精品解析：山东省聊城市莘县春笋学校2024-2025学年九年级下学期5月月考数学试题

九年级数学抽测试题​​​​​​​ 一、单选题（共30分） 1. 的相反数是（ ） A B. 5 C. D. 2. 榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年4月28日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已超157.5亿元．它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若在实数范围内有意义，则满足的条件为（ ） A. B. C. 且 D. 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 6. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于现行简谱的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得的，现有一款“一起听古音”的音乐玩具（如图），音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“宫”音，再发出“羽”音的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作交于点E，分别过点D、点C作、的平行线交于点F，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（ ） A. 是“乾坤点” B. 函数的图象上存在2个“乾坤点” C. 函数是“乾坤函数” D. 若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”的坐标为 二、填空题（共15分） 11. 在实数范围内分解因式：______________． 12. 在手工课上，小明用半径为、圆心角为的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为_____． 13. 公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则______． 14. 如图，一次函数图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为________． 15. 如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为______，的面积为______．（用含正整数的代数式表示） 三、解答题（共75分） 16. 嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． 嘉嘉的解法 解： 淇淇的做法 解： ① ② ③ ④ （1）老师在批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们最先出错的是哪一步？ （2）请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）计算：若，，求线段的长． 18. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c （1）在以上成绩统计表中，_____，_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 19. 自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心，增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为，即． （1）求立管的长； （2）当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，，） 20. 菱形ABCD在平面直角坐标系中位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上； （3）在（2）的条件下，连接，，求的面积． 21. 如图，内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点D，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，经过点的直线与该抛物线交于另一点，是第四象限的该抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为． （1）求该抛物线的解析式． （2）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 给出部分点的横坐标与对应的长的值如表，请补全表格； 请在如图所示的平面直角坐标系中描出点，并画出函数图象． （3）设直线与轴交于点，在点的运动过程中，是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标和的长；若不存在，请说明理由． 23. 综合与探究 数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． 【操作探究】 （1）如图1，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转到矩形的位置，当经过点D时，连接，线段的长度为 ； （2）如图2，菱形绕点A逆时针旋转到菱形的位置，与共线，与交于点E，与交于点F，延长、交于点M．判断四边形的形状，并说明理由； 问题解决】 （3）①如图3，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，小华猜想此时点D应落在边上，王老师提供了如图4所示思路，请填空： ②在①的条件下，若，，，则的长为 ； 【拓展提升】 （4）如图5，在中，，，（），将绕着中点O顺时针旋转到的位置，当点第一次落在边上时，边与边相交于点G，则的长为 ．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学抽测试题​​​​​​​ 一、单选题（共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和相反数，根据负数的绝对值等于它的相反数，以及结合只有符号不同的两个数互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：， ∵的相反数是， ∴的相反数是， 故选：C 2. 榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，掌握物体三视图的画法（看不见的线条用虚线）是解题的关键． 根据从上面看到的图形即可求解解答． 【详解】解：榫的俯视图为． 故选C． 3. 截至2025年4月28日，《哪吒之魔童闹海》的全球票房已超157.5亿元．它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度．将亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．正确的确定的值即可． 【详解】解：亿， 故选：C 4. 若在实数范围内有意义，则满足的条件为（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数；分式有意义的条件是分式的分母不能为0．据此求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ，， ，且， 故选：C． 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． 设每天遗忘的百分比为，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为， 则， 解得：． 故选：C． 6. “宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于现行简谱的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得的，现有一款“一起听古音”的音乐玩具（如图），音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“宫”音，再发出“羽”音的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列出表格如下： 宫 商 角 徵 羽 宫 宫，宫 宫，商 宫，角 宫，徵 宫，羽 商 商，宫 商，商 商，角 商，徵 商，羽 角 角，宫 角，商 角，角 角，徵 角，羽 徵 徵，宫 徵，商 徵，角 徵，徵 徵，羽 羽 羽，宫 羽，商 羽，角 羽，徵 羽，羽 共25种等可能的结果，其中，先发出“宫”音，再发出“羽”音的结果只有1种， ∴； 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 8. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作交于点E，分别过点D、点C作、的平行线交于点F，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定与性质以及锐角三角函数，由菱形的性质得，，由，得出，证明四边形是矩形，得，证明，由可求出，即，求出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 9. 如图是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图，若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆的综合，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键；连接，过点O作于点H，由题意易得是等边三角形，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴； 故选C． 10. 中考在即，三年磨砺锻锋芒，一朝出鞘定乾坤．在平面直角坐标系中，我们不妨约定将横，纵坐标和为18的点称为“乾坤点”：例如，…都是“乾坤点”，若某函数图象上存在“乾坤点”，则把该函数称为“乾坤函数”．下列说法正确的是（ ） A. 是“乾坤点” B. 函数的图象上存在2个“乾坤点” C. 函数是“乾坤函数” D. 若“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”，则“乾坤点”坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数、反比例函数、一次函数综合，解题的关键是联立函数解析式得到方程再去求解，根据“乾坤点”的定义即可判断选项A；根据函数的图象上存在“乾坤点”，得出，解方程即可判断选项B；根据函数是“乾坤函数”，得出，求出，则方程无解，即可判断选项C；由函数图象上有且只有1个“乾坤点”，得到{y=2a+1xy=−x+18y=2a+1xy=−x+18，整理得到，该方程有两等根，根据求解，即可判断选项D． 【详解】解：A．∵， ∴不是“乾坤点”，故选项A错误； B．∵函数的图象上存在“乾坤点”， ∴， 解得， ∴函数的图象上存在1个“乾坤点”，故选项B错误； C．若函数是“乾坤函数”， 则，即， ∴， ∴方程无解， ∴函数的图象上不存在“乾坤点”， ∴函数不是“乾坤函数”，故选项C错误； D．∵是“乾坤函数”， ∴， 化简，得， ∵“乾坤函数”（，a为常数）图象上有且只有1个“乾坤点”， ∴有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴方程为， 解得， ∴， ∴“乾坤点”的坐标为，故选项D正确， 故选：D． 二、填空题（共15分） 11. 在实数范围内分解因式：______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用提公因式及平方差公式进行分解因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式及平方差公式进行分解因式即可． 【详解】解：原式； 故答案为． 12. 在手工课上，小明用半径为、圆心角为的扇形纸板制作圆锥形的小生日帽（如图所示），不考虑接缝的情况下，这个生日帽的高为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，同时考查了弧长公式和勾股定理．圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用弧长求得弧长，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高． 【详解】解：∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故答案为：． 13. 公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，为的直径，过圆心O作，交于点C，以C为圆心，为半径作，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】设的半径为，则，根据，即，求，然后代入求面积即可． 【详解】解：由题意知，，设的半径为，则， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，扇形面积等知识．解题的关键在于正确表示阴影部分面积． 14. 如图，一次函数的图象经过正方形的顶点和，则正方形的面积为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质，证明，设点，从而得到，再将点和代入一次函数解析式，求出、的值，进而得到的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 设点， ，， ，， ， 一次函数的图象经过正方形的顶点和， ，解得：， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 15. 如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交、于点，，以为边在的右侧作等边三角形，…；按此规律进行下去，则的面积为______，的面积为______．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 根据特殊直角三角形的性质，求出，的边长，即可求出其面积，同理求出的边长，即可求其的面积． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的边长， ∵，， ∴， 又∵，等边三角形， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，同理可求的边长， ∴； 在中，，， ∴，， ∴， 在中，同理可求的边长 ……， ∴的边长， ∴． 故答案为：，． 三、解答题（共75分） 16. 嘉嘉和淇淇在学习分式时，老师布置了一道题“计算：”． 嘉嘉的解法 解： 淇淇的做法 解： ① ② ③ ④ （1）老师在批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们最先出错的是哪一步？ （2）请你写出正确的计算过程，并求出当时原式的值． 【答案】（1）嘉嘉最先出错的是第①步，淇淇最先出错的是第②步； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式减法，分式化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则判断即可； （2）根据异分母分式减法法则进行计算，然后再把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：嘉嘉最先出错的是第①步，原因是直接去掉了分母； 淇淇最先出错的是第②步，原因是合并时分子减分子，符号错误． 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 如图，在中，． （1）实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）计算：若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线或尺规作角等于已知角，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作线段垂直平分线或尺规作角等于已知角的方法作图即可； （2）根据题意，在中，，由勾股定理得到，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：如答图，即为所求（答案不唯一）． 作法一：尺规作线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴； 作法二：尺规作角等于已知角； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得． 18. 为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）： 甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6． 乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 a 6 2.6 乙组 b 7 c （1）在以上成绩统计表中，_____，_____，_____． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6；7；7 （2）小明是甲组的学生，理由见解析 （3）选乙组参加决赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）根据平均数与方差的意义即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． ∴中间两个数的平均数是，则中位数； ∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． ， 乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多， 所以众数． 【小问2详解】 小明可能是甲组的学生，理由如下： 因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分， 所以在小组中属中游略偏上， 【小问3详解】 选乙组参加决赛．理由如下： ， 甲、乙两组学生平均数相同，而， 乙组的成绩比较稳定， 故选乙组参加决赛． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键． 19. 自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心，增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为，即． （1）求立管的长； （2）当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】（1）厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）设，则，根据勾股定理列式求解即可； （2）过点作于，在中，，，可得，，由即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于， 在中，，， ，， ，， ，， ， ， ∴． 20. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上； （3）在（2）的条件下，连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）说明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和轴对称、中心对称的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，，然后根据得到，进而求解即可； （3）首先得到点N，O，C三点共线，且，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 已知，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点N的坐标为． ∵， ∴点N在反比例函数的图象上； 【小问3详解】 如图所示， ∵点C的坐标为，点N的坐标为， ∴点C和点N关于原点中心对称， ∴点N，O，C三点共线，且， ∴ 21. 如图，内接于是的直径，过点作的切线交的延长线于点D，于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，垂径定理，三角形相似的判定与性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再利用圆周角定理结合切线的性质可证，进而推出，利用垂径定理可得，推出，由圆周角定理得到，推出，即可得出结论； （2）证明，推出，设，求出，利用勾股定理求出，由，建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的直径，是的切线，切点为， ∴，即， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴的半径为． 22. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，经过点的直线与该抛物线交于另一点，是第四象限的该抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，的长为． （1）求该抛物线的解析式． （2）求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 给出部分点的横坐标与对应的长的值如表，请补全表格； 请在如图所示的平面直角坐标系中描出点，并画出函数图象． （3）设直线与轴交于点，在点的运动过程中，是否存在一点，使得为直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标和的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）；；；见解析； （3）存在，点的坐标为，的长为或点的坐标为，． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，待定系数法求解析式，画函数图象等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）先求出直线解析式，令，然后求出点的坐标为，由题意得点的坐标为，则点的坐标为，然后分当时，当时求出与之间的函数关系式即可； 将代入，得；当时，点和点重合，即可； 根据画函数图象的步骤即可； （）求出点的坐标为，又点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，然后分两种情况当时，当时分析即可． 【小问1详解】 解：把点，代入中， 得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点在直线图象上， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令， 解得，， 把代入，得， ∴点坐标为， 由题意得点的坐标为，则点的坐标为， ∵是第四象限的该抛物线上一点， ∴当时，； 当时，； 综上所述，与之间的函数关系式为； 将代入，得；当时，点和点重合， ∴； 故答案为：；； 画出函数图象如下图所示： 【小问3详解】 解：存在，如图， 由直线解析式为，得当时，， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∵是直角三角形，且， 分两种情况． 当时，， ，解得或（舍去）， 此时点的坐标为，的长为； 当时，即， ∴，解得， 此时点与点重合，点的坐标为，， 综上所述，当为直角三角形时，点的坐标为，的长为或点的坐标为，． 23. 综合与探究 数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． 【操作探究】 （1）如图1，矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转到矩形的位置，当经过点D时，连接，线段的长度为 ； （2）如图2，菱形绕点A逆时针旋转到菱形的位置，与共线，与交于点E，与交于点F，延长、交于点M．判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）①如图3，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，小华猜想此时点D应落在边上，王老师提供了如图4所示思路，请填空： ②在①的条件下，若，，，则的长为 ； 【拓展提升】 （4）如图5，在中，，，（），将绕着中点O顺时针旋转到的位置，当点第一次落在边上时，边与边相交于点G，则的长为 ．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）四边形是菱形，证明见解析；（3）①，；②；（4） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由旋转的性质得，，，， ，然后由勾股定理得，则，即可解决问题； （2）先证四边形是平行四边形，再证，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （3）①连接，证明，可得，结合四边形是平行四边形，得，再证、、共线，即可得出结论； ②先证明，可得，，如图，过作，则，证明，，可得，，进一步即可解决问题． （4）如图，连接，，，，证明四边形是矩形，可得，，而，在的延长线上，求解，再证明，从而可得答案. 【详解】解：（1）如图， ∵四边形是矩形， ，，， 由旋转性质得：，，， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ； （2）四边形是菱形，理由如下： 菱形绕点旋转，与共线， ，，，，， 四边形是平行四边形， ，即， 在和中， ， ∴， ， 四边形是菱形； （3）①如图，连接， 由旋转的性质得：，，， 和都是等腰三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形由四边形旋转而成， 四边形是平行四边形， ， 又， 、、共线， 图中①为：，图中②为：； ②由①得：， ∴， ∵，，，四边形，是平行四边形，结合旋转； ∴，，， ∴， ∴， ∴， 如图，过作，则， ∴，，， 由旋转可得：，而， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （4）∵在中，，，（），将绕着中点O顺时针旋转到的位置， ∴，，，， 如图，连接，，，， ∵为的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，而， ∴，在的延长线上， ∴， ∵四边形，四边形都是平行四边形，结合旋转， ∴，而， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，锐角三角函数的应用，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $