精品解析：广东深圳市龙岗区宏扬学校2025－2026学年九年级下学期中考复习综合模拟数学（一）（期中）

九年级中考复习综合模拟 数学（一） （满分：100分） 第一部分 选择题（1～8题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 有理数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式可以用“积的乘方法则”运算的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面图形不能拆成正方体的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 均不可能 6. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 7. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点M从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点M运动的路程为x，线段AM的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图像，则的面积为（ ） A. B. C. D. 36 第二部分 非选择题（9～20题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 如果一组数据1，11，x，5，9，4的中位数是5，那么________． 10. 如图，每一幅图中都有若干个大小不同的四边形，第幅图中有个四边形，第 幅图中有个四边形，第幅图中有个四边形⋯⋯ 根据第幅图到第幅图的规律，推测第幅图中有______________个四边形；(用含字母的代数式表示) 11. 已知反比例函数的图像经过点，．若，则实数k的取值范围是______． 12. 如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为_____． 13. 抛物线y=ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（-1，n），且与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间．则下列结论： ①a+b+c＜0；②2a-b=0；③一元二次方程ax2+（b+）x+c-=0的两根为x1，x2，则|x1-x2|=2；④对于任意实数m，不等式a（m2-1）+（m+1）b≤0恒成立． 则上述说法正确的是______．（填序号） 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程：． 15. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 16. 如图，中，点为 的中点． （1）过点 作；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．） （2）在线段上任意找一点 （不与重合），连接并延长，交于点连接．求证：四边形是平行四边形． 17. 如图，圆内接四边形 的对角线，交于点 ，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交 的延长线于点．若，，求此圆半径的长． 18. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（ 是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度 为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：） （1）求点P到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数． 19. 某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动． 素材1 如图1，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面，水面宽． 素材2 公园投放游船供游客乘坐，图2是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，已知，． 素材3 如图3，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系． 问题解决 任务1 求抛物线的函数解析式． 任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升时，水面宽度减少多少？ 任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过？ 20. 【问题探究】如图①，在正方形中，，点 为上的点，，连接，点为上的点，过点作交 于点 ，交 于点 ，求 的长度． 此问题可以过点 作于点 ，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证 ．根据全等三角形的性质得出， 再由勾股定理可以求得 ； 【类比迁移】如图②，在矩形中，， ， 连接，过的中点作交 于点 ，交 于点 ， 求 的长度． 【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为． 测得 米，米， ．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路 （小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路 的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中考复习综合模拟 数学（一） （满分：100分） 第一部分 选择题（1～8题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 有理数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解. 【详解】解：的相反数是； 故选B 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠后能够互相重合的图形，中心对称图形指的是一个图形绕某个点旋转180度后能够和自身完全重合的进行解答，即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列算式可以用“积的乘方法则”运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、积的乘方运算、整式加法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、整式加法法则分别化简，进而判断得出笞案． 【详解】解：A．用到“同底数幂的乘法运算法则”，故此选项不合题意； B．，用到“幂的乘方运算法则”，故此选项不合题意； C．，用到“积的乘方法则”，故此选项符合题意； D．，不是同类项，不能合并，故此选项不合题意， 故选：C． 4. 下面图形不能拆成正方体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体展开图的特点逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D能折成正方体；选项C不能折成正方体． 【点睛】正方体展开图共有11种基本形态，分为“1-4-1”型、“2-3-1”型、“2-2-2”型和“3-3”型． 5. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 均不可能 【答案】A 【解析】 【详解】解：第①块出现两条完整的弦， 作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 故选A． 6. 一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．依据题意，由函数图象直接写出不等式解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与 轴的交点坐标为， 不等式的解集是． 故选：A． 7. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数的对称轴为，再判断，在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系． 【详解】解： 函数的对称轴为， 抛物线开口向上，对称轴右侧 随 的增大而增大， ∵，，在对称轴右侧， ． 故选：B． 8. 如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点M从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点M运动的路程为x，线段AM的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图像，则的面积为（ ） A. B. C. D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像可得 AB=8，BD=16－8=8，AD=12，过点B作BE⊥AD，运用勾股定理求出BE的长，即可求出▱ABCD的面积． 【详解】解：过点B作BE⊥AD，交AD于点E， 由图像可得 AB=8，BD=16－8=8，AD=12， ∴AB=BD ∵BE⊥AD ∴， ∴ ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，等腰三角形三线合一，勾股定理，平行四边形的面积，弄清横轴和纵轴表示的量以及运用数形结合的思想解题确定AB、AD的长是解答本题的关键． 第二部分 非选择题（9～20题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 如果一组数据1，11，x，5，9，4的中位数是5，那么________． 【答案】5 【解析】 【分析】该题主要考查了中位数的求解，解题的关键是掌握中位数的求解方法． 根据求中位数的方法，可知加上一个数 ，那么这组数据的个数就是6，所以处于最中间的两数的平均数就是此组数据的中位数；再根据中位数是5，求得x的值． 【详解】解：∵共6个数， ∴中位数是第3和第4个的平均数， ∵中位数为5， ， 解得：， 故答案为：5． 10. 如图，每一幅图中都有若干个大小不同的四边形，第幅图中有个四边形，第 幅图中有个四边形，第幅图中有个四边形⋯⋯ 根据第幅图到第幅图的规律，推测第幅图中有______________个四边形；(用含字母的代数式表示) 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分析可得：第幅图中有个，第 幅图中有个，第幅图中有个，，可以发现，每个图形都比前一个图形多 个，继而即可得出答案． 【详解】解：根据题意分析可得：第幅图中有个． 第 幅图中有个． 第幅图中有个． 第幅图中有个． 第幅图中有个． 根据规律可以发现，每个图形都比前一个图形多 个四边形． 故第幅图中共有个四边形． 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，体现了由特殊到一般的数学思想，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 11. 已知反比例函数的图像经过点，．若，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数的图像经过点，．且，y随x的增大而增大，即函数图像在二、四象限，从而得到，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，．且，， ∴y随x的增大而增大，即函数图像在二、四象限， ∴，解得：． 12. 如图，点是边长为1的正六边形的中心，以为半径的扇形的圆心角，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质、扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，连接、，令交 于 ，交于 ，作交于，由正六边形的性质可得，，，，从而可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，证明，得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接、，令交 于 ，交于 ，作交于， ， ∵点是边长为1的正六边形的中心， ∴，，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 抛物线y=ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（-1，n），且与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间．则下列结论： ①a+b+c＜0；②2a-b=0；③一元二次方程ax2+（b+）x+c-=0的两根为x1，x2，则|x1-x2|=2；④对于任意实数m，不等式a（m2-1）+（m+1）b≤0恒成立． 则上述说法正确的是______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性，借组图象即可判断①； 根据对称轴为直线x=-1即可判断②； 根据题意得出x1=-1，0＜x2＜1，即可判断③； 根据x=-1时，函数有最大值即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间． ∴当x=1时，y＜0， 即a+b+c＜0，所以①结论正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴-=-1， ∴b=2a， ∴2a-b=0，所以②结论正确； ③一元二次方程ax2+（b+）x+c-=0的两根为x1，x2， ∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-x+的交点的横坐标为x1，x2， ∵直线y=-x+经过点（1，0），（-1，n），抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间． ∴x1=-1，0＜x2＜1， ∴|x1-x2|＜2，所以③结论错误； ④∵x=-1时，函数有最大值， ∴a-b+c≥am2+bm+c（意实数m）， ∴a（m2-1）+（m+1）b≤0，所以④结论正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 整理得，， 解得，． 15. 在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为________人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为________度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率． 【答案】（1）200，144 （2） 补全条形图如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用软件的人数除以所占的比例求出抽取的学生总人数，用360度乘以A类软件的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）求出 类软件的人数，补全条形图即可； （3）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； ； 故答案为：200，144； 【小问2详解】 软件的人数为：（人）； 补全条形图略 【小问3详解】 由题意，列表如下： A A A B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B A A，A A，A A，B B B，A B，A B，A 共12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的情况有6种， 故. 16. 如图，中，点为 的中点． （1）过点 作；（尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法．） （2）在线段上任意找一点 （不与重合），连接并延长，交于点 连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 如图所示：，即为所求， ； （2） 证明：如图所示： ， ∵ ∴ ∵点为 的中点 ∴ 在和中 ， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作即可； （2）利用证明，得出，进而可以证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，圆内接四边形 的对角线 ，交于点 ，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交 的延长线于点 ．若，，求此圆半径的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平分， （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，结合题意可得，再由三角形内角和定理得，最后由圆内接四边形对角互补可求解； （2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，则． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形，则． ∵平分， ∴． ∵是直径， ∴，则． ∵四边形是圆内接四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是直径， ∴此圆半径的长为． 【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. 图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：） （1）求点P到地面的高度； （2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数． 【答案】（1）点 到地面的高度为； （2）． 【解析】 【分析】（1）过点 作，延长交于 ，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，可得，进而可得，求得，由，可得，由可得答案． 【小问1详解】 解：过点 作于H，延长交于 ， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点 到地面的高度：， 即点 到地面的高度为； 【小问2详解】 由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 19. 某数学兴趣小组在公园内开展综合与实践活动，根据以下素材，完成探究任务． 问题背景 公园内有一抛物线型拱桥，某校九年级数学兴趣小组对该拱桥开展了探究活动． 素材1 如图1，兴趣小组测得，在正常水位时拱顶离水面，水面宽． 素材2 公园投放游船供游客乘坐，图2是游船满载过桥洞时的横截面示意图，露出水面的船身为矩形，已知，． 素材3 如图3，以抛物线顶点为原点，以抛物线的对称轴为 轴建立平面直角坐标系． 问题解决 任务1 求抛物线的函数解析式． 任务2 兴趣小组了解到，到了雨季水位会上涨，当水面比正常水位上升时，水面宽度减少多少？ 任务3 当水面比正常水位至少上升多少米时，游船满载不能从桥洞通过？ 【答案】任务1：；任务2：水面宽度减少；任务3：当水面比正常水位至少上升时，游船满载不能从桥洞通过 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式． 任务1：根据已知设这条抛物线表示的二次函数为，由题意可知，抛物线经过点，利用定定系数法二次函数解析式； 任务2：通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案； 任务3：通过把代入抛物线解析式得出水面到拱顶的距离，即可得出答案． 【详解】解：任务1：设这条抛物线表示的二次函数为． 由题意可知，抛物线经过点， 可得，， ． 所以抛物线的函数解析式为． 任务2：当水面上升时，水面的纵坐标为． 由， 解得，． ． 答：水面宽度减少． 任务3：当游船顶部 ，刚好在抛物线上时，游船不能从桥下通过， 此时，点的横坐标为1． 当时，， 则． 答：当水面比正常水位至少上升时，游船满载不能从桥洞通过． 20. 【问题探究】如图①，在正方形中，，点 为上的点，，连接，点为上的点，过点作交 于点 ，交 于点 ，求的长度． 此问题可以过点 作于点 ，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证 ．根据全等三角形的性质得出， 再由勾股定理可以求得 ； 【类比迁移】如图②，在矩形中，， ， 连接，过的中点作交 于点 ，交 于点 ， 求的长度． 【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为． 测得 米，米， ．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度． 【答案】[问题探究]；[类比迁移]；[拓展应用] 【解析】 【分析】[问题探究]过点 作于 ，交于，证明，根据全等三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； [类比迁移]过点M作于，交于，证明，根据相似三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可； [拓展应用]过点 作于点 ，过点作交 的延长线于点，解直角三角形求得，，进而求得，再根据勾股定理求得，再证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】[问题探究]解：如图，过点 作于 ，交于， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ； [类比迁移]如图，过点 作于，交于， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ； [拓展应用]如图，过点 作于点 ，过点作交 的延长线于点， ，， ， ， , ， ， ，， ，， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确构造辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $