3.3 导数与函数的极值、最值【8大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 系统覆盖导数与函数极值最值8大考点，通过阶梯式题型设计构建从概念理解到综合应用的完整认知链，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数图象与极值关系|6题|多图象辨析题，含多选题|从形到数建立极值直观认知| |不含参函数极值|6题|基础运算题，含开放题|巩固导数法求极值基本流程| |不含参函数最值|6题|区间限定型计算题|强化闭区间最值求解规范| |极值求参数|6题|逆向思维题，含多选型|深化极值存在条件的理解| |含参极值讨论|6题|分类讨论题，含探究题|培养参数分类标准构建能力| |含参最值求解|6题|区间动态型问题|提升参数影响分析能力| |最值求参数|6题|存在性问题|强化最值与参数关系认知| |综合应用|6题|多知识点融合题|构建导数应用知识网络|

3.3 导数与函数的极值、最值 8大考点汇总 考点01 函数图象与极值(点)的关系 考点02 求不含参函数极值或极值点 考点03 求不含参函数最值 考点04 根据极值(点)求参数 考点05 讨论含参函数的极值(点)或点的个数 考点06 利用导数求含参函数的最值 考点07 已知函数最值求参数 考点08 函数单调性、极值与最值的综合应用 题型专练 考点01 函数图象与极值(点)的关系 1．（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 2．已知为定义在上的函数，其导函数的图象如下图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极小值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值 D．曲线在点处的切线斜率大于零 3．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得最大值 C．函数在上单调递减 D．在区间内的函数值为负 4．（多选）如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．在时，函数取得极值 B．在时，函数取得极值 C．函数在区间上单调递增 D．的图象在处切线的斜率小于零 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极大值 B．在区间内，有1个极值点 C．在区间内，是增函数 D．是的一个零点 6．（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 考点02 求不含参函数极值或极值点 7．已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 8．（1）已知函数．求的极值； （2）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围． 9．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 10．已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 11．请写出函数的一个极值点_________． 12．函数在区间上的极小值点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 考点03 求不含参函数最值 13．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 14．已知函数． (1)求的单调区间； (2)当，求的最值． 15．函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．已知函数在处取得极值0． (1)求实数，的值： (2)求函数在区间上的最值． 17．已知函数，且为的一个极值点. (1)求a的值； (2)求在上的最小值和最大值. 18．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 考点04 根据极值(点)求参数 19．已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________． 20．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 21．已知函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A．4或12 B．12 C．4 D．4或8 22．已知函数在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值． 23．若和是函数的两个极值点，则（   ） A． B． C． D． 24．已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 考点05 讨论含参函数的极值(点)或点的个数 25．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 27．函数，． (1)时，求在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围． 28．设函数． (1)讨论的单调性并求其极值； (2)若在内存在极值，求的取值范围； 29．已知函数． (1)在定义域内单调递减，求的范围； (2)讨论函数在定义域内的极值点的个数； 30．设函数（）. （1）若，在处的切线在坐标轴上的截距之和为，求的范围； （2）讨论函数的极值情况，并求出当函数的极大值为0时实数的值. 考点06 利用导数求含参函数的最值 31．已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 32．若关于x的方程在区间上有解，则实数a的取值范围是________． 33．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 34．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 35．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 36．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； 考点07 已知函数最值求参数 37．已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 38．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 39．已知函数的最小值为0，则___________． 40．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值. 41．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 考点08 函数单调性、极值与最值的综合应用 43．已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 44．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（）的两个极值点，满足，则的取值范围为___ 46．已知，设函数，若对任意恒成立，则的所有可能取值构成的集合为__________． 47．已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 48．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，都有，求m的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 导数与函数的极值、最值 8大考点汇总 考点01 函数图象与极值(点)的关系 考点02 求不含参函数极值或极值点 考点03 求不含参函数最值 考点04 根据极值(点)求参数 考点05 讨论含参函数的极值(点)或点的个数 考点06 利用导数求含参函数的最值 考点07 已知函数最值求参数 考点08 函数单调性、极值与最值的综合应用 题型专练 考点01 函数图象与极值(点)的关系 1．（多选）若函数导函数的部分图象如图所示，则（    ） A．是的一个极大值点 B．是的一个零点 C．不是的一个极小值点 D．是的一个极大值点 【答案】ACD 【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断． 【详解】对于A选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，A正确； 对于B选项，由图可知，在左右两侧，导函数左负右正，函数左减右增，是的一个极小值点，不是零点，B错误； 对于C选项，由图可知，在左右两侧，导函数恒大于零，函数单调递增，不是的一个极值点，C正确； 对于D选项，由图可知，在左右两侧，导函数左正右负，函数左增右减，是的一个极大值点，D正确． 2．已知为定义在上的函数，其导函数的图象如下图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极小值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值 D．曲线在点处的切线斜率大于零 【答案】D 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 仅在和时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，不是函数的极小值点，故A错误， 由图象可知在区间上不单调，B错误； 当时，，当时，， 则在上单调递减，在单调递增， 即是在区间上的极小值也是最小值，C错误， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D正确. 3．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得最大值 C．函数在上单调递减 D．在区间内的函数值为负 【答案】C 【分析】根据图象可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断. 【详解】由图象可得：当或时，；当或时，； 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 故A错误，C正确； 函数在处取得极大值，不一定是最大值，故B错误； 根据题意只能得到的符号，以及的单调区间，无法判断的符号，故D错误. 4．（多选）如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．在时，函数取得极值 B．在时，函数取得极值 C．函数在区间上单调递增 D．的图象在处切线的斜率小于零 【答案】AC 【分析】根据导数图象和极值进行辨析即可. 【详解】对于A，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，. 所以在时，函数取得极小值，所以A正确； 对于B，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递增，. 所以在时，函数没有极值，所以B错误； 对于C，根据图象可知，在上大于等于0，所以函数在区间上单调递增，所以C正确； 对于D，因为，所以它的图象在处切线的斜率大于零，D错误. 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．为的极大值 B．在区间内，有1个极值点 C．在区间内，是增函数 D．是的一个零点 【答案】A 【分析】根据导数的正负，判断函数的单调性，再判断函数的极值点，即可判断选项. 【详解】A.如图，2附近，左边的导数为正数，2右边的导数为负数，所以2附近是先增后减， 所以2是的极大值点，是函数的极大值，故A正确； B. 在区间内，，单调递减，所以无极值点，故B错误； C.在区间内，，函数单调递减，内，，函数单调递增，故C错误； D.附近，左边导数为正数，函数单调递增，右边导数为负数，函数单调递减，所以是函数的极大值点，不一定是零点，故D错误. 6．（多选）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数解析式的特征，结合函数的图象，判断导数的正负得出函数单调性，即可确定函数的极值点的情况. 【详解】由函数的图象知， 当时，，当时，，     当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项B正确； 是的极大值点，2为函数的极小值点，1不是函数的极值点，选项A错误； 当时，，在上单调递减，，选项C正确； 当时，，在上单调递减，，选项D错误． 考点02 求不含参函数极值或极值点 7．已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数的单调性，再根据单调性求解即可. 【详解】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. 8．（1）已知函数．求的极值； （2）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围． 【答案】（1）极大值，极小值；（2） 【分析】（1）求得，得出函数的单调性，结合极值的定义，即可求解； （2）求得，根据题意，转化为在上恒成立，结合函数的单调性，求得，得到，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，且，令，即，解得或． 当时，，单调递增： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以当时，取得极大值，极大值为； 当时，取得极小值，极小值为． （2）由函数，可得其定义域为，且， 因为在上是严格减函数，所以在上恒成立，且不恒为0， 即在上恒成立，即在上恒成立， 又因为在上为单调递减函数， 所以，可得，解得，经验证：时，仅在时取等号，符合题意， 所以实数的取值范围是． 9．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数符号即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 10．已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为 (2). 【分析】（1）对进行求导，然后利用导数去求的单调区间和极值. （2）根据（1）大致作出的图象，由图象确定的取值范围. 【详解】（1），. 令，解得或. 递增 极大值 递减 极小值 递增 的单调递增区间为和，单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （2）由（1）可知的极大值为，的极小值为. 当，，作出的大致图象如下： 要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点， 由图象可得的取值范围为. 11．请写出函数的一个极值点_________． 【答案】（或） 【详解】对函数求导，根据乘积求导法则得：， 令，解得或. 当时，当时，故是极大值点； 当时，当时，故是极小值点. 综上，和均为函数的极值点，写出一个即可. 12．函数在区间上的极小值点个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】求出函数的导数后判断其符号，从而可得极小值点的个数. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得，，0，，， 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增， 所以在,，，上递增， 在，上递减， 所以在区间的极小值点为，，共有2个. 考点03 求不含参函数最值 13．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求解. 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 14．已知函数． (1)求的单调区间； (2)当，求的最值． 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)， 【详解】（1）由题可得，， 因此当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）及及）可知，的单调递减区间为，单调递增区间为. 所以， ，， 则，所以 15．函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在区间上的单调区间即可求解. 【详解】由题可得：，令，解得：， 令，解得：， 令，解得：， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取最小值，故函数在区间上的最小值为 16．已知函数在处取得极值0． (1)求实数，的值： (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值20，最小值0 【分析】（1）利用极值点处函数值与导数值均为0建立方程组求解参数. （2）通过导数确定单调区间，比较区间内极值点与端点函数值得到最值. 【详解】（1）对函数求导，得, 由函数在处取得极值，可得, 联立整理得, 解得. 检验：将代入， ， 当时，；当时，； 当时，，处导数由负变正，为极小值点，符合题意. （2）由（1）得， . 令，得极值点，均落在区间内. 因此，函数在上的最大值为，最小值为. 17．已知函数，且为的一个极值点. (1)求a的值； (2)求在上的最小值和最大值. 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【分析】（1）求导根据得到； （2）计算函数的单调区间，得到最值. 【详解】（1）的定义域为，， 因为为的一个极值点， 则，即， 解得，经检验满足题意； （2）由（1）得，令， 即， 解得或， 1 3 4 0 极小值 故在上的最小值是，最大值是； 18．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增区间为．单调递减区间为． (2)最大值为3，最小值为． 【分析】（1）直接求导，再令和，解出即可； （2）求出端点值和极值，再比较大小即可. 【详解】（1）函数的定义域为． 由可得或，由可得． 所以函数的单调递增区间为．单调递减区间为． （2）函数在区间端点和极值点处的取值：． 极大值． 极小值． ， 比较以上函数值，可得函数在区间上的最大值为3，最小值为． 考点04 根据极值(点)求参数 19．已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【详解】可知， 当时，可知，在上恒成立，函数在上单调递增，无极小值； 当时，令，解得， 所以时，，函数在上单调递减， 时，，函数在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为， 可得，因为，所以，解得， 即实数的取值范围是. 20．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 21．已知函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A．4或12 B．12 C．4 D．4或8 【答案】C 【分析】，求得或，分别求得函数的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极小值，可得，解得或， 当时，令，解得或； 令，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处有极小值，符合题意， 当时，令，可得或；令，可得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处有极大值，不符合题意，舍去. 综上可得，. 22．已知函数在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）根据函数的极值点求出，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【详解】（1）由，得 由题意得，即，解得， 故，定义域为， ， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，           1      + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，． 又，， 故在区间上的最大值为2，最小值为． 23．若和是函数的两个极值点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用极值点的性质列出方程得到参数值求解即可. 【详解】由， 因为和是的极值点，所以是方程的两个实根. 由韦达定理得，解得， 此时, 当或时，,时，, 故为的极大值点，为的极小值点， 故． 24．已知函数在时取得极大值，则的极小值为__________． 【答案】0 【分析】对函数求导，根据极大值求出的值，然后求出极小值即可. 【详解】由， 由，有，可得或6． 当时，， 当或时，;当时，, 可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极小值点，不合题意； 当时，， 同理可得函数的单调递减区间为，单调递增区间为，， 可得是函数的极大值点，符合题意． 可得的极小值为． 考点05 讨论含参函数的极值(点)或点的个数 25．已知函数有两个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，把有两个极值点问题转化为导数有两个正实根，从而利用判别式结合韦达定理构造不等式组求解． 【详解】函数的定义域为，求导得 ， ，导数的符号由分子决定，令， 函数有两个极值点，等价于在上有两个实根， 则二次方程需满足 ，解得， 的取值范围是． 26．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围即可. 【详解】因为 ，所以， 由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解， 即和有两个交点，且， 而当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，而时， ， 当时，；其大致图象如下： 若和有两个交点，只需，故A正确. 27．函数，． (1)时，求在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）时，，， 又，，所以在处的切线方程为， 即． （2）， 由题可知在有两个变号零点， 由，得，令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，，，，所以， 由有两个极值点，则，故 28．设函数． (1)讨论的单调性并求其极值； (2)若在内存在极值，求的取值范围； 【答案】(1) 当时，在单调递减，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，无极值； 当时，在单调递减，在单调递增；无极值. (2) 【分析】（1）首先求使得函数有意义的的取值范围，利用导函数，根据定义域和的取值范围，讨论函数的单调性，并求出函数的极值； （2）结合（1）过程可得； 【详解】（1）要使有意义，则. 下面求解该不等式组的解集，即函数的定义域. 设，函数图象开口向上，对称轴为， 令，即，，其中， ①当时，，则在单调递增， 当时，， 故此时定义域为； ②当时，，也恒成立. 故定义域也为； ③当时，， 此时不等式组为，解得，或. 故定义域为； ④当时，，方程有两根， ，且，， 故函数的定义域为； 由， 则 ①当时，. 则在单调递减，无极值； ②当时，，， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 此时有极小值； ③当时，定义域为， ， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 在处无定义，无极值； ④当时，，， 又， 由，且， 所以； 又， 所以， 且当时，，在单调递减； 时，，在单调递增； 此时无极值. 综上所述，当时，在单调递减，无极值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，有极小值； 当时，在上单调递减，在上单调递增，无极值； 当时，在单调递减，在单调递增；无极值. （2）由（1）可知，要使在内存在极值，则. 所以的取值范围为. 29．已知函数． (1)在定义域内单调递减，求的范围； (2)讨论函数在定义域内的极值点的个数； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，由导函数恒小于0，可求的范围； （2）分类讨论有：当时，函数没有极值点，当时，函数有一个极值点； 【详解】（1）函数定义域为， ，因为在定义域内单调递减， 则在上恒成立，可得， 函数在单调递减，的取值范围为； （2）当时，在定义域内单调递减， ∴在上没有极值点； 当时，得，得， ∴在上递减，在上递增， 即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点， 当时，在上有一个极值点． 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 30．设函数（）. （1）若，在处的切线在坐标轴上的截距之和为，求的范围； （2）讨论函数的极值情况，并求出当函数的极大值为0时实数的值. 【答案】（1）；（2）答案见解析；或. 【分析】（1）求出在处导数值即切线斜率，得出斜线方程，可得，根据在上单调递增可求； （2）讨论，和三种情况根据导数的正负讨论单调性，即可判断极值情况. 【详解】（1）因为，显然， 所以， 所以，， 所以在处的切线方程为. 因为，所以. 在切线方程中，令，得；令，得. 所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以的范围为. （2）因为， 所以. ①当时，，，. 所以的单调递减区间为，无单调递增区间，所以无极大值，无极小值； ②当时，令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时有极大值，无极小值， 令，得，； ③当时，令，则，令，则， 此时有极大值，无极小值， 令，得，. 综上，当时，函数无极大值，无极小值；当时，有极大值，无极小值；当时，有极大值，无极小值. 当函数的极大值为0时，或. 【点睛】方法点睛：利用导数求极值的步骤：（1）求出函数导数；（2）判断导数的正负（若含有参数，需考虑参数情况）；（3）根据导数正负得出单调性；（4）根据单调性得出极值. 考点06 利用导数求含参函数的最值 31．已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1) ，切线方程为； (2) 【分析】（1）求导，然后代入计算即可； （2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可. 【详解】（1） 由，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 （2）令，得或， 当，即时，在区间上，，单调递减，因此最小值为 当，即时，，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在处取得 综上， 32．若关于x的方程在区间上有解，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先将方程有解问题转化为函数值域问题，接着对函数求导确定极值点，最后比较极值与区间端点函数值得到函数在给定区间的值域，即的取值范围. 【详解】由题意可得，原方程可变形为， 所以方程在上有解等价于属于函数在上的值域， 对求导得：， 令，则或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为， 又因为，， 因此在上的最小值为，最大值为，故的取值范围是. 33．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解； （2）求导，结合导数的性质及得出，分情况讨论求出各区间内的，进而求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 已知在处取极值，则，解得． 当时，， 当时，，当时,，故在处极值，符合题意. （2）函数的导数为， 已知，，则， 当时，在上恒成立，单调递减， 最小值为； 当时，在上恒成立，单调递增， 最小值为； 当时，令，解得，则， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 最小值在极值点处取得： ； 综上可得： ． 34．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 35．已知函数，其中． (1)若，求函数的极值点和极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，结合单调性分析函数的极值点和极值； （2）分和两种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，即可得最小值. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的极大值点为0，极小值点为2，极大值为，极小值为. （2）因为函数的定义域为，且，， 令，解得或， 若，则， 可知函数在内单调递增，所以函数在内的最小值为； 若，则， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内的最小值为； 且当时，，符合上式，所以函数在区间上的最小值为. 36．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，根据切点坐标可得结果； （2）求导后，根据正负可得函数单调性，进而确定最大值为. 【详解】（1）当时，，则， ，， 在点处的切线方程为：，即. （2）， 的定义域为，， ，，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，. 考点07 已知函数最值求参数 37．已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 38．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 39．已知函数的最小值为0，则___________． 【答案】/ 【详解】易知函数的定义域为，且, 当时，恒成立，此时在上单调递减，不存在最小值，不合题意； 当时，令可得, 又时，，时，， 所以此时在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值，即， 即，解得，符合题意； 综上可知. 40．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值. 【答案】(1)当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在和上单调递增. (2) 【分析】（1）先求得函数的导函数，讨论的零点的大小关系，利用的正负可得到的单调性； （2）由（1）分析在上的单调性，进而求得其最大值，构造新函数，分析新函数的单调性及零点，即可求得实数的值. 【详解】（1）函数的定义域为. 则， 令，解得或. 若，即，则 当或时，；当时，. 所以在上单调递减，在和上单调递增； 若，即，则恒成立， 所以在区间上单调递增； 当，即，则 当或时，；当时，. 所以在区间上单调递减，在和上单调递增. 综上所述，若，则在上单调递减，在和上单调递增； 若，则在上单调递增； 若，则在上单调递减，在和上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递增，则，解得， 与矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. 令，则恒成立， 所以在上单调递减. 又，故. 综上所述， 41．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增. 因此，是极大值点，是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 42．已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可. 【详解】先对原函数求导得，令得或； 当，，当，，当，. 可得在和上单调递减，在上单调递增，有极大值． 因为函数在上有最大值，需要满足， 再由函数在开区间有最大值可得且. 根据已知函数的单调性，可得当时，恒成立. 故， 求解可得， 求解即，解得. 综上得到. 考点08 函数单调性、极值与最值的综合应用 43．已知函数，，若，，有，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】转化条件得，则，令，利用导数求得的最大值可得解. 【详解】由题意，，，， 即，则，， 令， ，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 作函数的草图如下， 由图可知，当时，有唯一解， 故，且，， ∴， 设，，则，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故，即的最大值为. 44．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围. 【详解】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 45．（）的两个极值点，满足，则的取值范围为___ 【答案】 【分析】根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的值域即可. 【详解】由，得， 由，得， 因为函数有两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令， 则 ， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 又， 令且，则， 所以在上单调递减，则， 即，故时， 综上，时，，且， 所以 . 46．已知，设函数，若对任意恒成立，则的所有可能取值构成的集合为__________． 【答案】 【分析】根据题意转化已知条件为，对任意恒成立，设，求导并利用导数分析函数单调性求出最大值，把问题转化为，分析知当且仅当时取等，进而求解． 【详解】对任意，， ，故， 已知， ，上式即， 设， 令，解得，则在上单调递增，在上单调递减， 为的一个极大值点，， 由题意，对任意恒成立， ， 由上述分析可知，当且仅当时取等， 的所有可能取值构成的集合为． 47．已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)所以在和上单调递减； (2) 【分析】（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可； （2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； （2）当时， 等价于， 即，令， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 48．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的，都有，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义结合已知条件求出切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论，利用导数分析函数单调性，结合已知条件得出m的取值范围． 【详解】（1）函数求导得， 又，， 曲线在处的切线方程为：，即， 所求的切线方程为． （2）由，求导得， ①当时，由，得，，所以，则恒成立， 此时在上单调递增，故， 当时，对任意的，都有； ②当时，令，解得， 则有在上，，单调递减， 在上，，单调递增， 则，不满足题意； 综上，的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $