精品解析：2026年山东聊城市莘县东鲁中学九年级5月份学业水平测试 数学试卷

2026年山东省聊城市莘县东鲁中学九年级5月份学业水平测试数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图，数轴上表示的点应在( ) A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 古代中国诸多技艺均领先世界，榫卯结构就是其中之一、如图是某榫头构件的实物图，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. “十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设，国家统计局《2012年国民经济和社会发展统计公报》指出，截至2012年底，国内有效专利达8750000件，将8750000件用科学记数法表示为件 A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（　　） A. 抽到“大王” B. 抽到“红桃” C. 抽到“小王” D. 抽到“K” 7. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　 　） A. AD=2OB B. CE=EO C. ∠OCE=40° D. ∠BOC=2∠BAD 9. 如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为（ ）． A. 3 B. C. 4 D. 10. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，以下结论：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 把多项式分解因式的结果是________． 12. 写出满足不等式组的一个整数解________． 13. 一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为_____． 14. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为_____．（结果保留π） 15. 在平面直角坐标系中有一点A，作点A关于y轴的对称点A′，再将点A′向下平移4个单位，得到点A′′(1，1)，则点A的坐标是_________. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简：，再从，，1，2选择中一个合适的数作为的值代入求值． 17. 某校为了解学生对“校园安全知识”的了解程度，随机抽取了七年级、八年级各20名学生进行问卷测试，并对测试成绩进行整理和分析，测试成绩（用整数表示）共分五组：A．，B．，C．，D．，E．，并绘制了不完整的统计图（如图所示），请将统计过程中的有关问题补充完整． 【收集、整理、描述数据】 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，85，86，86，86，87，87，87，87，90，91，93，93，94，97． 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，88，89． 【分析数据】 成绩 平均数 中位数 众数 方差 七年级 83 86.5 122.6 八年级 81 78 128.85 【应用数据】 （1）统计表中________，________； （2）从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是________年级（填“七”或“八”）； （3）在八年级测试成绩扇形图中，表示“”这组数据的扇形圆心角度数是________； （4）若该校七年级共有学生300名，八年级共有学生200名，则估计七、八年级本次测试成绩不低于80分的总人数为________． 18. 下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程． 已知：直线及直线上一点，如图1． 求作：，使得，． 作法：如图2． 在直线上取点； 分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，（在的上方）； 作直线，交直线于点； 连接． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，，． ， 是等边三角形， ， ________， 四边形是菱形．（________）（填推理的依据） （________）（填推理的依据） ． （________）（填推理的依据）． ． 19. 某路灯示意图如图所示，该路灯是轴对称图形，由两个灯臂、和一个灯杆组成，灯杆与地面垂直．现测得米，米，． （1）求两灯臂末端、之间的距离． （2）求灯臂末端到地面的距离． （参考数据：；；，结果精确到米） （参考数据：；；．结果精确到0.1米） 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 如图，内接于，是的直径，过上的点P作，交的延长线于点D，交于点E，点F为的中点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，，求的长． 22. 问题原型：如图（1）所示，在等腰直角三角形中，，，的中点为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，过点作边上的高，易证，从而得到的面积为． 初步探究：如图（2）所示，在中，，，的中点为．将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．用含的代数式表示的面积，并说明理由． 简单应用：如图（3）所示，在等腰三角形中，，，的中点为将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，直接写出的面积（用含的代数式表示）． 23. 已知二次函数． （1）若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式； （2）若，当时，的最小值为，的最大值为，求的值； （3）在（1）的条件下，当时，的最大值与最小值的差，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省聊城市莘县东鲁中学九年级5月份学业水平测试数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图，数轴上表示的点应在( ) A. 线段上 B. 线段上 C. 线段上 D. 线段上 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数平方根的定义估算的大小，再结合数轴表示数的方法得出答案． 【详解】解：解：∵，， ， ， 数轴上的点，分别对应的数是，， 表示的点应在线段上， 故选：D． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出的大小是得出正确答案的关键． 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、“业”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意； B、“精”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意； C、“于”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意； D、“勤”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 3. 古代中国诸多技艺均领先世界，榫卯结构就是其中之一、如图是某榫头构件的实物图，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的意义，根据俯视图的意义，判断解答即可． 【详解】解：部件“榫”的实物图的俯视图是： 故选：B． 4. “十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设，国家统计局《2012年国民经济和社会发展统计公报》指出，截至2012年底，国内有效专利达8750000件，将8750000件用科学记数法表示为件 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．8750000一共7位，从而8750000=8.75×106．故选C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：∵ 与 不是同类项，不能合并，不符合题意； 选项B：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得 ，不符合题意； 选项C：根据积的乘方与幂的乘方法则，得 ，符合题意； 选项D：根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，得 ，不符合题意． 6. 从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“A”的概率相同的是（　　） A. 抽到“大王” B. 抽到“红桃” C. 抽到“小王” D. 抽到“K” 【答案】D 【解析】 【分析】抽到“A”的概率为，只要计算四个选项中的概率，即可得到答案． 【详解】抽到“A”的概率为，而抽到“大王”与抽到“小王”的概率均为，抽到“红桃”的概率为，抽到“K”的概率为，即抽到“K”的概率与抽到“A”的概率相等． 故选：D 【点睛】本题考查了简单事件的概率，根据概率计算公式，要知道所有可能结果数，及事件发生的结果数，即可求得事件的概率． 7. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度是，则快车的速度为， 依题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 8. 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（　 　） A. AD=2OB B. CE=EO C. ∠OCE=40° D. ∠BOC=2∠BAD 【答案】D 【解析】 【详解】∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD， ∴ ， ∵∠BAD是所对的圆周角，∠COB是 所对的圆心角， ∴， 故选D. 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理，熟记定理的内容并结合图形进行解题是关键. 9. 如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，连接，过点作于点，若，，则的长为（ ）． A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明为中位线，即有，再求出，即在中，，问题得解． 【详解】∵在中，对角线，相交于点， ∴点为中点， ∵为的中点， ∴为中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴在中，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，掌握三角形中位线的判定与性质，是解答本题的关键． 10. 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，以下结论：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的是（　　） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴是，得到，根据已知条件得到抛物线与x轴的另一个交点在和之间，可得到，根据已知条件可得（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，即可得到，根据抛物线的顶点坐标可得，即可得到； 【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，故②不正确； ∵， ∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下， ∴，故③正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣2，3）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①③④； 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确判断式子的符号是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 把多项式分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可求解. 【详解】解：， ， ． 12. 写出满足不等式组的一个整数解________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 13. 一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】因为一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根分别是x1，x2，利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=﹣6，整体代入求解即可． 【详解】∵一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根分别是x1，x2 ∴x1+x2=1，x1x2=﹣6 ∴x1+x2﹣x1x2=7 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，则x1+x2=，x1x2=． 14. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为_____．（结果保留π） 【答案】πcm2． 【解析】 【分析】求出AD，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可． 【详解】解：∵AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm， ∴AD=10cm， ∴贴纸的面积为S=S扇形ABC﹣S扇形ADE=（cm2）， 故答案为πcm2． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 15. 在平面直角坐标系中有一点A，作点A关于y轴的对称点A′，再将点A′向下平移4个单位，得到点A′′(1，1)，则点A的坐标是_________. 【答案】（－1，5） 【解析】 【分析】根据平移的性质得出A′点坐标，再根据关于y轴对称的点的特征得出A点坐标即可得答案. 【详解】∵将点A′向下平移4个单位，得到点A′′(1，1)， ∴点A′坐标为（1，5）， ∵A与A′关于y轴对称， ∴点A坐标为（-1，5）. 故答案为（-1，5） 【点睛】本题考查了平移变换及关于y轴对称的点的坐标性质，正确掌握平移的规律是解题关键. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简：，再从，，1，2选择中一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】（1）6；（2），1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，实数运算，零指数幂，负整数指数幂，一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先进行分式的混合运算，然后选择合适的数，代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解：（1） ； （2） ， 要使有意义，需满足且， 解得：不等于， 当时，原式． 17. 某校为了解学生对“校园安全知识”的了解程度，随机抽取了七年级、八年级各20名学生进行问卷测试，并对测试成绩进行整理和分析，测试成绩（用整数表示）共分五组：A．，B．，C．，D．，E．，并绘制了不完整的统计图（如图所示），请将统计过程中的有关问题补充完整． 【收集、整理、描述数据】 七年级20名学生的测试成绩分别为：51，66，68，73，75，78，85，86，86，86，87，87，87，87，90，91，93，93，94，97． 八年级学生测试成绩在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，88，89． 【分析数据】 成绩 平均数 中位数 众数 方差 七年级 83 86.5 122.6 八年级 81 78 128.85 【应用数据】 （1）统计表中________，________； （2）从样本数据分析可以看出，测试成绩较好且比较整齐的是________年级（填“七”或“八”）； （3）在八年级测试成绩扇形图中，表示“”这组数据的扇形圆心角度数是________； （4）若该校七年级共有学生300名，八年级共有学生200名，则估计七、八年级本次测试成绩不低于80分的总人数为________． 【答案】（1）， （2）七 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，中位数和众数，解决问题的关键是熟练掌握频数分布直方图和扇形统计图的特点，中位数和众数的定义与计算方法，根据平均数，中位数，众数和方差做判断，用样本频数估计总体频数． （1）根据七年级测试成绩中87分的最多，得到七年级测试成绩的众数是87分，根据八年级学生测试成绩在A组的有2人，在B组的有2人，在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，88，89，得到在C组的有7人，根据，得到八年级学生测试成绩的中位数是78分； （2）根据表中的平均数，中位数，众数，方差，七年级的这些数据都好于八年级的，得到测试成绩较好且比较整齐的是七年级； （3）根据八年级学生测试成绩在C组的有人，用乘C组人数的占比，即可求得； （4）用300乘以七年级D组E组所占比率，200乘以八年级D组E组所占比率，取和即得． 【小问1详解】 解：∵七年级测试成绩中分的最多， ∴七年级测试成绩的众数是分， ∵八年级学生测试成绩在A组的有：（人），在B组的有：（人）， 在C组和D组的分别为：76，78，78，78，78，78，78，84，86，88，89， ∴在C组的有人， ∴， ∴第位与第位学生的成绩位于C组的最后2位，成绩都是分， ∴八年级学生测试成绩的中位数是分， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵在表格中七年级的平均数，中位数，众数，方差都优于八年级的， ∴测试成绩较好且比较整齐的是七年级， 故答案为：七； 【小问3详解】 解：八年级学生测试成绩在C组的有人， ∴“”这组数据的扇形圆心角度数为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由七年级数据可知，七年级在D组的有人，在E组的有人， 由题意可知八年级学生测试成绩在A组的有人，在B组的有人，在C组的有人，在C组的有人， ∴在E组的有（人）， （人）， 故答案为：． 18. 下面是小明设计的“作一个直角三角形，使得其一个内角为”的尺规作图过程． 已知：直线及直线上一点，如图1． 求作：，使得，． 作法：如图2． 在直线上取点； 分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，（在的上方）； 作直线，交直线于点； 连接． 就是所求作的三角形． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，，． ， 是等边三角形， ， ________， 四边形是菱形．（________）（填推理的依据） （________）（填推理的依据） ． （________）（填推理的依据）． ． 【答案】（1）如图，即为所求作的； （2）证明：连接，，． ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形（四条边都相等的四边形为菱形）， （菱形的对角线互相垂直平分）， ， （直角三角形的两锐角互余）， ． 【解析】 【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）先证明是等边三角形，得到，再证明四边形是菱形，得到，然后利用直角三角形的两锐角互余即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某路灯示意图如图所示，该路灯是轴对称图形，由两个灯臂、和一个灯杆组成，灯杆与地面垂直．现测得米，米，． （1）求两灯臂末端、之间的距离． （2）求灯臂末端到地面的距离． （参考数据：；；，结果精确到米） 【答案】（1）两灯臂末端、之间的距离约为米 （2）灯臂末端到地面的距离约为米 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于点，根据轴对称的性质结合等边对等角可得的度数，，在中，解直角三角形即可得解； （2）在中，解直角三角形即可求得的的长，再根据求解即可； 【小问1详解】 解：如图，连接，延长交于点， 由题意得：，米， ，， 在中，（米）， （米）， 即两灯臂末端、之间的距离约为米； 【小问2详解】 解：在中，，米， （米）． 米， （米）， 即灯臂末端到地面的距离约为米． （参考数据：；；．结果精确到0.1米） 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接，． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可； （2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入一次函数，得， 解得， ， 把代入反比例函数，得， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：令，解得或， 当时，，即， 当时，， ， ； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当OA与OB为邻边时，点先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，则点也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点，即； 当AB与AO为邻边时，点先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，则点也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点，即； 当BA与BO为邻边时，点先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，则点也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点，即； 综上，P点坐标为或或． 【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． 21. 如图，内接于，是的直径，过上的点P作，交的延长线于点D，交于点E，点F为的中点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据点F为的中点，可得，即有，根据，可得，由，可得，问题随之得证； （2）在中，，，可得，即，进而可得，即，再证明，即有，在中，． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴、是直角三角形， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 ∵在中，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 即所求的值为． 【点睛】本题考查了切线的证明，圆周角定理，勾股定理，直角三角形以及斜边的中线等于斜边的一半等知识，掌握切线的证明，圆周角定理，是解答本题的关键． 22. 问题原型：如图（1）所示，在等腰直角三角形中，，，的中点为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，过点作边上的高，易证，从而得到的面积为． 初步探究：如图（2）所示，在中，，，的中点为．将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接．用含的代数式表示的面积，并说明理由． 简单应用：如图（3）所示，在等腰三角形中，，，的中点为将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】初步探究：，理由见解析；简单应用： 【解析】 【分析】初步探究：如图（2）所示，过点作边上的高，根据垂直的定义得到，根据旋转的性质得到，，根据余角性质得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到； 简单应用：如图（3）所示，过点作于，再过点作边上的高，根据等腰三角形的性质得到，求得，，由旋转的性质可得，，根据相似三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：初步探究：，理由如下： 如图（1）所示，过点作边上的高， ， 将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ，， ， ， ， ∴， ∴， 为的中点， ∴， ∴， ， ∴； 简单应用：如图（3）所示，过点作于，再过点作边上的高， 在等腰三角形中，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ， ∴， ∴， ∴， 为的中点， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 23. 已知二次函数． （1）若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式； （2）若，当时，的最小值为，的最大值为，求的值； （3）在（1）的条件下，当时，的最大值与最小值的差，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据图象的性质即可列方程求解即可； （3）分三种情况讨论：当在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，当在对称轴的两侧时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点和代入二次函数中得， ，解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：，对称轴为， 抛物线开口向下，的值离对称轴越远，的值越小， ， 当时，有最小值，当时，有最大值． 即，解得， ； 【小问3详解】 解：由（1）可知，，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当在对称轴的左侧时，即时， 的最大值与最小值的差， ， 整理得， 解得（不合题意，故舍去）． 当在对称轴的右侧时，，即时， 的最大值与最小值的差， ， 整理得， 解得（不合题意，故舍去）． 当在对称轴的两侧时，即时， 的最大值与最小值的差， 或， 解得，（舍去）或（舍去），， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $