精品解析：新疆乌鲁木齐高新区2026年5月九年级下学期学业质量诊断数学试卷（问卷）

新疆乌鲁木齐高新区2026年5月九年级下学期学业质量诊断数学试卷（问卷） 注意：1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷由问卷和答卷两部分组成，其中问卷共4页，答卷共4页，要求在答卷上答题，在问卷上答题无效； 3．答题时不能使用科学计算器． 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果收入30元，记作元，那么支出10元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】根据规定收入记为正，则相反意义的支出记为负，据此即可得到结果． 【详解】解：∵收入元记作元，即收入记为正， ∴相反的支出记为负， ∵支出为元， ∴支出元记作元． 2. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质可求出的度数，再由对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据科学记数法表示即可． 【详解】， 故选C 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项，，不符合题意； 选项，，符合题意； 选项，，不符合题意； 选项，与不是同类项，不能合并，不符合题意． 5. 实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数轴得出，且，逐项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，． 6. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 7. 如图，，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角． 先根据全等三角形性质求出，然后根据等边对等角求出，再利用平角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人数为人．根据两次每人分得的钱数相同列方程，即可得解． 【详解】解：∵第二次比第一次增加6人，且第二次分钱的人数为x人， ∴第一次分钱的人数为人， 根据题意得：， 故选：D． 9. 如图1，在中，，一动点从点出发，沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，，与的函数图象如图2所示，则图2中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解题关键是能读懂函数图象． 根据函数图象可知，点的函数值最小，它的左边随的增大而增大，右边则相反，由此结合，点运动的过程，分析出这个点的位置即可． 【详解】解：在中，，设，， 当在上时，逐渐增大，逐渐减小，减小， 当运动到点时，最小，此时，观察图象，； 当在上时，逐渐减小，，继续减小， 当运动到点时，最小为，由图象可知，所以点坐标为， 故选：C． 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值． 【详解】解：把代入可得， 解得， 故答案为：1． 12. 如图，C，D是上直径两侧的点，若，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由题意得，，根据计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴，， ∴． 13. 不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 【答案】红球 【解析】 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【详解】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在左右， 即抽到该球的概率为， 球的总个数为：（个）， 抽到黑球的概率为， 抽到红球的概率为， 抽到白球的概率为， 抽到黄球的概率为， 所以此球的颜色最有可能是红球． 14. 如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】由，设出边长，表示出的面积，的面积，的面积，结合，求解即可． 【详解】解：∵， 设，， ∴点的纵坐标为， 即，可得点的横坐标为，则点； ∴点， ∴点的纵坐标为， 即，可得点的横坐标为，则点； ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴，解得． 15. 如图，将正方形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算与图形面积，一元二次方程的根的计算，理解图示，掌握整式的运算，求根式公式的计算是关键． 根据图示，把正方形面积，拼接矩形的面积运用整式的混合运算表示出来，再根据一元二次方程方程的求根公式的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为， 拼成一个矩形（非正方形）如下图， ∴矩形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴等式两边同时除以，整理得，， 令，则， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 计算及解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为 17. 根据题目意思，解答下列问题 （1）先化简，再求值：，其中； （2）如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）； （2）如图，点即为所作． 【解析】 【分析】（1）先根据分式混合运算法则进行化简，再代入数据求值即可； （2）用直尺和圆规，过点B作，垂足为点M，则点M即为所求． 【小问1详解】 解： ， 把代入得： 原式． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 19. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 【答案】（1）①80；3；②180； （2）①92.2；②91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可； ②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可； ②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，因此甲组数据的众数为80， 所以，；乙组数据的中位数在第3组中． ②． 故答案为：①80；3；②180； 【小问2详解】 解：①（分）； ②由题意得， 解得 ∴k的最小整数值为91. 故答案为：①92.2；②91 【点睛】本题考查了综合利用表格和频数直方图分析数据，众数、中位数的定义，加权平均数的计算方法，用样本估计总体等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 新考法·项目式学习探究 某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度”的实践活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量池塘的宽度 测量方案示意图 测得数据 已知，点，，，都是池塘岸边上的点，点位于点正南方向，点位于点南偏西方向，点，在点的正东方向，点位于点南偏东方向，已知是草坪休息区域，．测得米，米． 说明 点，，，，位于同一平面内． 参考数据 ，． 问：池塘的宽度的长约为多少？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则四边形是矩形．解和分别求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，由题意可知 四边形是矩形． 米． 在中，， （米）． （米）． 在中，， （米）． 答：池塘的宽度的长约为米． 21. 近年来，我国航天事业取得了举世瞩目的成就，点燃了广大青少年对航天的热情．某经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具．已知购进1个“天宫”模型玩具的费用比购进1个“神舟”模型玩具的费用多20元；购进30个“天宫”模型玩具的费用与购进40个“神舟”模型玩具的费用相等． （1）求“天宫”和“神舟”两款模型玩具的进货单价． （2）该经销商计划用4800元购进这两款模型玩具，且购进“天宫”模型玩具的数量不低于30个．已知每个“天宫”模型玩具的售价为90元，每个“神舟”模型玩具的售价为75元，该经销商如何进货才能获利最大，最大利润为多少？ 【答案】（1）“天宫”模型玩具的进货单价为80元，“神舟”模型玩具的进货单价为60元 （2）经销商购进30个“天宫”模型玩具，40个“神舟”模型玩具时获利最大，最大利润为900元 【解析】 【分析】（1）设“天宫”模型玩具的进货单价为元，“神舟”模型玩具的进货单价为元，根据购进1个“天宫”模型玩具的费用比购进1个“神舟”模型玩具的费用多20元；购进30个“天宫”模型玩具的费用与购进40个“神舟”模型玩具的费用相等列二元一次方程组求解即可； （2）设购进个“天宫”模型玩具，经销商获利元，根据题意得到购进“神舟”模型玩具个，求出的解析式，根据一次函数的性质可知当时，有最大值，进而计算即可． 【小问1详解】 解：设“天宫”模型玩具的进货单价为元，“神舟”模型玩具的进货单价为元， 根据题意，得， 解得 答：“天宫”模型玩具的进货单价为80元，“神舟”模型玩具的进货单价为60元； 【小问2详解】 解：设购进个“天宫”模型玩具，经销商获利元． 由题意，知购进“神舟”模型玩具个． ． ， 随的增大而减小． ，且为整数， 当时，有最大值，最大值为 此时． 答：经销商购进30个“天宫”模型玩具，40个“神舟”模型玩具时获利最大，最大利润为900元． 22. 如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵切圆于， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质以及垂直定义得出直角，证明，然后利用等边对等角以及三角形外角定理得出结论； （2）连接，利用圆周角定理得出，利用锐角三角函数和勾股定理求出，证明，利用对应边成比例得出，最后利用锐角三角函数求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ， （舍去负值）， ， ∵切圆于， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，， ，，，则菱形的边长为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）证明，得出比例线段，则，求出，则可求出． （3）分别延长，相交于点G，证得四边形为平行四边形，得出，，，证明，得出比例线段，则，可求出，则答案可求出． 【详解】解：（1）证明：∵，， ∴． ∴． ∴； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ∴； （3）如图，分别延长，相交于点G， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵， ∴ ∴ 则菱形的边长为． 【点睛】此题考查相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆乌鲁木齐高新区2026年5月九年级下学期学业质量诊断数学试卷（问卷） 注意：1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷由问卷和答卷两部分组成，其中问卷共4页，答卷共4页，要求在答卷上答题，在问卷上答题无效； 3．答题时不能使用科学计算器． 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果收入30元，记作元，那么支出10元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大 7. 如图，，点D在上，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在中，，一动点从点出发，沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，，与的函数图象如图2所示，则图2中点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 分解因式：____________． 11. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 12. 如图，C，D是上直径两侧的点，若，则______°． 13. 不透明袋子中有1个黑球，2个红球，3个白球和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀后重复操作，某一颜色的球出现的频率如图所示，则此球的颜色最有可能是___________． 14. 如图，反比例函数与矩形的边，分别交于，两点，连接，，．若，，则的值是_______． 15. 如图，将正方形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），则的值为_____________． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 计算及解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 根据题目意思，解答下列问题 （1）先化简，再求值：，其中； （2）如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 19. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 20. 新考法·项目式学习探究 某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度”的实践活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量池塘的宽度 测量方案示意图 测得数据 已知，点，，，都是池塘岸边上的点，点位于点正南方向，点位于点南偏西方向，点，在点的正东方向，点位于点南偏东方向，已知是草坪休息区域，．测得米，米． 说明 点，，，，位于同一平面内． 参考数据 ，． 问：池塘的宽度的长约为多少？ 21. 近年来，我国航天事业取得了举世瞩目的成就，点燃了广大青少年对航天的热情．某经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具．已知购进1个“天宫”模型玩具的费用比购进1个“神舟”模型玩具的费用多20元；购进30个“天宫”模型玩具的费用与购进40个“神舟”模型玩具的费用相等． （1）求“天宫”和“神舟”两款模型玩具的进货单价． （2）该经销商计划用4800元购进这两款模型玩具，且购进“天宫”模型玩具的数量不低于30个．已知每个“天宫”模型玩具的售价为90元，每个“神舟”模型玩具的售价为75元，该经销商如何进货才能获利最大，最大利润为多少？ 22. 如图，是的直径，点，在上，连接，，，过点作的切线交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，， ，，，则菱形的边长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $