精品解析：辽宁沈阳市第二中学2025-2026学年高三下学期考前自测数学试题

沈阳二中2025-2026学年度下学期模拟考试 高三（26届）数学试题 说明： 1．考试时长120分钟，满分150分 2．考生务必将答案答在答题卡相应位置，在试卷上作答无效 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线：（）的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 5. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，且三人的选择相互独立．设事件“三个人去的景点各不相同”，事件“甲去了第1个景点”，事件“乙去了第1个景点”，则下列说法错误的是（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 回归直线必过样本中心点 C. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为 D. 若随机变量，则越大越小 10. 已知函数，（，，）的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 C. 的图象关于点对称 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的范围是 11. 设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，若函数的对称中心为，则 B. 当时，函数的图象关于点中心对称 C. 当时，若的两个极值点为，且，则 D. 当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 13. 单位圆的内接，满足，则____． 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点在的右支上，若，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 1 2 3 4 5 入园游客量（百人） 53 64 71 79 83 （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求回归方程以及表中第3个观测的残差； （2）该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率． 附：参考公式：回归直线方程，其中，；参考数据：，，，． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）若，求的面积； （2）若，求和的值； 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，且， （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，直线交于两点，且四边形的面积为． （1）求的方程； （2）动圆过原点与，且与交于，两点，直线，分别交于另一点． （ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）点满足，求到直线的距离之和的最大值． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳二中2025-2026学年度下学期模拟考试 高三（26届）数学试题 说明： 1．考试时长120分钟，满分150分 2．考生务必将答案答在答题卡相应位置，在试卷上作答无效 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，得，又， 所以； 因为得，所以， 则.故选项C正确. 2. 已知复数在复平面内表示的点在直线上，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的几何意义得出点，再应用点在线上得出，最后应用共轭复数定义求解. 【详解】复数在复平面内表示的点在直线上， 则，即得，则， 则复数的共轭复数. 3. 抛物线：（）的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将抛物线化为标准方程：，所以抛物线的准线方程为：. 4. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 5. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，且三人的选择相互独立．设事件“三个人去的景点各不相同”，事件“甲去了第1个景点”，事件“乙去了第1个景点”，则下列说法错误的是（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A：因为甲乙有可能都去第1个景点，即与能同时发生，所以与不互斥，所以A错误； 对于C：由题意得，所以C正确； 对于B：因为， 所以，所以与相互独立，所以B正确； 对于D：因为，所以，所以D正确． 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，． 7. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 8. 设随机变量的分布列为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列前7项之和为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累积概率与分布列关系推导出的递推公式，进而求出通项，再结合分布列概率总和为1确定首项，最后逐个分析选项即可. 【详解】因为，， 则当时，， 代入得，化简得; 由递推式：，即; 由分布列概率总和为1可得：，即. 选项A，因为，所以，，所以数列不是等比数列，A错误； 选项B，，B错误； 选项C，因为，所以前7项和为：，C错误； 选项D，期望，D正确. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 回归直线必过样本中心点 C. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的第75百分位数为 D. 若随机变量，则越大越小 【答案】BCD 【解析】 【详解】A：因为样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，故A不正确； B：因为回归直线必过样本中心点，故B正确； C：数据8，6，4，11，3，7，9，10从小到大排列为：3，4，6，7，8，9，10，11， 因为，所以这组数据的第75百分位数为，故C正确； D：根据正态分布的性质可知：越大，正态曲线越矮胖，所以越小，故D正确. 10. 已知函数，（，，）的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 C. 的图象关于点对称 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数部分图象求出函数解析式，由且可判断A； 根据图象平移原则可判断B；由可判断C；利用数形结合可判断D. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即，则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则，综上可得. 对于A，若为对称轴，则或， 代入得，故A错误； 对于B，函数的图象向左平移个单位得到的函数为，故B正确； 对于C，若的图象关于点对称，则， 因为，故C错误； 对于D,若，则， 令，即， 则与在上有两个交点，如下图可得， 解得，故D正确. 11. 设三次函数，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，若函数的对称中心为，则 B. 当时，函数的图象关于点中心对称 C. 当时，若的两个极值点为，且，则 D. 当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助函数中心对称性质计算可得、，再计算即可得；对B：结合函数中心对称性质，验证是否成立即可得；对C：求导后，结合极值点定义，利用韦达定理计算即可得；对D：结合等差数列性质，设出三个零点后代入计算即可得. 【详解】对A：当时，， 由函数的对称中心为，则， 即有， 整理得，即有，解得， 即，故，故A错误； 对B：当时，， 则， 故函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对C：当时，，， 则，，， 由，且，则，故，， 即有，，且，，故，， 即有，即，故C正确； 对D：当时，， 设三个相异零点分别为、、， 则， 即， 则，由得， 则由可得，故， 又，故实数的取值范围为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，分类讨论产生的情况，求指定项的系数即可. 【详解】二项式的通项公式为： 展开式中的系数有两种情况： 情况1：第一个括号的乘中的项，则， 系数为：. 情况2：第一个括号的乘中的对应项， ，乘完后要得到，则， 系数为：. 合并两种情况的系数：，即的系数为. 13. 单位圆的内接，满足，则____． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知，， 则，即， 所以， 所以. 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点在的右支上，若，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用焦点到渐近线的距离为构造直角三角形，得到，再结合正弦定理、双曲线定义和余弦定理建立和的关系，即可求得离心率. 【详解】由题意可得，如图，不妨设点在第一象限，与的渐近线交于点， 因为直线与的渐近线垂直， 所以点到直线的距离为， 在中，因为，所以，所以. 由，得， 在中，由正弦定理可得，即， 故， 由双曲线的定义可得：，故， 所以由余弦定理可得：， 即，得，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，5天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 1 2 3 4 5 入园游客量（百人） 53 64 71 79 83 （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求回归方程以及表中第3个观测的残差； （2）该景区在活动期间设置3个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率． 附：参考公式：回归直线方程，其中，；参考数据：，，，． 【答案】（1）；残差为（百人） （2） 【解析】 【分析】（1）使用最小二乘法计算回归方程，再计算残差； （2）使用全概率公式求解. 【小问1详解】 由表格，可得， 则，， 故经验回归方程为．对于表中第3个观测，入园游客量为71（百人）， 预测值为（百人）， 残差为（百人） 【小问2详解】 记从通道入园的事件为（），从通道离园的事件为（）， 由题意可得，，，， 故． 16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）若，求的面积； （2）若，求和的值； 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，再利用平方关系得，结合三角形面积公式求解. （2）结合正弦定理和，可得，从而求得的值.利用余弦定理，可得的值，最后检验是否符合题意. 【小问1详解】 已知，，，由余弦定理得： 因为所以由同角三角函数关系得： 的面积 【小问2详解】 由正弦定理，且，， 代入得，约去（），解得． 则． 由余弦定理，代入，， 得：， 整理得，解得或． 当时，，则，，即， 此时，矛盾，舍去； 当时，，符合题意； 故． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，且， （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在平面内作交于点，连接，利用面面垂直的性质定理得出平面，可得出，利用余弦定理结合勾股定理逆定理得出，结合得出平面，可得出，再利用菱形的几何性质以及线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 在平面内作交于点，连接， 由与，得， 所以， 又平面平面，平面平面， ，平面， 故平面， 又因为平面，故， 在中，由与， 则， 即， 在中，，即， 所以，故，即， 又，且，、平面， 故平面， 因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，故， 又，、平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，， 故以点为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 故、、、、， ，，，则， 设为平面的一个法向量， 则，取，得， 由（1）知平面，且， 故令为平面的一个法向量， 记二面角的平面角为（显然为锐角）， 故， 即二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，直线交于两点，且四边形的面积为． （1）求的方程； （2）动圆过原点与，且与交于，两点，直线，分别交于另一点． （ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）点满足，求到直线的距离之和的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据离心率得，再根据面积得，即可求得答案； （2）（i）根据题意得，设，进而得，再求斜率，并求乘积即可证明； （ii）设，直线的方程为，进而联立方程，结合韦达定理，根据，化简整理得，即直线恒过定点，再根据向量关系得直线也过定点，且，即，故点到直线的距离之和为平行线间的距离，即可求得. 【小问1详解】 设的焦距为，则由题意，解得， 因为直线交于两点， 所以，将，代入椭圆得，解得， 所以， 因为，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 由（1）知：直线为线段的中垂线，故为圆的直径，所以， 设，则有，即， （ⅰ）分别记直线的斜率为， 则； （ⅱ）设，直线的方程为， 联立可得， 则，且， 由， 化简得：， 代入得：， 即， 化简得，即，所以直线恒过定点， 由知， 所以直线也过定点，且，即， 显然原点在线段上， 故点到直线的距离之和为平行线间的距离，且， 故当直线垂直于轴时，点到直线的距离之和达最大值为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在上的值域； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性即可求解； （2）问题转化为在上恒成立，令，利用二阶导数求的最小值，对二阶导数的符号进行分类讨论，分，，三种情况进行讨论； （3）利用（2）的结论可得，进而利用放缩可得，然后利用裂项相消求和可证明不等式的左半部分，令，利用导数证明当时，，再利用放缩可得，最后利用裂项相消求和可证明不等式的右半部分. 【小问1详解】 当时，，则， 令，则，即； 令，则，即. 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以的值域为. 【小问2详解】 由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以. ①当时，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，在上单调递增，则，满足题意. 综上可得，即实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）得，当时，任意恒成立， 即， 所以， 所以 . 令，则， 存在，使得. 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $