精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市第四中学初中学业水平考试押题卷（一）数学

2026年内蒙古自治区初中学业水平考试押题卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2024年我国嫦娥六号探测器成功完成月球背面采样返回任务，其携带的月壤样本质量约为1731克，将1731用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 汽车的车标设计都蕴含着对称之美，下列四幅车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 6. 中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 因式分解：________． 10. 中国是茶的故乡，传统茶艺文化源远流长．某茶社准备购进甲、乙两种茶叶礼盒，已知甲种礼盒每盒的进价是乙种礼盒的2倍，若设乙种礼盒每盒的进价为元，则购3盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒一共需要的费用为________元． 11. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻小于时，电流可能是________A． 12. 如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接交对角线于点，则________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）解不等式组：． 14. 为了解学生的课外阅读习惯，某校九年级数学兴趣小组随机调查了本校九年级50名学生一周内课外阅读的时长（单位：小时），并将调查数据整理如下： 课外阅读时长（小时） 人数 4 12 16 10 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）这50名学生一周内课外阅读时长的中位数落在哪个组内？ （2）若该校九年级共有400名学生，估计一周内课外阅读时长不少于6小时的学生有多少人？ （3）结合上述调查结果，谈谈你对该校九年级学生课外阅读情况的看法，并给出一条合理化建议． 15. 近年来，我国航天科技飞速发展，某航天零件加工厂为提高生产效率，引进了新的加工设备，已知使用新设备加工个零件，与使用旧设备加工个零件所用的时间相同，且新设备每小时比旧设备多加工个零件． （1）求旧设备每小时加工多少个零件？ （2）若该厂计划加工一批零件，要求使用新设备加工的时间不超过小时，求该厂最多需要给新设备分配多少个零件的加工任务？ 16. 如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，，． （1）求的长； （2）求证：； （3）若，求的长． 17. 问题背景：在校园文化建设活动中，同学们计划设计一块弧形的宣传展板． 外形参数：如图，展板的底部为水平线段，长度为，弧形部分为一段开口向下的抛物线，抛物线的顶点到的距离为． 问题解决：为了精准施工，同学们建立了平面直角坐标系，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，请结合外形参数，完成以下任务： （1）求该抛物线的解析式； （2）若在展板上距离点水平距离处设置一个装饰点，点在抛物线上，求点到的距离： （3）为了保证展板的稳定性，需要在弧形部分下方安装一根水平支撑梁，使得到的距离为，求支撑梁的长度． 18. 解决问题 【探究发现】 （1）如图1，在平行四边形中，，，点为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点．小组成员发现四边形是特殊的平行四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由． 【探究证明】 （2）取边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接，，如图2．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】 （3）四边形如果是矩形，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区初中学业水平考试押题卷（一） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2024年我国嫦娥六号探测器成功完成月球背面采样返回任务，其携带的月壤样本质量约为1731克，将1731用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 3. 汽车的车标设计都蕴含着对称之美，下列四幅车标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义“如果一个图形绕一点旋转度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可． 【详解】解：如图：不是中心对称图形，不符合题意； 不是中心对称图形，不符合题意； 是中心对称图形，符合题意； 不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程. 【详解】解：设宽为x步，则长为步 由题意，得：， 故选：A. 6. 中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过论证中点四边形是矩形来求面积即可. 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形， ∴.    7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 8. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，由作图可得，，，则是的垂直平分线，通过证明是等边三角形，得到，进而得到，再利用勾股定理求出的长，在中利用正切的定义即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图可得，，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 即． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】确定多项式各项的公因式后，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解： ． 10. 中国是茶的故乡，传统茶艺文化源远流长．某茶社准备购进甲、乙两种茶叶礼盒，已知甲种礼盒每盒的进价是乙种礼盒的2倍，若设乙种礼盒每盒的进价为元，则购3盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒一共需要的费用为________元． 【答案】 【解析】 【分析】先根据甲、乙两种礼盒进价的数量关系，表示出甲种礼盒每盒的进价，再根据“总费用=甲种礼盒总进价+乙种礼盒总进价”列式，合并同类项即可得到结果． 【详解】解：由题意得，乙种礼盒每盒进价为元， 因为甲种礼盒每盒的进价是乙种礼盒的倍， 所以甲种礼盒每盒进价为元， 则购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒的总费用为： ． 11. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻小于时，电流可能是________A． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象判断即可． 【详解】解：由图象可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R小于时，电流， 故可以是． 12. 如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接交对角线于点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到，即可由勾股定理求解，再由求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∵点是边的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算负整数指数幂、立方根、绝对值，最后算加减即可； （2）先分别算出两个不等式的解集，然后求其公共解即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， ； 解不等式②得：， ； ∴原不等式组的解集是：. 14. 为了解学生的课外阅读习惯，某校九年级数学兴趣小组随机调查了本校九年级50名学生一周内课外阅读的时长（单位：小时），并将调查数据整理如下： 课外阅读时长（小时） 人数 4 12 16 10 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）这50名学生一周内课外阅读时长的中位数落在哪个组内？ （2）若该校九年级共有400名学生，估计一周内课外阅读时长不少于6小时的学生有多少人？ （3）结合上述调查结果，谈谈你对该校九年级学生课外阅读情况的看法，并给出一条合理化建议． 【答案】（1）中位数落在组内 （2）144人 （3）该校九年级学生整体课外阅读时长偏短，建议学生每天安排固定时间进行课外阅读 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义计算即可得出结果； （2）用乘以一周内课外阅读时长不少于6小时的学生所占的比例即可得出结果； （3）结合表格给出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为人，中位数是第个和第个数据的平均数， 由表格可得：的人数为人； 的人数为人，累计人； 的人数为人，累计人； ∵，且， ∴第个和第个数据均落在这一组， ∴这50名学生一周内课外阅读时长的中位数落在组内； 【小问2详解】 解：（人）， 故一周内课外阅读时长不少于6小时的学生有人； 【小问3详解】 解：由题意可得：该校九年级学生整体课外阅读时长偏短，建议学生每天安排固定时间进行课外阅读． 15. 近年来，我国航天科技飞速发展，某航天零件加工厂为提高生产效率，引进了新的加工设备，已知使用新设备加工个零件，与使用旧设备加工个零件所用的时间相同，且新设备每小时比旧设备多加工个零件． （1）求旧设备每小时加工多少个零件？ （2）若该厂计划加工一批零件，要求使用新设备加工的时间不超过小时，求该厂最多需要给新设备分配多少个零件的加工任务？ 【答案】（1）旧设备每小时加工个零件 （2）该厂给新设备最多分个零件 【解析】 【分析】（1）设旧设备每小时加工个零件，根据使用新设备加工个零件，与使用旧设备加工个零件所用的时间相同，列分式方程求解即可； （2）设该厂给新设备分配个零件，根据使用新设备加工的时间不超过小时，列不等式求解. 【小问1详解】 解：设旧设备每小时加工个零件，则新设备每小时加工个零件， ， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：旧设备每小时加工个零件； 【小问2详解】 解：设该厂给新设备分配个零件， ， ， 答：该厂给新设备最多分配个零件. 16. 如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径，与相交于点，，． （1）求的长； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） （2）证明与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角得出，由三角形内角和定理以及平角的定义得出，再由弧长公式求解即可． （2）由切线的定义得出，根据平行线的判定和性质得出，根据等边对等角得出，等量代换可得出，根据等角对等边即可得出． （3）由正弦的定义以及勾股定理得出，由相似三角形的判定和性质得出，进而可求出． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∵， ∴， ． ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 在中，， ∴， ， ， ， ， ． 17. 问题背景：在校园文化建设活动中，同学们计划设计一块弧形的宣传展板． 外形参数：如图，展板的底部为水平线段，长度为，弧形部分为一段开口向下的抛物线，抛物线的顶点到的距离为． 问题解决：为了精准施工，同学们建立了平面直角坐标系，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，请结合外形参数，完成以下任务： （1）求该抛物线的解析式； （2）若在展板上距离点水平距离处设置一个装饰点，点在抛物线上，求点到的距离： （3）为了保证展板的稳定性，需要在弧形部分下方安装一根水平支撑梁，使得到的距离为，求支撑梁的长度． 【答案】（1） （2）点到得距离是米 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为：，把代入求解即可； （2）把代入求解即可； （3）把代入求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得：， 设抛物线的解析式为：， ， ，， 把代入得： ， ， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：， 在抛物线上， ∴ 把代入中，解得， ∴点到的距离是米； 【小问3详解】 解：∵到的距离为， ∴把代入得：， 解得， ， ， . 18. 解决问题 【探究发现】 （1）如图1，在平行四边形中，，，点为边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点．小组成员发现四边形是特殊的平行四边形，请判断该四边形的形状，并说明理由． 【探究证明】 （2）取边的中点，点在边上，且，连接，将沿翻折得到，点的对称点为点，连接，，如图2．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】 （3）四边形如果是矩形，直接写出的值． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可证明； （2）通过论证四边形是菱形，结合四边形是平行四边形，可得，进而证明结论； （3）过点作于，过点作于，设，利用三角函数及矩形的性质可得，进而得到，则问题可求. 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下： ∵将△沿翻折得到△， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵为边的中点，为边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：过点作于，过点作于， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵平行四边形中， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 设，则， ∵， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，四边形是菱形， ∴， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $