江苏常州市2025-2026学年数学八年级下册期末考试模拟练习卷

**基本信息** 立足八年级下册核心知识，融合《九章算术》文化素材与郑州暴雨清淤等现实情境，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，凸显抽象能力、几何直观、数据意识等数学素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|分式运算、统计样本、因式分解|第7题以《九章算术》驿站送信为背景，考查分式方程建模| |填空题|8/16|概率计算、几何作图、因式分解|第14题借助拼图卡片，体现数形结合思想分解因式| |解答题|9/68|分式化简、统计分析、几何证明与探究|第21题结合郑州暴雨清淤工程，考查工程问题；第24题以分组分解法为材料，设计理解-应用-拓展三级探究|

2025-2026学年八年级下册常州市期末考试模拟练习卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．为了解全校2000名学生的视力情况，随机抽取200名学生进行检测，本次调查的样本是（  ） A．2000名学生 B．200名学生 C．200名学生的视力情况 D．2000名学生的视力情况 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 4．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球 C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球 5．若关于x的方程无解，则m的值是（   ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 6．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 10．分解因式：_____． 11．已知，则_____． 12．在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球______个． 13．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 14．运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 15．如图，在中，，为边的中线，E为的中点，连接并延长，交于点F．若，，则的长为______． 16．如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1)； (2)． 18． （本题6分）（1）计算：； （2）解分式方程：． 19．（本题8分）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式=---------------------------------① =-------------------------------------------② =-----------------------------------------------------③ (1)上面的计算过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出完整的解答过程，并从1，2，3中选一个合适的数代入求值． 20．（本题6分）学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动．学校准备开设以下四个球类项目：（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目，某数学兴趣小组想了解全校学生对四个项目的选择情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题： (1)本次调查的学生人数是______人； (2)求本次调查的学生中选择（乒乓球）的人数，并把条形统计图补充完整； (3)在扇形统计图中，对应的圆心角为______度； (4)已知该学校共有名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少． 21．（本题8分）2021年7月20日郑州遭遇百年一遇的暴雨，引发极为严重的洪涝灾害，面对这场突如其来的灾难，中国人民用他们的温暖互助感动了世界．某市计划对河道进行清淤治理，有两个工程队可以选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成． (1)乙工程队单独完成此项工程需要几天？ (2)经过预算，甲工程队每天的费用是1200元，乙工程队每天的施工费用为800元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？ 22．（本题6分）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 23．（本题8分）综合与实践 手工课上，同学们用平行四边形纸片进行创意剪纸创作，结合设计需求完成以下操作、证明与计算： (1)【动手操作】作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F，交于点．要求：请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)【推理证明】连接，，证明：四边形是菱形； (3)【实践应用】将剪出的菱形制作成书签，如果菱形的边长为，，求这个书签的面积（结果保留根号）． 24．（本题10分）【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式： ①； ②； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 25．（本题10分）如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，当时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； (3)连接，，当为等腰三角形时，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级下册常州市期末考试模拟练习卷 数学 (考试时间：90分钟试卷满分：100分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 题号 6 答案 B B 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题 卡相应位置上) 9.x≠1 10.4x(x+2)(x-2) 11.8 12.15 13.4 14.(3a+2b)(a+b) 15.4 16.2W17 三、解答题（本大题共9小题，共68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 17.(本题6分)(1)解：2-5+-5)2-5 =§-2+5- =5-V2: (2)解：-12021+-1)2+-8-N5-2 =-1+1+(-2)-(2-V3) =-1+1-2-2+V3 =5-4. 18.(本题6分)(1)解：安÷（专- =是÷-1+超 =安X0-1+网 1/9 =一： (2)解：方程两边同时乘以(x-1(x-2),得：xx-2)-(x-1(x-2)=3, x2-2x-(x2-3x+2=3, 去括号得：x2-2x-x2+3x-2=3, 合并同类项得：x一2=3， 移项得：x=3+2=5, 检验：当x=5时，x-1x-2≠0， ∴原分式方程的解为x=5. 19.（本题8分)(1)解：上面的计算过程从第②步开始出现错误 (2)解：（-1)÷ =(-器)÷m =304m42×+3Xm2 -2 -1 =×2 m-1 =3m×+32 -2 1-1 =2m十4， 当m=1或m=士2时，分式无意义，取m=3, 则原式=2×3+4=10 20.(本题6分)(1)解：12÷12%=100（名）， 即本次调查的学生人数是100人， 故答案为：100； (2)本次调查的学生中选择B(乒乓球)的人数为100一32一26一12=30（人）， 补全条形统计图如图所示； 2/9 人数 35 -32 30 30 26- 20 1 1 A B C D 项目 (3)图②中B部分所对应的圆心角度数是：360°×品=108°， 故答案为：108； (4)2000×总=520（人）， 答：估计全校选择篮球的人数是520人， 21.(本题8分)(1)解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，可得： +最=1 解得x=30 经检验，x=30是分式方程的解 1.5x=45 答：乙工程队单独完成此项工程需要45天. (2)解：+ =18 18×(1200+800)=36000 完成河道清淤的总费用是36000元. 22.（本题6分)(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :0A=0C,0B=OD, :E、F分别为0B、OD的中点， :0E=0B,OF=0D, 2.0E=0F, :∠A0E=∠C0F,OA=0C, ·△AOE≌△C0F, ·∠OAE=∠OCF, ·AECF; 3/9 (2)解：：AG⊥BC, ·∠AGC=90。, 由(1)知0A=0C, :OG⊥AC, ·OG垂直平分AC, ·AG=CG, ·△AGC是等腰直角三角形， ·∠ACB=45°. 23.(本题8分)(1)解：如图，对角线BD的垂直平分线EF,即为所求： (2)证明：如图，连接BE,DF, A代 ,EF是BD的垂直平分线， ∴OB=OD,BE=DE,BF=DF, ,四边形ABCD是平行四边形， ..ADIBC, ∠ODE=∠OBF, 在△ODE和△OBF中， I∠ODE=∠OBF OD=OB (∠DOE=∠BOF ∴.△ODE≌△OBF(ASA), ∴DE=BF, 4/9 ·BE=DE=BF=DF, ∴.四边形BEDF是菱形； (3)解：，菱形BEDF的边长为10cm,∠EBF=60°， ∴DE=BF=10Cm,∠EB0=∠EBF=30°，EF⊥BD,BD=20B,EF=20E, ∴.0E=壳BE=5cm, ∴0B=VBE2-0E2=V102-52=5V3cm, .BD=20B=10v3cm,EF=20E=10cm, ∴这个书签的面积为：号BD·EF=专×10V3×10=50W3(cm2). 24.（本题10分)(1)解：①9x2-6xy+y2-16 =(9x2-6xy+y2)-16 =(3x-y)2-42 =(3x-y+4)(3x-y-4) ②4a262+4ab2+b2-4a2-4a-1 =（4a262+4ab2+b2)-(4a2+4a+1) =b2(2a+1)2-(2a+1)2 =(2a+1)2(b2-1) =(2a+1)2(b+1)(b-1) (2)解：(a+b)(a-b)+c(c-2a)不可能大于0，理由： (a+b)(a-b)+c(c-2a) =a2-b2+c2-2ac =(a2-2ac+c2)-b2 =(a-c)2-b2 =(a-c+b)(a-c-b) :a+b>c,a<b+c :.a-c+b>0,a-b-c<0 (a-c+b)(a-c-b)<0 .(a+b)(a-b)+c(c-2a)不可能大于0： (3)解：△ABC为等边三角形，理由如下： 5/9 a2+b2+c2-ab-bc-ac=0 ·2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 (a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0 (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 :(a-b)220,(b-c)220,(a-c)2≥0 :a-b=0,b-c=0,a-c=0 :a=b,b=c,a=c :.a=b=c ·△ABC为等边三角形 25.(本题10分)(1)解：如图，过Q作QH⊥BA于H, HA--O B ,线段CP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ, ∴.PQ=PC,∠CPQ=90°， 正方形ABCD, .∠B=∠BAD=90°， .∠HPQ=∠BCP=90o-∠BPC, 又∠PHQ=∠B=90°， .△HPQ≌△BCP(AAS), ∴.HQ=BP=1, .点Q到直线AB的距离为1； (2)证明：过Q作QH⊥BA于H,连接AQ, 6/9 B 正方形ABCD, ∴∠BAC=专∠BAD=45°，AB=BC, 由(1)知：△HPQ≌△BCP, ∴.HP=BC=AB, ..HA=BP=HQ, ∴∠HAQ=∠AQH=(180°-∠AHQ)=45°， ∴，∠QAC=180°-∠HAQ-∠BAC=90°， ,M是CQ的中点 ..AM=CQ; (3)解：①当AQ=DQ时，过Q作QH⊥AB于HQM⊥AD于M, M ∴AM=DM=专AD=2, ,QH⊥AB,QM⊥AD,∠HAM=90°， .四边形HAMQ是矩形， ∴.HQ=AM=2, 由(1)知：△HPQ≌△BCP, ..BP=HQ=2; ②当QD=AD=4时，过Q作QH⊥AB于H,QM⊥AD于M, 7/9 R ,∠HAM=90o, .∠QAM=45°=∠HAQ, ∴HQ=QM, 设BP=x,则HQ=QM=x 由①知四边形HAMQ是矩形， ∴.AM=HQ=x, 在Rt△QDM中，QM2+DM2=QD2, ∴x2+(4-x)2=42, 解得x=0或x=4, 当x=0时，B、P重合，A、Q重合，不符合题意，舍去， 当x=4时，A、P重合，如图， A(P) 符合题意， .BP=4; ③当AQ=AD=4时，过Q作QH⊥AB于H,QM⊥AD于M, H D 由②知：AM=QM, 8/9 在Rt△AM中，AQ2=AM2+QM2, ∴.42=QM2+QM2, ∴QM=22, 又BP=HQ=QM, ∴BP=2W2, 综上，当BP的值为2或2√2或4时，△ADQ为等腰三角形. 9/9 2025-2026学年八年级下册常州市期末考试模拟练习卷 数学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与不是同类二次根式，不能合并，∴A错误． ∵，∴B错误． ∵，∴C正确． ∵，∴D错误． 2．为了解全校2000名学生的视力情况，随机抽取200名学生进行检测，本次调查的样本是（  ） A．2000名学生 B．200名学生 C．200名学生的视力情况 D．2000名学生的视力情况 【答案】C 【分析】本题考查了统计调查中样本的定义，解题的关键是明确样本是指被抽取的调查对象的某项指标，而非对象本身． 根据题意，调查目的是了解学生的视力情况，因此样本是被抽取的200名学生的视力情况，而不是200名学生本身． 【详解】解：A、2000名学生是考察对象的全体，不是样本，此选项不符合题意； B、200名学生是被抽取的调查对象，不是样本，此选项不符合题意； C、200名学生的视力情况是从总体中抽取的一部分个体的观测值，是本次调查的样本，此选项符合题意； D、2000名学生的视力情况是调查的总体，不是样本，此选项不符合题意． 故选：． 3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 4．一个不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，这些球除了颜色外无其他差别，从中摸出3个球，下列事件属于必然事件的是（ ） A．至少有1个球是白色球 B．至少有1个球是黑色球 C．至少有2个球是白球 D．至少有2个球是黑色球 【答案】B 【分析】本题考查了必然事件，理解必然事件的定义是解题的关键． 根据必然事件的定义分析各选项． 【详解】解：A：袋中有3个黑球，若摸出的3个球恰好是全部黑球（3个黑球），则无白球，所以“至少有1个球是白色球”是随机事件，故该选项不合题意； B：袋中仅有2个白球，摸出3个球时，最多只能取到2个白球，剩余1个必为黑球，因此无论何种情况，至少1个黑球必然存在，所以“至少有1个球是黑色球”是必然事件，故该选项符合题意； C：若摸出1个白球和2个黑球，则白球不足2个，所以“至少有2个球是白球”是随机事件，故该选项不合题意； D：若摸出2个白球和1个黑球，则黑球仅1个，不满足条件，所以“至少有2个球是黑色球”是随机事件，故该选项不合题意． 故选：B． 5．若关于x的方程无解，则m的值是（   ） A．-2 B．2 C．1 D．-1 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，再结合增根条件求解m即可． 【详解】解：原方程整理，得， 方程两边同乘最简公分母，得 ， 展开整理得， ∵原分式方程无解， ∴，即， 将代入， 得， 解得， 因此选：C． 6．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的行驶时间与速度，根据“快马的速度是慢马的倍”这一等量关系列方程即可解答． 【详解】解：设规定时间为天， ∵慢马所需时间比规定时间多天， ∴慢马的行驶时间为天，慢马速度为， ∵快马所需时间比规定时间少天， ∴快马的行驶时间为天，快马速度为， 又∵快马的速度是慢马的倍， ∴可得方程 ，即选项B符合题意． 8．如图，菱形和中，，，是的中点，在的延长线上，，分别是，上的动点，且，，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点，根据菱形的性质，证明，可得，，结合已知可得点和点重合，由菱形的性质，结合，可得是等边三角形，是等边三角形，可得，以及的长度，连接，由菱形的性质，结合等腰三角形的性质，可得，由平行线的性质可得，从而可得，可得，以及的长度，由勾股定理可得，根据勾股定理可得的长． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴点和点重合， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，在的延长线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 连接， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，勾股定理． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，即可求解． 【详解】解：分式有意义， ，即． 10．分解因式：_____． 【答案】 【详解】解：． 11．已知，则_____． 【答案】8 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出，再求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 12．在一个不透明的盒子里装有5个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中、不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.25左右，则据此估计盒子中大约有白球______个． 【答案】15 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出球的总数，然后即可计算出盒子中白球的个数即可． 【详解】解：设盒子中大约有白球有x个，根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴估计盒子中大约有白球15（个）， 故答案为：15． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是列出方程． 13．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 【答案】4 【分析】由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为48，则，然后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴． 14．运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为， ∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，为边的中线，E为的中点，连接并延长，交于点F．若，，则的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线的判定和性质，勾股定理，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据勾股定理可得，过点作，交于点，根据题意可得是的中位线，再利用证明可得，进而即可求解． 【详解】解：在中，，，． ∴ ， 如图，过点作，交于点． ∵是的中点，且，是的中点， ∴是的中位线． ∴， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵且， ∴， 又∵， ∴ 解得， 故答案为：4． 16．如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图所示，过点作的垂线交于点，连接并延长，根据等腰三角形的性质可判定可得点在过点与垂直的射线上运动，作点关于的对称点，连接与射线交于点，根据两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，过点作的垂线，交于点，根据题意可求出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作的垂线交于点，连接并延长， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点与垂直的射线上运动， 作点关于的对称点，连接与射线交于点， ∴，则， 根据两点之间线段最短可得，当点与点重合时，的值最小，即， 过点作的垂线，交于点，则是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∵点关于的对称点为， ∴，则， ∵，且， ∴在中，， ∴. 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短路径，两点之间线段最短，动点与轨迹，勾股定理的综合运用，掌握点的运动轨迹，构造轴对称最短路径的方法是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则计算即可得出结果； （2）先计算乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题6分）（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）； （2） 【分析】本题考查了分式的混合运算和分式方程的解法，关键是掌握分式运算的法则和分式方程的解题步骤，注意分式方程解完后要检验． （1）先计算括号内的分式减法，通分化为同分母分式相减，再将除法运算转化为乘法运算，最后通过约分得到最简分式；运算过程中需注意符号的变化以及因式分解的应用． （2）先确定最简公分母，将分式方程两边同乘最简公分母转化为整式方程，求解整式方程后，必须检验所得的解是否使原分式方程的分母为0，若分母不为0则为原方程的解，否则为增根，原方程无解． 【详解】（1）解： ； （2）解：方程两边同时乘以，得：， ， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 19．（本题8分）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式=---------------------------------① =-------------------------------------------② =-----------------------------------------------------③ (1)上面的计算过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出完整的解答过程，并从1，2，3中选一个合适的数代入求值． 【答案】(1)② (2)解答过程见解析，值为10 【分析】（1）根据第②步分子相减时，去括号没有改变符号可得答案. （2）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后根据分式有意义的条件选取合适的的值，再代入计算即可. 【详解】（1）解：上面的计算过程从第②步开始出现错误. （2）解： ， 当或时，分式无意义，取， 则原式. 20．（本题6分）学校为了响应国家“五育并举”的号召，增强学生体质，计划开展阳光体育锻炼活动．学校准备开设以下四个球类项目：（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目，某数学兴趣小组想了解全校学生对四个项目的选择情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题： (1)本次调查的学生人数是______人； (2)求本次调查的学生中选择（乒乓球）的人数，并把条形统计图补充完整； (3)在扇形统计图中，对应的圆心角为______度； (4)已知该学校共有名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少． 【答案】(1)； (2)人，见解析； (3)； (4)人． 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据选择的人数和所占的百分比，求出调查的总学生； （2）用总学生减去其他学生数，求出选择的学生， 即可补全统计图； （3）根据（2）中选择的人数，用乘以所占总人数的百分比即可得出部分所对应的圆心角度数； （4）用乘以所占总人数的百分比即可求解． 【详解】（1）解：（名）， 即本次调查的学生人数是人， 故答案为：； （2）本次调查的学生中选择（乒乓球）的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示； （3）图②中部分所对应的圆心角度数是：， 故答案为：； （4）（人）， 答：估计全校选择篮球的人数是人． 21．（本题8分）2021年7月20日郑州遭遇百年一遇的暴雨，引发极为严重的洪涝灾害，面对这场突如其来的灾难，中国人民用他们的温暖互助感动了世界．某市计划对河道进行清淤治理，有两个工程队可以选择，若甲工程队单独施工，恰好能在规定的时间内完成，若乙工程队单独施工，则需要的天数是甲工程队的倍，甲乙两工程队合作15天，余下的任务甲工程队单独完成仍需5天完成． (1)乙工程队单独完成此项工程需要几天？ (2)经过预算，甲工程队每天的费用是1200元，乙工程队每天的施工费用为800元，为尽可能缩短施工时间，市政部门打算让两个工程队合作完成，完成河道清淤的总费用是多少？ 【答案】(1)45天 (2)36000元 【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，列出分式方程，求出x的值，再检验是否符合题意，即可解答； （2）根据题意，计算甲乙两队合作完成此项工程的总费用． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，可得： 解得 经检验，是分式方程的解 答：乙工程队单独完成此项工程需要45天． （2）解： 完成河道清淤的总费用是36000元． 22．（本题6分）如图，在中，对角线与相交于点，点、分别为、的中点，延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质推出，，判定，得到，即可证明； （2）判定垂直平分，推出，因此是等腰直角三角形，得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 、分别为、的中点， ，， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， 由（1）知， ， 垂直平分， ， 是等腰直角三角形， ． 23．（本题8分）综合与实践 手工课上，同学们用平行四边形纸片进行创意剪纸创作，结合设计需求完成以下操作、证明与计算： (1)【动手操作】作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F，交于点．要求：请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)【推理证明】连接，，证明：四边形是菱形； (3)【实践应用】将剪出的菱形制作成书签，如果菱形的边长为，，求这个书签的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，，，根据，得到，再证得到，于是可判断四边形是菱形； （3）先根据已知及菱形的性质得，，，再根据含30度角的直角三角形的性质得，由勾股定理求出，即可得、的长，再根据菱形的面积等于求解． 【详解】（1）解：如图，对角线的垂直平分线，即为所求； （2）证明：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：∵菱形的边长为，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴这个书签的面积为：． 24．（本题10分）【综合应用】材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等． 如“”分法： 再如“”分法： 请根据上述材料的启发解决下列问题： (1)【理解】分解因式： ①； ②； (2)【应用】a，b，c是的三条边的长，试判断式子的值能否大于0？并说明理由； (3)【拓展】a，b，c是的三条边的长，若，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①，② (2)不可能大于，理由见解析 (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查利用公式法分组进行因式分解，因式分解的应用，三角形的三边关系，平方差公式，完全平方公式，判断三角形的形状； （1）根据材料的方法因式分解即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式，将目标公式因式分解，再根据三角形三边关系即可解答； （3）先将目标公式因式分解，再结合非负性即可解答． 【详解】（1）解：① ② （2）解：不可能大于，理由： ， ， 不可能大于； （3）解：为等边三角形，理由如下： ，， ，， ，， 为等边三角形 25．（本题10分）如图，正方形的边长为4，P为边上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，当时，求点Q到直线的距离； (2)如图2，连接，取的中点M，连接．求证：； (3)连接，，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3)2或或4 【分析】（1）过Q作于H，利用证明；即可求解； （2）过Q作于H，连接，由（1）知：，则，进而得出，可求，，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解∶如图，过Q作于H， ∵线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为1； （2）证明：过Q作于H，连接， ∵正方形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M是的中点 ∴； （3）解：①当时，过Q作于H，于M， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）知：， ∴； ②当时，过Q作于H，于M， ∵， ∴， ∴， 设，则 由①知四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得或， 当时，B、P重合，A、Q重合，不符合题意，舍去， 当时，A、P重合，如图， 符合题意， ∴； ③当时，过Q作于H，于M， 由②知：， 在中，， ∴， ∴， 又， ∴， 综上，当的值为2或或4时，为等腰三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $