莹莹不公平． 理由如下：由（1）可得，12种等可能的结果中，晶晶第一个出场的结果有4种，莹莹第一个出场的结果有8种， 晶晶第一个出场的概率为，莹莹第一个出场的概率为．， 这个规则对晶晶和莹莹不公平，莹莹第一个出场的可能性更大． 24. 鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼在云南当地烘焙品牌店均有销售．每年4月，鲜花饼的上市早已成为当地人民的共同期待，排着长队等待购买新鲜上市的鲜花饼在当地早已司空见惯，某经销商准备从一鲜花饼加工厂购进甲、乙两种鲜花饼进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种鲜花饼的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种鲜花饼按80元/千克的价格出售，设经销商购进甲种鲜花饼千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种鲜花饼共150千克，其中甲种鲜花饼多于50千克且不超过80千克，如何分配甲、乙两种鲜花饼的购进量，才能使经销商付款总金额最少？ 【答案】（1） （2）甲种鲜花饼的购进量是80千克、乙种鲜花饼的购进量是70千克，才能使经销商付款总金额最少 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． (1)由图可知函数关系式是分段函数，用待定系数法求解即可； (2)购进甲种鲜花饼x千克，则购进乙种鲜花饼千克，根据实际意义可以确定函数解析式，再利用函数性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：当时， 设， 将代入，得， 解得， 所以当时， 当时， 设， 将代入， 得， 解得， 所以当时， ， 所以与之间的函数关系式为 ； 【小问2详解】 解：甲种鲜花饼多于50千克且不超过80千克， ， ， 随的增大而减小， ， 当时，w最小，最小值为， 甲种鲜花饼的购进量是80千克、乙种鲜花饼的购进量是千克，才能使经销商付款总金额最少， 答：当甲种鲜花饼的购进量是80千克、乙种鲜花饼的购进量是千克，才能使经销商付款总金额最少． 25. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，点是的中点，得，由，，证明四边形是平行四边形，则四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，则，可证明四边形是平行四边形，而，，则四边形是菱形，，所以，，，求得，则，由，求得． 【小问1详解】 证明：，点是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是菱形，三角形是等边三角形， ∴，，，， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查菱形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出四边形是平行四边形及是解题的关键． 26. 已知抛物线交轴于，，交轴于，点是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求，的值； （2）①若为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点的坐标； ②若点在该抛物线上，且，，求的值． 【答案】（1）1； （2）①；②2026 【解析】 【分析】（1）将和两点代入抛物线，解出方程即可； （2）①根据的范围求出相对应的值，结合第一问求出的抛物线即可求的坐标； ②根据方程与根的情况得到，的关系，再结合得到第二个式子，组成方程组得到，的关于的式子，代入求解即可． 【详解】（1）解：抛物线交轴于和， ，解得 的值为1，的值为． （2）①点是第四象限内抛物线上的一个动点， ， 为整数，且的值也为整数， ∴或， 当时，分母，表达式T无意义（舍去）， ， ，， 抛物线的解析式为． 当时，， 此时，是整数，符合题意， 满足条件的点的坐标为； ②点是第四象限内抛物线上的一个动点，点在该抛物线上，， 轴，，，是方程的两根， ． ， ， 联立 解得 ． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，点是半圆的中点，点是上一动点（不与点，重合），连接，，交于点． （1）如图①，过点作，交的延长线于点，求证：与相切； （2）如图②，过点作，垂足为点，若，，求的长； （3）如图③，把沿直线翻折得到，连接，当点在上运动时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接． 是的外接圆，是的直径，点是半圆的中点， ，， ． ， ， 点在上，且是的半径， 与相切． （2） （3）； 理由如下： 如图，作，使得，连接，．则， ， ，， ， ∵， ， ， ， ，， ． 【解析】 【分析】（1）连接，由是的外接圆，是的直径，点B是半圆的中点，得出，，再结合平行线的性质可推出结论； （2）证明，，在中，设，则，，，得出，即，从而得出结果； （3）作，使得，连接，．证明，得出，推出，进而可推出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点是半圆的中点， ． 是的直径， ， ， ． ， ， 又∵， ． ， 在中，设，则，，， ，即， ， 的长是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年云南省初中学业水平考试 数学模拟试卷（一） （全卷三个大题，共27小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》记载的“余”和“不足”等概念，充分说明中国是世界上最早采用正负数表示相反意义量的国家．若将“收入80元”记作“元”，则“支出50元”记作（ ） A. 50元 B. 元 C. 30元 D. 元 2. 2025年4月23日，我国首次实现地月距离尺度的卫星激光测距，标志着我国在深空卫星激光测距技术领域取得重要突破．科研团队利用云南天文台1.2米口径望远镜地面激光测距系统，成功捕获到卫星反射器反射的激光回波光子，测出星地距离约千米．数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小篆是中国历史上第一个标准化的汉字字体，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为（　　） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 6. 使函数有意义的自变量x的取值范围是（ ） A. x≠1且x≠0 B. x≠1 C. x＞1 D. x＜1 7. 按一定规律排列的单项式：，，，，， ，…，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P是∠AOB的边OA上一点，PC⊥OB于点C，PD∥OB，∠OPC＝35°，则∠APD的度数是( ) A. 60° B. 55° C. 45° D. 35° 9. 如果反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ） A. 正方体 B. 圆锥 C. 球 D. 三棱柱 11. 在“课后延时”活动中，体育兴趣小组选出人数相等的甲、乙两班学生参加了一分钟跳绳测验，两班的平均数相同，方差分别为，那么成绩较为整齐的是（ ） A. 两班一样整齐 B. 甲班 C. 乙班 D. 无法确定 12. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 14. 过桥米线是云南省滇南地区的一种特色小吃，广受云南群众的喜爱．为了了解外地游客对过桥米线的喜爱程度，相关部门随机调查了部分游客的意见（A．不满意；B．一般；C．非常满意；D．较满意；E．不清楚，五者任选其一）．根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 选择“C非常满意”的人数最多 B. 抽样调查的样本容量是120 C. 样本中“A不满意”的百分比为 D. 到云南吃过桥米线的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人 15. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 因式分解：__________． 17. 已知直径为10，点到点O距离为8，则点在_____．（填“上、内或外”） 18. 如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是________． 19. 2025年3月9日，云南省首届“云岭石榴红”陀螺邀请赛在玉溪市新平彝族傣族自治县正式开幕．来自昆明、玉溪、普洱等省内7个州市的68支队伍齐聚一堂，展开激烈角逐，以陀螺为媒，共话民族团结，共促文化交流．陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为，高h为，则此圆锥的侧面积为______．（结果保留） 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，点是的边延长线上一点，且，过作，且，连接交于点，若，求证：． 22. 【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高； 素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个． 【问题解决】 问题：分别求出两种书架的单价． 23. 安全问题一直以来都是大家特别关注的问题，为了进一步增强中学生的安全意识，珍惜自己的生命，提高自我保护能力，某校开展了以“安全”为主题的演讲比赛，参加此次比赛的晶晶和莹莹都想第一个出场，主持人拿出了四张背面完全相同的卡片，卡片正面分别写上A（生命）、B（至上）、C（安全）、D（第一），将卡片背面朝上洗匀后，晶晶先从中随机抽取一张，不放回，莹莹再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，若两人所抽取的卡片上文字能组成“生命至上”或“安全第一”，则晶晶第一个出场；否则，莹莹第一个出场． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）这个规则对晶晶和莹莹是否公平？若公平，请说明理由；如果不公平，那么谁第一个出场的可能性更大？ 24. 鲜花饼是一款以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼在云南当地烘焙品牌店均有销售．每年4月，鲜花饼的上市早已成为当地人民的共同期待，排着长队等待购买新鲜上市的鲜花饼在当地早已司空见惯，某经销商准备从一鲜花饼加工厂购进甲、乙两种鲜花饼进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种鲜花饼的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种鲜花饼按80元/千克的价格出售，设经销商购进甲种鲜花饼千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种鲜花饼共150千克，其中甲种鲜花饼多于50千克且不超过80千克，如何分配甲、乙两种鲜花饼的购进量，才能使经销商付款总金额最少？ 25. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 26. 已知抛物线交轴于，，交轴于，点是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求，的值； （2）①若为整数，且的值也为整数，请求出满足条件的点的坐标； ②若点在该抛物线上，且，，求的值． 27. 如图，是的外接圆，是的直径，点是半圆的中点，点是上一动点（不与点，重合），连接，，交于点． （1）如图①，过点作，交的延长线于点，求证：与相切； （2）如图②，过点作，垂足为点，若，，求的长； （3）如图③，把沿直线翻折得到，连接，当点在上运动时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $