精品解析：2026年广东省广州市海珠区中考二模考试数学试题

2025学年第二学期九年级综合练习 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟，不可以使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ，， ∴ 对四个数从小到大排序可得： ， 即 ， 因此最大的数是． 2. 生活中常见的路障锥（如图1）通常是圆锥的形状，可以把它抽象成如图2所示的圆锥，该圆锥的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：圆锥的侧面展开图是扇形， 故选：D． 3. 如图，数轴上，点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数轴确定点 表示的数的取值范围，再结合选项进行判断即可求解． 【详解】解：由数轴可知，点 在与之间，且靠近． 点 表示的数满足． A选项，不符合题意． B选项，不符合题意． C选项满足，符合题意． D选项，均不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算与二次根式运算的基本规则，根据对应运算法则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵根据乘法分配律去括号，得 ∴A错误． 选项B：∵与不是同类二次根式，无法直接合并， ∴B错误． 选项C：∵根据积的乘方运算法则，得 ∴C错误． 选项D：∵，符合二次根式运算规则 ∴D正确． 5. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其开花时长的平均数和方差如图所示，若从甲、乙、丙、丁中选择一种开花时间最长，且最平稳的，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平均数说明开花时间，再根据方差的大小判断稳定性即可得出答案． 【详解】解：根据图示可知甲，乙的平均数是3，丙，丁的平均数是5，可知丙，丁的开花时间长，且丁的方差最小，所以丁开花时间最长，且最平稳，则D符合题意． 6. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴. 7. 如图，直线与轴、 轴分别交于 、 两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线与坐标轴交点 、 的坐标，得出、的长，利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：令，则，解得 ， ，即． 令 ，则， ，即 ． 在中，由勾股定理得：． ． 8. 《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为 钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两种出钱情况分别列出等式即可得到方程组。 【详解】解：设有人，物价为 钱， ∵每人出 钱，余钱，故总出钱数比物价多钱， ∴得方程， ∵每人出7钱，差4钱，故总出钱数比物价少4钱， ∴得方程， 因此可得方程组． 9. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．设，则，利用三角函数解即可． 【详解】解：由题意知， 设， ， 在中，， 解得：， 秋千绳索的长为， 故选：A． 10. 第一步：如图，将矩形纸片 沿过 点的直线折叠，使点 落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图，将图中的矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质、折叠的性质可得，利用勾股定理得到，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵将矩形纸片 沿过 点的直线折叠，使点 落在边上的点处，得到折痕， ∴ ∴四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在上的点处，得到折痕， ∴，， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得：， 即：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 【答案】x≥﹣2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到x+2≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得x+2≥0， 解得x≥﹣2， 所以x的取值范围为x≥﹣2． 故答案为x≥﹣2． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握要使二次根式有意义，需让被开方数是非负数即可解决问题． 12. 据相关部门统计，年春节假期中国高铁站客流量比往年有了较大增长，其中广州南站达到人次，将用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 若， 互为倒数，且满足，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，单项式乘多项式的运算，根据倒数的定义得到，展开原式后代入计算即可求出的值． 【详解】解：， 互为倒数， ， 将展开得：， 把代入得：， 解得． 14. 如图， 为 的直径，弦 于 ，，，则 的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设 的半径为,根据勾股定理，垂径定理，圆的性质，解方程，求解即可； 【详解】解：连接，设 的半径为, 为 的直径，弦 于 ，，， ，， ， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故 的半径为 15. 如图，在一个圆柱体容器中，用绳子悬挂长方体铁块（绳子体积忽略不计）．现往容器内匀速注水，注满为止．水面高度与注水时间的关系如图．则注水时间 时的水面高度为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先由图象可知铁块全部进入水中后的水面上涨速度，即 段水面上涨的速度，再求出水面上涨的高度a；根据待定系数法求出直线的关系式，再将代入直线的关系式求出答案． 【详解】解：根据题意，得铁块全部进入水中后的水面上涨速度，即 段水面上涨的速度为：， 根据题意，得， ∴， 设直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，； 16. 如图，正方形 的边长为， 为边上一动点，连接 、 ，以 为边向右侧作正方形 ．连接 ，则 面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作，交的延长线于点N，设，则，设 的面积为y，根据题意，得，根据二次函数的性质求解即可； 【详解】解：过点F作，交的延长线于点N， ∵正方形 的边长为4， 四边形 是正方形， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 设 的面积为y， 根据题意，得， ∵， ∴y有最大值，且当时，取得最大值，且为 ， 故 面积的最大值为2． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解两个一元一次不等式，取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得． 解不等式②得． ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，在平行四边形 中，点 和点 在对角线上，且 ．求证： ． 【答案】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 在中， ， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，可得，利用线段的和差可得，进而可得结论． 【详解】略 19. 已知抛物线的顶点坐标为，与直线相交于点和点 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）当 时，试比较与的大小，请直接写出比较的结果． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式即可； （2）作差后，分类比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴不妨设， ∵抛物线过点， ， 解得 ， 故抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线过点， ∴， ， 直线， ， 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， ， ； 当时，则， ， ， ． 20. 已知． （1）化简T； （2）如图，若反比例函数的图象经过点A，且矩形的面积为3，求T的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值以及反比例函数（ ）中的几何意义．解题关键在于熟练运用分式运算规则进行化简，准确利用反比例函数的性质确定的值，再代入求值． （1）先对进行通分计算，再根据除法运算法则，将除法转化为乘法进行化简．这一步主要依据分式的基本运算规则，通分是为了将两个分式化为同分母分式进行减法运算，除法变乘法是利用除以一个数等于乘以它的倒数这一规则． （2）利用反比例函数中的几何意义，由矩形的面积得出的值，再结合函数图象所在象限确定的值，最后代入化简后的 表达式求值．这里反比例函数（为常数， ）中，过双曲线上任意一点作轴、 轴的垂线，所得矩形面积为 是关键知识点． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象经过点 ，矩形的面积为． ∴，即 ． ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴ ，则 ． 把 代入，得． 21. 根据以下调查报告解决问题（说明：以下仅展示部分报告内容）． 调查主题 学校九年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校九年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 九年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 合计 频数 （1）视力在“ ”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为： 、、 、 、、 、 、、，这组数据的中位数是_______； （2）视力低于 属于视力不良，该校九年级学生有人，估计该校九年级右眼视力不良的学生约为多少人？ （3）有两位学生的视力特别差，需从校医提供的四种提升视力方法（、、、）中，各自选择一种方法进行矫正训练，求两人选中同一种方法的概率． 【答案】（1） （2）约 人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，先对数据排序，再找中间位置的数即可得到结果； （2）利用样本估计总体的思想，先求出样本中视力不良的比例，再乘以九年级总人数即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：将这组数据从小到大排序得：  这组数据共9个，中位数为第5个数据，因此中位数是 ； 【小问2详解】 解：由频数分布表可知，样本容量为 ，视力不低于 的频数为 ， 因此样本中视力低于 的频数为 （人） 答：估计该校九年级右眼视力不良的学生约为500人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中两人选中同一种方法的结果数有4种， ∴两人选中同一种方法的概率是． 22. 如图，是 的直径， 交的边于点 ，连接，已知， ，． （1）求证： 是 的切线． （2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出的角平分线交于点 ，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． ②在①的条件下，求 的长． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是 的直径， ∴ 是 的切线． （2） ①如图， 为的角平分线， 交于点 ． ② 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质、圆周角定理与外角性质，推导出，结合切线判定定理证明 是 的切线； （2）先由勾股定理求出，再利用等腰三角形三线合一证，结合平行线性质证，最后通过相似三角形对应边成比例求出 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵ ，，， ∴， ∵ ， 平分， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴． 23. 项目式学习：为了解智能机械臂的工作情况，某学习小组进行了如下研究： 课题 智能机械臂的工作情况 素材 如图①，水平操作台为 ，底座固定，底座和操作台是相连的，且始终与平台 垂直， 、 是连杆， ， 是转动点，、 、 与操作台 始终在同一平面内，、 为固定长度， 可伸缩，张角 可在与之间变化， 可以绕点 转动，张角 可在 与 之间变化，机械臂端点 处装有一个爪子，工作时在操作台上抓取物品．连杆 比底座长 ． 状态 状态一（工作状态，如图②） 状态二（静止状态，如图③） 图示 （1）工作状态时，机械臂所能抓取的物品离操作台的竖直距离称为工作距离，且 伸展到最长．当 ， ，工作距离达到最大为 ，此时连杆 比底座短 ，求底座的长度； （2）静止状态时，机械臂的端点 与操作台接触，且 缩到最短，此时机械臂处于完全收拢状态．在完全收拢状态下，考虑安全因素，需满足：在操作台上，以 为圆心， 的长为半径的范围内保持无其他物品的状态，请问操作台的长至少设置为多长，结果保留整数？（参考数据： ；完全收拢状态下爪子的长度忽略不计，提示必须大于或等于 ） 【答案】（1）底座的长度 （2）即操作台的长至少设置为． 【解析】 【分析】（1）过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ，证明四边形 是矩形，得到 ，，推出 ，得到 ，由题意得 ，设 ，则 ， ， ，最后根据 ，列方程即可求解； （2）由题可知，当张角 达到最小，即时，操作台的长最小，过点 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为，证明四边形 为矩形，得到 ， ， ，由题意得， ， ，当操作台最短时， ，据此计算，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ， ， 四边形 是矩形， ，， ， ， ， ， 由题意得 ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， 解得 ， 底座的长度； 【小问2详解】 解：由题可知，当张角 达到最小，即时，操作台的长最小， 如图，过点 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为， 由题意得， ， ， 则 ， 四边形 为矩形， ， ， ， ， ∴ ，， ∴ ， 当操作台最短时， ， 设 ，则 ， ， ∴， 解得， ∴ ， 即操作台的长至少设置为． 24. 已知抛物线，直线与抛物线交于点 、点 ，点 在点 右侧，其中． （1）当 时， ①求点 、点 的坐标（用含 的字母表示）； ②点为下方该抛物线上的动点，连接、 ，面积为 ，求点横坐标的值； （2）抛物线与轴的两个交点的横坐标为，，且满足，过点 作轴平行线与抛物线交于点 ，若反比例函数与抛物线上点 、 两点之间的图象有交点，请求的取值范围． 【答案】（1）①，；②点横坐标的值为或 （2） 【解析】 【分析】（1）①联立抛物线与直线解析式，即可求解； ②设动点横坐标为 ，则，过点作 轴交于点 ，则，根据三角形的面积公式求得，根据面积为 ，解方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合一元二次方程根与系数的关系得出化简得，进而得出，，过点 作轴，交抛物线于点 ，得出，根据反比例函数与抛物线上点 、 两点之间的图象有交点，等价于方程在内有解，分别求得点的函数值，进而根据一次函数与二次函数的性质求得的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：①， 消去 得， ， 整理得， 解得 或 ， 因为点 在 右侧，代入直线得对应纵坐标，所以： ，， ②由①可得 ， 直线的解析式为， ∵点为下方该抛物线上的动点， ∴， 设动点横坐标为 ，则 过点作 轴交于点 ， ∴， ∴， ∴， ∵面积为 ， ∴， 解得： 或 ， ∴点横坐标的值为或； 【小问2详解】 解：对于抛物线，令，则， ∴，， 代入条件，   ， 化简得， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线方程得， 解得 或 ​， 因此： ，， 过点 作轴，交抛物线于点 ， 令， 解得： 或， ∴，代入， ∴， ∵，， 又∵ ∴，都在对称轴右侧，抛物线开口向上，因此 段抛物线上 随增大而增大， 反比例函数​与 段有交点等价于方程在内有解， ， ， 已知，令 ​，则： ，随 增大从 递增到， ，随 增大从 递增到 ， 因此． 25. 如图1，在矩形 中， ，． （1）求的度数； （2）如图2，点 为线段 上的动点，作 的外接圆，交于点 ，交于点 ．在上截取，试探究是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不是，请说明理由； （3）如图3，以点 为圆心、为半径作圆，点为圆 上的动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段，当点 、点同时运动时（ 、 、可共线），求线段 的最小值． 【答案】（1） （2）是定值，为 （3） 【解析】 【分析】（1）解 即可求解； （2）连接， ，过点 作于点 ，先证明点重合，再证明即可； （3）连接，将 绕 顺时针旋转 至 ，连接，可证明，则，由，得到，故当且仅当三点共线，且 时， 取得最小值，再画出图形，解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形 中，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：是定值，为， 连接， ，过点 作于点 ， ∵ ∴ ∵在上截取 ∴点重合， ∵在矩形 中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：连接，将 绕 顺时针旋转 至 ，连接， ∴， ∴ 由题意得，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴当且仅当三点共线，且 时， 取得最小值，如图： 在 中， ∴ ∴ ∴线段 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级综合练习 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟，不可以使用计算器． 注意事项： 1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 生活中常见的路障锥（如图1）通常是圆锥的形状，可以把它抽象成如图2所示的圆锥，该圆锥的侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上，点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，其开花时长的平均数和方差如图所示，若从甲、乙、丙、丁中选择一种开花时间最长，且最平稳的，则应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 秤的历史可以追溯到数千年前，我们的先祖运用杠杆原理发明了木杆秤．木杆秤在称物时手提绳与秤砣绳是平行的．如图是一杆木杆秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线与轴、 轴分别交于 、 两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为 钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ） A. B. C. D. 10. 第一步：如图，将矩形纸片 沿过 点的直线折叠，使点 落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图 ，将图中的矩形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平．若，，（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 要使在实数范围内有意义，x应满足的条件_______． 12. 据相关部门统计，年春节假期中国高铁站客流量比往年有了较大增长，其中广州南站达到人次，将用科学记数法表示为________． 13. 若 ， 互为倒数，且满足，则 ________． 14. 如图， 为 的直径，弦 于 ，，，则 的半径为________． 15. 如图，在一个圆柱体容器中，用绳子悬挂长方体铁块（绳子体积忽略不计）．现往容器内匀速注水，注满为止．水面高度与注水时间的关系如图 ．则注水时间 时的水面高度为________ ． 16. 如图，正方形 的边长为， 为边上一动点，连接 、 ，以 为边向右侧作正方形 ．连接 ，则 面积的最大值为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组． 18. 如图，在平行四边形 中，点 和点 在对角线上，且 ．求证： ． 19. 已知抛物线的顶点坐标为，与直线相交于点和点 ． （1）求该抛物线的解析式； （2）当 时，试比较与的大小，请直接写出比较的结果． 20. 已知． （1）化简T； （2）如图，若反比例函数的图象经过点A，且矩形的面积为3，求T的值． 21. 根据以下调查报告解决问题（说明：以下仅展示部分报告内容）． 调查主题 学校九年级学生视力健康情况 背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校九年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据． 调查结果 九年级学生右眼视力频数分布表 右眼视力 合计 频数 （1）视力在“ ”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为： 、、 、 、、 、 、、，这组数据的中位数是_______； （2）视力低于 属于视力不良，该校九年级学生有人，估计该校九年级右眼视力不良的学生约为多少人？ （3）有两位学生的视力特别差，需从校医提供的四种提升视力方法（、、、）中，各自选择一种方法进行矫正训练，求两人选中同一种方法的概率． 22. 如图， 是 的直径， 交的边 于点 ，连接，已知， ，． （1）求证： 是 的切线． （2）①用圆规和无刻度的直尺在图中作出的角平分线交于点 ，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． ②在①的条件下，求 的长． 23. 项目式学习：为了解智能机械臂的工作情况，某学习小组进行了如下研究： 课题 智能机械臂的工作情况 素材 如图①，水平操作台为 ，底座 固定，底座和操作台是相连的，且始终与平台 垂直，、 是连杆， ， 是转动点， 、、 与操作台 始终在同一平面内， 、为固定长度， 可伸缩，张角 可在与之间变化， 可以绕点 转动，张角 可在 与 之间变化，机械臂端点 处装有一个爪子，工作时在操作台上抓取物品．连杆比底座 长 ． 状态 状态一（工作状态，如图②） 状态二（静止状态，如图③） 图示 （1）工作状态时，机械臂所能抓取的物品离操作台的竖直距离称为工作距离，且 伸展到最长．当 ， ，工作距离达到最大为 ，此时连杆 比底座 短 ，求底座的长度； （2）静止状态时，机械臂的端点 与操作台接触，且 缩到最短，此时机械臂处于完全收拢状态．在完全收拢状态下，考虑安全因素，需满足：在操作台上，以 为圆心， 的长为半径的范围内保持无其他物品的状态，请问操作台的长至少设置为多长，结果保留整数？（参考数据： ；完全收拢状态下爪子的长度忽略不计，提示必须大于或等于 ） 24. 已知抛物线，直线与抛物线交于点 、点 ，点 在点 右侧，其中． （1）当 时， ①求点 、点 的坐标（用含 的字母表示）； ②点为 下方该抛物线上的动点，连接 、 ，面积为 ，求点横坐标的值； （2）抛物线与轴的两个交点的横坐标为，，且满足，过点 作轴平行线与抛物线交于点 ，若反比例函数与抛物线上点 、 两点之间的图象有交点，请求 的取值范围． 25. 如图1，在矩形 中， ，． （1）求的度数； （2）如图2，点 为线段上的动点，作 的外接圆，交于点 ，交 于点 ．在 上截取，试探究是否为定值，若为定值，请求出该定值，若不是，请说明理由； （3）如图3，以点 为圆心、为半径作圆，点为圆 上的动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段，当点 、点同时运动时（ 、 、可共线），求线段 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $